1、河南省洛阳市2021届高三理数四模试卷一、单选题（共12题；共60分）1.设集合 A=x|4x-1|9 ， B=xxx+30 ，则 AB 等于（ ） A.(-3,-2B.(-3,-20,52C.(-,-2(52,+)D.(-,-3)52,+)2.已知 aR ，若复数 z=(a2-a)+ai ( i 是虚数单位)是纯虚数，则 a= （ ） A.0或1B.0C.1D.-13.已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S3=9 ， S6=63 ，则 a7+a8+a9 等于（ ） A.63B.71C.99D.1174.给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相
2、互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是（ ）A.和B.和C.和D.和5.设曲线 y=xx-2 在点 (3,3) 处的切线与直线 ax+y+1=0 平行，则 a 等于（ ） A.12B.2C.-12D.-26.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F ，过点 F 的直线 l 与该抛物线交于 A ， B 两点，直线 l 与该抛物线的准线交于 C 点，且点 F 为 AC 的中点，则 |AB| 等于（ ） A.103B.163C.4D.27.若 ab1 ，
3、P=lgalgb ， Q=12(lga+lgb) ， R=lg(a+b2) ，则（ ） A.RPQB.PQRC.QPRD.PR0,b0) 的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点若 |PF1|2|PF2| 的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围是 A.(1, 3B.(1,2C.2,3D.3,十)12.已知函数 f(x)=x2+4a,x0，1+loga|x-1|,x0. 在 R 上单调递增.且关于 x 的方程 |f(x)|=x+3 恰有两个不相等的实数解.则实数 a 的取值范围是（ ） A.14,341316B.14,34)1316C.(14,1316)D.(0,34)1316二、填空题（共
4、4题；共20分）13.已知 x，y 均为正实数. x+y=1 .则 yx+1y 的最小值为_ 14.已知等比数列 an 的前n项和为 Sn ，且 S63S3=38 ，则 2a6a5+a4= _. 15.在 ABC 中，点 D 在线段 BC 上，且 BD=3DC ，若 AD=AB+AC ，则 = _. 16.若存在实常数 k 和 b ，使得 F(x) 和 G(x) 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足： F(x)kx+b 和 G(x)kx+b 恒成立，则称此直线 y=kx+b 为 F(x) 和 G(x) 的“分隔直线”.已知函数 f(x)=-x2(xR) ， g(x)=1x(x0) ，若 f(
5、x) 和 g(x) 之间存在“分隔直线”，则 b 的取值范围为_. 三、解答题（共7题；共70分）17.ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 (sinA+sinB)(a-b)+bsinC=csinC . （1）求A； （2）若 b=2c ，点D为边 BC 的中点，且 AD=7 ，求 ABC 的面积. 18.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，已知 PA=AC=2 ， PAD=DAC=60 ， CEAD 与 E . （1）求证： ADPC ； （2）若平面 PAD 平面 ABCD ，且 AD=3 ，求二面角 C-PD-A 的余弦值. 19.支付宝
6、作为常见的第三方支付工具，对提现转账均收费，有鉴于此，部分对价格敏感的用户或将回流至传统银行体系，某调查机构对此进行调查，并从参与调查的数万名支付宝用户中随机选取200人，把这200人分为3类：认为使用支付宝方便，仍使用支付宝提现转账的用户称为“A类用户”；根据提现转账的多少确定是否使用支付宝的用户称为“B类用户”；提前将支付宝账户内的资金全部提现，以后转账全部通过银行的用户称为“C类用户”，各类用户的人数如图所示：同时把这200人按年龄分为青年人组与中老年人组，制成如图所示的22列联表：A类用户非A类用户合计青年20中老年40合计200（1）完成22列联表并判断是否有99.9%的把握认为“A
7、类用户与年龄有关”；（2）从这200人中按A类用户B类用户C类用户进行分层抽样，从中抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求在这4人中A类用户B类用户C类用户均存在的概率；（3）把频率作为概率，从支付宝的全球所有用户中随机抽取3人，用X表示所选3人中A类用户的人数，求X的分布列与期望. 附：P（K2k）0.010.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d )20.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0) 的离心率为 12
8、 ，直线 l:x+2y=4 与椭圆有且只有一个交点 T . （1）求椭圆 C 的方程和点 T 的坐标； （2）设 O 为坐标原点，与 OT 平行的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B ，直线 l 与直线 l 交于点 P ，试判断 |PT|2|PA|PB| 是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由. 21.已知函数 f(x)=alnx+x2-2(aR) . （1）求函数 f(x) 的单调区间； （2）若函数 f(x) 在 x=1 处的切线方程为 y=4x-5 ，且当对于任意实数 1,2 时，存在正实数 x1 ， x2 ，使得 (x1+x2)=f(x1)+f(x2) ，求 x1+x2
9、的最小正整数值. 22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P (1,32) ，其参数方程 x=acosy=3sin （ 为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线E的极坐标方程； （2）若直线 l 交E于点A，B，且OA OB，求证： 1|OA|2+1|OB|2 为定值，并求出这个定值. 23.已知函数 f(x)=|2x-a|+|x-1|,aR . （1）若不等式 f(x)+|x-1|2 对 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）当 a2 时，函数 f(x) 的最小值为 a-1 ,求实数 a 的值. 答案解析部分一、单选题（共12题；共60分）1.
