1、专题4.7 正弦定理和余弦定理及其应用【考情分析】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【重点知识梳理】1仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图)图图2方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等3方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)4坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比【典型题分析】高频考点一解三角形中的实际问题例（2020河南省鹤壁市一中模拟）如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李
2、在山脚 B处看索道AC，发现张角ABC120；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角ADC150；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为_米【答案】400【解析】在ABD中，BD400米，ABD120.因为ADC150，所以ADB30.所以DAB1801203030.由正弦定理，可得，所以，得AD400(米)在ADC中，DC800米，ADC150，由余弦定理得AC2AD2CD22ADCDcosADC(400)280022400800cos 150400213，解得AC400(米)故索道AC的长为400米【方法技巧】利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)分析理解题意
3、，分清已知与未知，画出示意图(2)建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型(3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解(4)检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解【变式探究】（2020山东省淄博市八中模拟）如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为_【答案】【解析】在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得B
4、C2AB2AC22ABACcos 1202 800，得BC20.由正弦定理，得，即sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.高频考点二平面几何中的解三角形问题例【2020全国卷】如图，在三棱锥PABC的平面展开图中，AC=1，ABAC，ABAD，CAE=30，则cosFCB=_.【答案】【解析】，由勾股定理得，同理得，在中，由余弦定理得，在BCF中，由余弦定理得.【变式探究】（2020江西省贵溪市一中模拟）如图，在平面四边形ABCD中，ABC，ABAD，AB1. (1)
5、若AC，求ABC的面积；(2)若ADC，CD4，求sinCAD.【解析】(1)在ABC中，由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcosABC，即51BC2BC，解得BC，所以ABC的面积SABCABBCsinABC1.(2)设CAD，在ACD中，由正弦定理得，即，在ABC中，BAC，BCA()，由正弦定理得，即，两式相除，得，即4(sin cos )sin ，整理得sin 2cos .又因为sin2cos21，所以sin ，即sinCAD.【方法技巧】 与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或
6、余弦定理建立已知和所求的关系具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果【变式探究】(2020湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD中，0DAB，AD2，AB3，ABD的面积为，ABBC. (1)求sinABD的值；(2)若BCD，求BC的长【解析】(1)因为ABD的面积SADABsinDAB23sinDAB，所以sinDAB.又0DAB，所以DAB，所以cosDABcos .由余弦定理得BD，由正弦定理得sinABD.(2)因为ABBC，所以ABC，sinDBCsin
7、(ABD)cosABD.在BCD中，由正弦定理可得CD.由余弦定理DC2BC22DCBCcosDCBBD2，可得3BC24BC50，解得BC或BC(舍去)故BC的长为.高频考点三与三角形有关的最值(范围)问题例【2020全国II卷】中，sin2Asin2Bsin2C= sinBsinC（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值【解析】（1）由正弦定理和已知条件得，由余弦定理得，由，得.因为，所以.（2）由正弦定理及（1）得，从而，.故.又，所以当时，周长取得最大值.【举一反三】【2020全国卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆
8、弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BCDG，垂足为C，tanODC=，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2【答案】【解析】设，由题意，所以，因为,所以，因为，所以，因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；在直角中，因为，所以，解得；等腰直角的面积为；扇形的面积，所以阴影部分的面积为.故答案为：.【变式探究】(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinbsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范
9、围【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因为sin A0，所以sinsin B.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，故sin，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是。【方法技巧】 解三角形问题中，求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大【变式探究】（2020福建省安溪八中模拟）在ABC中，b，B60，(1)求ABC周长l的范围；(2)求ABC面积最大值。【解析】(1)lac，b23a2c22accos 60a2c2ac，(ac)23ac3，(ac)233ac3()2，ac2，当仅仅当ac时，取“”，又ac，2l3.(2)b23a2c2ac2acac，ac3，当且仅当ac时，取“”，SABCacsin B3sin 60，ABC面积最大值为.
