1、第5讲直线、平面垂直的判定及性质基础知识整合1直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直(2)直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l(3)直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行 ab2平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直(3
2、)平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l3直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条直线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角(2)线面角的范围：0，904二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于
3、这个平面(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 1设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m，下列结论正确的是()A若l，则 B若，则lmC若l，则 D若，则lm答案A解析根据线面垂直的判定定理知A正确；当，l，m时，l与m可能平行、相交或异面，故B错误；当l，l时，与可能平行，也可能相交，故C错误；当，l，m时，l与m可能平行，也可能异面，故D错误故选A.2(2019浙江杭州模拟)已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m，n，则()Aml Bmn Cnl Dmn答案C解析l，l，n，nl.
4、故选C.3(2019广东五校诊断考试)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A若，m，n，则mnB若m，mn，n，则C若mn，m，n，则D若，m，n，则mn答案B解析A项，若，m，n，则mn或m，n相交或m，n为异面直线，故不正确；C项，若mn，m，n，则，有可能相交但不垂直，故不正确；D项，若，m，n，则m，n有可能是异面直线，故不正确，故选B.4若a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则ab的一个充分不必要条件是()Aac，bc B，a，bCa，b Da，b答案C解析对于A，B，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；对于C，在平面内存在c
5、b，因为a，所以ac，故ab；对于D，一定能推出ab.故选C.5(2019江西南昌模拟)如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么D在平面ABC内的射影H必在()A直线AB上 B直线BC上C直线AC上 DABC内部答案A解析由ABAC，BDAC，ABBDB，则AC平面ABD，而AC平面ABC，则平面ABC平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上，故选A.6(2019沈阳模拟)已知P为ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确的个数是_答案3解析如图所示PAPC，PAPB，PCP
6、BP，PA平面PBC.又BC平面PBC，PABC.同理可得PBAC，PCAB.但AB不一定垂直于BC.核心考向突破考向一有关垂直关系的判断 例1(1)已知平面及外的一条直线l，下列命题中不正确的是()A若l垂直于内的两条平行线，则lB若l平行于内的一条直线，则lC若l垂直于内的两条相交直线，则lD若l平行于内的无数条直线，则l答案A解析由直线与平面平行的有关定理和结论可知选项B，D正确，选项C是直线与平面垂直的判定定理，而A中，直线l可以是与平面相交但不垂直的直线或平行的直线，故选A.(2)(2019江西临川一中期末)三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1
7、B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()CC1与B1E是异面直线；AE与B1C1是异面直线，且AEB1C1；AC平面ABB1A1；A1C1平面AB1E.A B C D答案A解析对于，CC1，B1E都在平面BB1C1C内，故错误；对于，AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形，E是BC的中点，所以AEBC，又因为B1C1BC，故AEB1C1，故正确；对于，上底面ABC是一个正三角形，不可能存在AC平面ABB1A1，故错误；对于，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误故选A.判断垂直关系需注意的问题(1)作图要