10、设集合 A=x|4x-1|9 ， B=xxx+30 ，则 AB 等于（ ） A.(-3,-2B.(-3,-20,52C.(-,-2(52,+)D.(-,-3)52,+)【答案】 A 【考点】交集及其运算，绝对值不等式 【解析】【解答】因为 A=x|4x-1|9=x|x-2 或 x52 ， B=x|xx+30=x|-3b1 ， P=lgalgb ， Q=12(lga+lgb) ， R=lg(a+b2) ，则（ ） A.RPQB.PQRC.QPRD.PRb1 ，则 lgalgb0 ， 由基本不等式可得 P=lgalgb12(lga+lgb)=12lg(ab)=lgablga+b2=R ，因此， P
11、Q0,b0) 的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点若 |PF1|2|PF2| 的最小值为8a，则该双曲线的离心率e的取值范围是 A.(1, 3B.(1,2C.2,3D.3,十)【答案】 A 【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质 【解析】【解答】 |PF1|2|PF2|=(2a+|PF2|)2|PF2|=4a2|PF2|+|PF2|+4a24a2+4a=8a . 当且仅当 4a2|PF2|=|PF2| ，即 |PF2|=2a 时，上式等号成立，这时 |PF2|=2a .又 |PF1|+|PF2|PF1PF2| ，即 4a+2a2c ，因此， 10，1+loga|x-1|,x0. 在 R 上单调
12、递增.且关于 x 的方程 |f(x)|=x+3 恰有两个不相等的实数解.则实数 a 的取值范围是（ ） A.14,341316B.14,34)1316C.(14,1316)D.(0,34)1316【答案】 A 【考点】复合函数的单调性，函数的图象，根的存在性及根的个数判断 【解析】【解答】由函数的解析式可知函数在区间 (0,+) 上单调递增， 当 x0 时，函数 y=|x-1| 单调递减，由复合函数的单调性法则可知： 0a1 ，且函数在 x=0 处满足： 02+4a1+loga|0-1| ，解得： a14 ，故 14a1 ，方程 |f(x)|=x+3 恰有两个不相等的实数解，则函数 |f(x)
13、| 与函数 y=x+3 的图像有且仅有两个不同的交点，绘制函数 |f(x)| 的图像如图中虚线所示，令 1+loga|x-1|=0 可得： x=11a ，由 14a1 ， 1-1a-3 ，则直线 y=x+3 与函数 |f(x)| 的图像在区间 (-,0 上存在唯一的交点，原问题转化为函数 y=x+3 与二次函数 y=x2+4a(14a0 时， y=2x ，故： 2x0=1,x0=12 ，则 x0+3=72 ，切点坐标为 (12,72) ，从而： x02+4a=72 ，即 14+4a=72,a=1316 .据此可得： a 的取值范围是 14,341316 .故答案为： A.【分析】由题意首先求得
14、a的取值范围，然后结合函数的解析式将原问题转化为两函数图像存在两个交点的问题，数形结合即可确定a的取值范围.二、填空题（共4题；共20分）13.已知 x，y 均为正实数. x+y=1 .则 yx+1y 的最小值为_ 【答案】 3 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【解答】因为 x+y=1 ，所以 x=1-y ， 所以 yx+1y=y1-y+1y=-(1-y)+11-y+1y=1y+11-y-1 ，令 f(y)=1y+11-y-1 ，则 f(y)=-1y2+1(1-y)2=2y-1(y-y2)2令 f(y)0 ，即 2y-10 ，解得
15、 12y1 ，此时 f(y) 单调递增，令 f(y)0 ，即 2y-10 ，解得 0y0 ，所以 0y0) ，若 f(x) 和 g(x) 之间存在“分隔直线”，则 b 的取值范围为_. 【答案】0,4【考点】不等式的综合 【解析】【解答】如下图所示： 由图可知， -x2kx+b1x ，可得 x2+kx+b0 对任意的 xR 恒成立，则 1=k2-4b0 ，即 k24b ，不等式 kx2+bx-10 对任意的 x0 恒成立，若 k0 ，当 x+ 时， (kx2+bx-1)+ ，不合乎题意；若 k=0 ，则 bx-10 对任意的 x0 恒成立，则 b1x ，可得 b0 ，又 bk24 对任意的 x
