1、1既有大小又有方向的量叫_，向量的大小叫做向量的_2长度为 0 的向量叫零向量，其方向是_3模为 1 的向量叫做_4方向相同或相反的非零向量叫_5规定 0 与任一向量_6_的向量叫相等向量向量长度(或称模)任意的单位向量平行向量(或共线向量)平行长度相等、方向相同7_的向量叫相反向量8向量加法的法则有_和_9向量的加法满足_和_，即(a b)c_及 a b_.10向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数，使得_长度相等、方向相反平行四边形法则三角形法则结合律交换律a(bc)bab a11向量数量积的定义(1)向量 a 与 b 的夹角：已知两个非零向量 a，b，作 OA a，O
2、B b，则AOB(0)叫做向量 a 与 b 的夹角当_时，向量 a 与 b 垂直，记作 ab；当_时，向量 a 与 b 共线且同向；当_时，向量 a 与 b 共线且反向2 0(2)向量 a 与 b 的数量积：已知两个非零向量 a，b，它们的夹角为，则把数量_叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab_.规定：零向量与任一向量的数量积为零|a|cos(|b|cos)叫做向量 a 在向量 b 方向上(向量 b 在向量 a 方向上)的_|a|b|cos|a|b|cos 投影12向量数量积的性质设 a，b 都是非零向量，夹角为，则(1)ab_；(2)|ab|a|b|(当且仅当_时取
3、“”号)；(3)aa|a|2a2，|a|_；(4)cos _.ab0向量 a，b 共线a2ab|a|b|13向量数量积的运算律(1)abba(交换律)；(2)(a)b(ab)a(b)(其中 R)；(3)(ab)cacbC.考点一 向量的有关概念示范1 以下命题中，正确命题的序号是_若|a|b|，则 ab；若 a，b 都是单位向量，则 ab；若 a0，b0，则 ab；若|a|b|且 ab，则 ab；|ab|ab|；abb a；若 abbc，则 ac；向量(bc)a(ca)b 与 c 垂直分析 注意向量的意义，向量的模相等，其方向有多种可能答案【点评】运用向量相加减，相乘的定义，解决问题 展示1
4、判断下列各命题是否正确，并说明理由：若|a|b|，则 ab 或 ab；若ABDC，则 A，B，C，D 是一个平行四边形的四个顶点；若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc，则 aC.【分析】向量的模相等，其方向有多种可能；ABDC只能得向量 AB 与 DC 共线，但不能得 A，B，C，D 四点不共线；注意零向量【解析】错如 a，b 是两个夹角为 60的单位向量，有|a|b|1，但 ab，ab.错由 ABDC，得向量 AB 与 DC 共线且|AB|DC|，A，B，C，D 可能在同一条直线上正确错如 b0 时，ac 不一定成立点评 零向量在共线向量问题中是一个特例，解概念题时应注意考察向量应考察其
5、大小和方向，两者缺一不可方法点拨：对于向量的概念，应从大小和方向两个方面去认识，还应注意零向量的特殊性.解决此类问题时，应观察式子的结构特征，联想向量的运算法则及几何意义，进行正确地判断.考点二 向量的线性运算示范2(1)如图所示，已知 G 是ABC 的重心，求证：GA GB GC 0.分析 由三角形重心的性质：GA 2GD，GB 2GE，GC 2GF 和向量加法的三角形法则或平行四边形法则，不难得证解析 法一 如下图所示，D，E，F 分别为 BC，AC，AB三边中点，因为EAECFAFBDB DC 0，所以 2(GA GB GC)GE EAGF FAGD DB GF FBGD DCGE EC
6、2(GE GF GD)(GB GC GA)，所以 3(GA GB GC)0，所以GA GB GC 0.法二 延长 BE 至点 H，使 EHEG，连结 HC、HA，则四边形 AGCH 是平行四边形，于是GA GC GH，而GH 2GE GB，所以GA GC GB，所以GA GB GC 0.【点评】运用三角形法则或平行四边形法则将一个向量表示成几个向量的和式，或者将几个向量用和式表示为一个向量，是解决平面图形有关问题的重要手段.(2)设 A1，A2，A3，A4，A5 是空间中给定的 5 个不同的点，则使MA1 MA2 MA3 MA4 MA5 0 成立的 M 的个数为()A0 B1 C5 D10分析