8、熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准 (2)善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳倒了 (3)要思考完整，反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明即时训练1.已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m的是()A，且m Bmn，且nC，且m Dmn，且n答案B解析因为，m，则m，的位置关系不确定，可能平行、相交、m在面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若，m，则m，的位置关系也不确定，故C错误；若mn，n，则m，的位置关系也不确定，故D错误故选B.2(2019银川模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，
9、CD的中点，G是EF的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()AAH平面EFH BAG平面EFHCHF平面AEF DHG平面AEF答案A解析由平面图形，得AHHE，AHHF，又HEHFH，AH平面EFH，故选A.精准设计考向，多角度探究突破考向二直线与平面垂直的判定与性质角度1利用线线垂直证明线面垂直例2(1)(2019河北唐山一模)如图，在ABC中，ABBC4，ABC90，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把AEF折起，使点A到达点P的位置，且PBBE.证明：BC平面PBE；求点F到平面PEC的距
10、离解证明：因为E，F分别为AB，AC边的中点，所以EFBC，因为ABC90，所以EFBE，EFPE，又因为BEPEE，所以EF平面PBE，所以BC平面PBE.取BE的中点O，连接PO，由，知BC平面PBE，BC平面BCFE，所以平面PBE平面BCFE，因为PBBEPE，所以POBE，又因为PO平面PBE，平面PBE平面BCFEBE，所以PO平面BCFE，在RtPOC中，PC2，在RtEBC中，EC2，在PEC中，PCEC2，PE2，所以SPEC，又因为SECF2，设点F到平面PEC的距离为d，由VFPECVPECF，得SPECdSECFPO，即d2，所以d.即点F到平面PEC的距离为.(2)(
11、2019广东揭阳二模)已知如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，BB12，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面与平面DEF平行，且与长方体的相应面相交，交线围成一个几何图形在图中画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积(画图说出作法，不用说明理由)；求证：D1B平面DEF.解设N为A1B1的中点，连接MN，AN，AC，CM，则四边形MNAC为所作图形连接A1C1，易知MNA1C1，且MNA1C1，又因为A1C1綊AC，所以四边形MNAC为梯形，且MNAC2，过M作MPAC于点P，因为MC2，PC，所以MP，所以梯形MNAC的面积S(24)6.证法一：
12、在长方体ABCDA1B1C1D1中，设D1B1交EF于点Q，连接DQ，则Q为EF的中点并且为D1B1的四等分点，如图，D1Q4，由DEDF，得DQEF，又因为B1D1EF，B1D1DQQ，所以EF平面BB1D1D，则EFD1B.因为，且QD1DD1DB，则QD1DD1DB，所以D1QDBD1D，所以QD1BD1QDDD1BBD1Q90，所以DQD1B，又因为EFDQQ，所以D1B平面DEF.证法二：设D1B1交EF于点Q，连接DQ，则Q为EF的中点，且为D1B1的四等分点，D1Q4，由BB1平面A1B1C1D1，知BB1EF.又因为B1D1EF，BB1B1D1B1，所以EF平面BB1D1D，所
13、以EFD1B，由，得tanQDD1tanD1BD，得QDD1D1BD，所以QDBD1BDQDBQDD190，所以DQD1B，又因为DQEFQ，所以D1B平面DEF.角度2利用线面垂直证明线线垂直例3(1)(2019广东韶关模拟)如图，四边形ABCD是直角梯形，其中BCCD1，AD2，ADC90.点E是AD的中点，将ABE沿BE折起如图，使得AE平面BCDE.点M，N分别是线段AB，EC的中点求证：MNBE；求三棱锥EBNM的体积解证明：AD2，且点E是AD的中点ED1.四边形ABCD是直角梯形，BC1，ED綊BC，四边形BCDE为平行四边形，BCCDDE1，ADC90，四边形BCDE为正方形N
14、是EC的中点，N是BD的中点又M是AB的中点，MNAD.AE平面BCDE，BEAE，又BEED，且AEEDE，BE平面AED，BEAD，则BEMN.AE平面BCDE，且M是线段AB的中点，M到底面BEN的距离为AE，又正方形BCDE的边长为1，SBNE11.三棱锥EBNM的体积VVMBEN.(2)(2019北师大实验中学3月模拟)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，SAAD1，点M是SD的中点，ANSC，交SC于点N.求证：SCAM；求AMN的面积解证明：SA底面ABCD，CD底面ABCD，SACD，又CDAD，ADSAA，CD平面SAD.AM平面SAD，CDA
15、M.又SAAD1，点M是SD的中点，AMSD.SDCDD，AM平面SCD.SC平面SDC，SCAM.M是SD的中点，VSACMVDACMVMADC，VSACMSACD SA，ANSC，SCAM，ANAMA，SC平面AMN，VSACMSAMNSC.SC，AMN的面积SAMN.(1)证明线线垂直的常用方法利用特殊图形中的垂直关系利用等腰三角形底边中线的性质利用勾股定理的逆定理利用直线与平面垂直的性质(2)证明线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理，它是最常用的思路利用线面垂直的性质：若两条平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面利用面面垂直的性质：a.两个平面互相垂直，在一个平面内垂直于交