16、R 恒成立，则 b0 ， b=0 ；若 k10.828 .所以有99.9%的把握认为“A类用户与年龄有关”.（2）从这200人中按A类用户B类用户C类用户进行分层抽样，从中抽取10人，则A类用户6人B类用户3人C类用户1人，设A类用户B类用户C类用户均存在的事件为事件D，P(D)=C62C31C11+C61C32C11C10445+18210=310，所以在这4人中A类用户B类用户C类用户均存在的概率为310 .（3）把频率作为概率，从支付宝所有用户中抽取3人，可近似看作3次独立重复试验，所以X的取值依次为0，1，2，3，且XB(3,35) . P(X=0)=C30(1-35)3=8125，P
17、(X=1)=C3135(1-35)2=36125，P(X=2)=C32(35)2(1-35)=54125，P(X=3)=C33(35)3=27125 .所以f(x)的分布列为X0123P8125361255412527125EX=335=95 .【考点】独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】 (1)根据题意，填写22列联表，计算观测值，对照临界值表得出结论； (2)根据题意按分层抽样方法抽取10人，则.A类用户6人、B类用户3人、C类用户1人，利用组合数计算基本事件数，求出对应的概率值即可； (3)由已知条件即可得出把频率作为概率，从支付宝所有
18、用户(人数很多)中抽取3人，可近似看作3次独立重复试验，所以X的取值依次为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.20.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(ab0) 的离心率为 12 ，直线 l:x+2y=4 与椭圆有且只有一个交点 T . （1）求椭圆 C 的方程和点 T 的坐标； （2）设 O 为坐标原点，与 OT 平行的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B ，直线 l 与直线 l 交于点 P ，试判断 |PT|2|PA|PB| 是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由. 【答案】 （1）由椭圆的离心率e= ca = 1-b2a2 = 12 ，则b
19、2= 34 a2 ， 则 x+2y=4x2a2+4y23a2=1 ，消去x，整理得： 163 y216y+16a2=0，由=0，解得：a2=4，b2=3，所以椭圆的标准方程为： x24 + y23 =1；所以 yT = 32 ，则T（1， 32 ），（2）设直线l的方程为y= 32 x+t，由 y=32x+tx+2y=4 ，解得P的坐标为（1 t2 ， 32 + t4 ）， 所以|PT|2= 516 t2 ， 设设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），联立 y=32x+t3x2+4y2=12 ，消去y整理得x2+tx+ t23 1=0，则x1+x2=t，x1x2= t2-33 ，=t24
20、（ t23 1）0，t212，y1= 32 x1+t，y2= 32 x2+t，|PA|= (1-t2-x1)2+(32+t4-y1)2 = 132 | 2-t2 x1|，同理|PB|= 132 | 2-t2 x2|，|PA|PB|= 134 |（ 2-t2 x1）（ 2-t2 x2）|= 134 | (2-t2)2 2-t2 （x1+x2）+x1x2|，134 | (2-t2)2 2-t2 （t）+ t2-33 |= 1348 t2 ， 所以 |PT|2|PA|PB| = 516t21348t2 = 1513 ，所以 |PT|2|PA|PB| = 1513 为定值【考点】椭圆的简单性质，直线与
21、圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】 (1)根据椭圆的离心率公式 e= ca = 1-b2a2 = 12 ，整理 b2= 34 a2 ，将直线方程代入椭圆方程由=0，即可求得a和b的值，由此得出椭圆的方程； (2)设直线l的方程，联立求得P点坐标，将直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及两点之间的距离公式，求得|PA|PB|，即可求出答案.21.已知函数 f(x)=alnx+x2-2(aR) . （1）求函数 f(x) 的单调区间； （2）若函数 f(x) 在 x=1 处的切线方程为 y=4x-5 ，且当对于任意实数 1,2 时，存在正实数 x1 ， x2 ，使得 (x1+x2)=f(x1)+