7、 通过作图从特殊点入手，再利用反证法解析 不妨令 A1，A2，A3，A4，A5 五点共线，且|A1A2|A2A3|A3A4|A4A5|.则满足题意的 M 恰为A1A5 的中点，存在且唯一若满足条件的点不唯一，即除 M 点外还有点 N.则MA1 MA2 MA3 MA4 MA5 0，NA1 NA2 NA3 NA4 NA5 0.相减得 5MN 0，MN 0，故 M 与 N 重合，与假设矛盾满足条件的点 M 只有一个也可以利用第 1 小题结论一般情况找A1A2A3 的重心 G，若 A4A5 的中点为 N.则所求的 M 点在分向量GN 为GMMN 2：3 的地方，也存在且唯一答案 B【点评】利用几何关系
8、联想，PA+PB+PC=3PG.G 是以 A，B，C 为顶点的三角形重心，数形结合处理.展示2 如右图所示，已知在OAB 中，点 C 是以 A 为中心的点 B 的对称点，点 D 在 OB 上且满足|OB|3|DB|,DC 和 OA交于点 E，设向量 OA a,OB b，(1)用 a 和 b 表示向量OC 和DC；(2)若OE OA，求实数 的值【解析】(1)由条件，得 OA 12(OB OC),即 OC 2OA OB 2ab.DC OC OD OC 23OB 2ab23b2a53b.(2)CEOE OC OA OC a2ab(2)ab，而向量 CE 与 DC 共线，即存在实数 k，使 CEkD
9、C，(2)abk2a53b 2ka5k3 b.22k，15k3.解得 45.方法点拨：利用向量运算的几何法则，通常要结合图形.另外记住常用结论：若 D 是ABC 的 BC 边上的中点，则AD=12(AB+AC)考点三 向量的平行与垂直示范3 若 a，b 是两个不共线非零向量，a 与 b 起点相同，当 t 为何值时，a，tb，13(ab)三向量终点在同一条线上？分析 共线问题，设一个常数建立等式 解析 设OA a，OB tb，OC 13(ab)，ACOC OA 23a13b，ABOB OA tba，要使 A，B，C 三点共线，只需ACAB，即23a13btba，有23，13t23，t12.t12
10、时，三向量终点共线【点评】非零向量 a 与 b 共线问题转化为等式 ab，再比较不同基底.展示3 已知|a|4，|b|3 且向量 a 与 b 不共线，实数 k 为何值时，向量 kab 与 kab 垂直？【解析】(kab)(kab)，(kab)(kab)0，k2a2b20.a24216，b2329，16k290.k34.当 k34时，向量 kab 与 kab 垂直方法点拨：两个非零向量互相垂直的充要条件是数量积为零，已知条件有互相垂直时，一般直接运用此结论.1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2掌握向量的加法与减法，实数与向量的积，两个向量共线的充要条件3掌握平面向量的数量积
11、及其几何意义4了解用平面向量的数量积处理有关长度、角度、垂直问题5掌握向量垂直的充要条件1(2011 四川理)如下图所示，正六边形 ABCDEF 中，BACD EF()A0 B.BEC.ADD.CF【答案】D【解析】BACD EFBAAFEFBFEFCE EFCF.2(2011 山东理)设 A1，A2，A3，A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3 A1A2(R)，A1A4 A1A2(R)且112，则称 A3，A4 调和分割 A1，A2，已知平面上的点 C，D 调和分割点 A，B，则下面说法正确的是()AC 可能是线段 AB 的中点BD 可能是线段 AB 的中点CC，D 可能同时在线段 AB 上DC，D 不可能同时在线段 AB 的延长线上【答案】D3(2010 湖北)已知ABC 和点 M 满足MA MB MC 0，若存在实数 m，使得ABACmAM 成立，则 m()A2 B3 C4 D5【答案】B【解析】由 MA MB MC 0，知点 M 为ABC 的重心设点 D 底边 BC 的中点，则 AM 23AD 2312(ABAC)13(ABAC)所以 ABAC3AM，即 m3.故选 B.