16、线的直线垂直于另一个平面b若两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面即时训练3如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD60，PAPDAD2，点M在线段PC上，且PM2MC，N为AD的中点(1)求证：AD平面PNB；(2)若平面PAD平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积解(1)证明：连接BD.PAPD，N为AD的中点，PNAD.又底面ABCD是菱形，BAD60，ABD为等边三角形，BNAD.又PNBNN，AD平面PNB.(2)PAPDAD2，PNNB.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PNAD，PN平面ABCD，PNNB，SPNB.AD平面P
17、NB，ADBC，BC平面PNB.又PM2MC，VPNBMVMPNBVCPNB2.4(2019湖南六校联考)如图，几何体的底面ABCD是边长为2的菱形，DAB60，EB底面ABCD，FD底面ABCD，EB2FD4.(1)求证：EFAC；(2)求几何体EFABCD的体积解(1)证明：连接BD，FD底面ABCD，EB底面ABCD，EBFD，ACEB，且E，F，D，B四点共面，设DBACO，底面ABCD为菱形，ACDB，又DBEBB，AC平面EFDB.EF平面EFDB，ACEF.(2)EBFD，EBBD，四边形EFDB为直角梯形，在菱形ABCD中，DAB60，AB2，BD2，AOCO，梯形EFDB的面
18、积S6.AC平面EFDB，VEFABCDVCEFDBVAEFDBSAOSCO4.考向三面面垂直的判定与性质例4(1)(2019陕西汉中重点中学3月联考)在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，AA1平面ABCD.AB2AD4，DAB60.证明：平面D1BC平面D1BD；若直线D1B与底面ABCD所成的角为30，M，N，Q分别为BD，CD，D1D的中点，求三棱锥CMNQ的体积解证明：D1D平面ABCD，BC平面ABCD，D1DBC.又AB4，AD2，DAB60，BD2，AD2BD2AB2，ADBD.又ADBC，BCBD.又D1DBDD，BD平面D1BD，D1D平面D1BD，
19、BC平面D1BD，而BC平面D1BC，平面D1BC平面D1BD.D1D平面ABCD，D1BD即为直线D1B与底面ABCD所成的角，即D1BD30，而BD2，DD12，又VCMNQVQCMNVQBDC，VCMNQ221.(2)(2019河南焦作四模)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面为正三角形，AA1底面ABC，AA13AB，点E在线段CC1上，平面AEB1平面AA1B1B.请指出点E的位置，并给出证明；若AB1，求点B1到平面ABE的距离解点E为线段CC1的中点证明如下：取AB的中点为F，AB1的中点为G，连接CF，FG，EG.则FGCE，FGCE，所以四边形FGEC为平行四边形所以CF
20、EG.因为CACB，AFBF，所以CFAB.又因为AA1底面ABC，CF底面ABC，所以AA1CF.又因为AA1ABA，所以CF平面AA1B1B.所以EG平面AA1B1B，而EG平面AEB1，所以平面AEB1平面AA1B1B.由AB1，得AA13.由可知，点E到平面ABB1的距离为EGCF.而ABB1的面积SABB113，AEBE，等腰ABE底边AB上的高为.记点B1到平面ABE的距离为h，由VB1ABEVEABB1h1，解得h，即点B1到平面ABE的距离为. (1)证明面面垂直的方法证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用线面垂直的判定定理来证明也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义
21、来证明 (2)面面垂直的性质已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面即时训练5(2020长郡中学选拔考试)如图所示，ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，且ABBC，ABBC2，BCD60，点M为BE的中点，点N在线段AC上(1)若，且DNAC，求的值；(2)在(1)的条件下，求三棱锥BDMN的体积解(1)如图，取BC的中点O，连接ON，OD，因为四边形BCDE为菱形，BCD60，所以DOBC，因为ABC所在的平面与菱形BCDE所在的平面垂直，所以DO平面ABC，因为AC平面ABC，所以DOAC，又DNAC，且DNDOD，所以AC平面DON，因为ON平面DON，所以ONAC，由O为BC的中点，ABBC，可得NCAC，所以3，即3.(2)由平面ABC平面BCDE，ABBC，可得AB平面BCDE，由AB2，3，可得点N到平面BCDE的距离hAB，由BCD60，点M为BE的中点，可得DMBE，且DM，所以BDM的面积SDMBM，所以三棱锥BDMN的体积VBDMNVNBDMSh.