22、f(x2) ，求 x1+x2 的最小正整数值. 【答案】 （1）函数 f(x) 的定义域为 (0,+) ，且 f(x)=ax+2x=2x2+ax . 当 a0 时， f(x)0 ，则函数 f(x) 在 (0,+) 上单调递增；当 a0 时，令 f(x)=0 ，解得 x=-a2=-2a2 ，则函数 f(x) 在 (0,-2a2) 上单调递减，在 (-2a2,+) 上单调递增.综上，当 a0 时，函数 f(x) 在 (0,+) 上单调递增；当 a0 ，令函数 h(t)=2t-2lnt ，则 h(t)=2-2t=2(t-1)t ，当 t(0,1) 时， h(t)0 ， h(t) 单调递增，故 h(t
23、)h(1)=2 ，则 (x1+x2)2-(x1+x2)-4h(t)min=2 ，故 (x1+x2)2-(x1+x2)6 .设函数 g()=-(x1+x2)-6+(x1+x2)20 ，x1+x20 ，可知函数 g() 在 1,2 上单调递减，故 g()g(2)=-2(x1+x2)-6+(x1+x2)20 ，解得 x1+x21+7 或 x1+x21-7 (舍去)，故 x1+x2 的最小正整数值为4.【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，不等式的综合 【解析】【分析】(1)根据题意首先求出函数的定义域，再对其求导并结合a的取值范围即可得出导函数的性质，由此得出函数的单调性以及单调区间。
24、 (2)由(1)的结论得出导函数的性质，对x赋值计算出切线的斜率，由此计算出a的值从而得出函数的解析式，由已知条件整理即可得出(x1+x2)2-(x1+x2)-4=2x1x2-2ln(x1x2) ， 设x1x2=t0构造函数h(t)=2t-2lnt ， 对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，再由函数的单调性即可得出h(t)h(1)=2即(x1+x2)2-(x1+x2)-4h(t)min=2 ， 由此得到(x1+x2)2-(x1+x2)6 ， 再设g()=-(x1+x2)-6+(x1+x2)20 ， 结合函数的单调性整理得出g()g(2)=-2(x1+x2)-6+(x1+x2)20 ，
25、从而得出x1+x21+7由此得出答案。22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P (1,32) ，其参数方程 x=acosy=3sin （ 为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线E的极坐标方程； （2）若直线 l 交E于点A，B，且OA OB，求证： 1|OA|2+1|OB|2 为定值，并求出这个定值. 【答案】 （1）将点 P(1,32) 代入曲线E的方程， 得 1=acos,32=3sin, 解得 a2=4 ，所以曲线 E 的普通方程为 x24+y23=1 ,极坐标方程为 2(14cos2+13sin2)=1（2）不妨设点 A,B 的极坐标分别为
26、A(1，)，B(2，+2)，10，20,则 (1412cos2+1312sin2)=1,(1422cos2(+2)+1322sin2(+2)=1,即 112=14cos2+13sin2122=14sin2+13cos2 ，112+122=14+13=712 ,即 1|OA|2+1|OB|2=712【考点】曲线与方程，简单曲线的极坐标方程，点的极坐标和直角坐标的互化 【解析】【分析】(1)根据题意把点的坐标代入到曲线的方程，由此计算出a的值以及曲线的普通方程和极坐标方程。 (2)首先根据题意设出点的坐标，由已知条件即可得出(1412cos2+1312sin2)=1,(1422cos2(+2)+1
27、322sin2(+2)=1,整理得出112=14cos2+13sin2122=14sin2+13cos2 ， 从而得到112+122=14+13=712整理化简即可得出结果。23.已知函数 f(x)=|2x-a|+|x-1|,aR . （1）若不等式 f(x)+|x-1|2 对 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围； （2）当 a2 时，函数 f(x) 的最小值为 a-1 ,求实数 a 的值. 【答案】 （1）f(x)+|x-1|2 可化为 |x-a2|+|x-1|1 |x-a2|+|x-1|a2-1| |a2-1|1,解得： a0 或 a4 实数 a 的取值范围为 (-,04,+).（2）函
28、数 f(x)=|2x-a|+|x-1| 的零点为 a2 和 1 ，当 a2 时知 a21.f(x)=-3x+a+1,(x1),如图可知 f(x) 在 (-,a2) 单调递减，在 a2,+) 单调递增，f(x)min=f(a2)=-a2+1=a-1, 解得： a=432.a=43.【考点】函数解析式的求解及常用方法，函数单调性的性质，绝对值不等式的解法 【解析】【分析】(1)根据题意首先把不等式f(x)+|x-1|2转化为|x-a2|+|x-1|1 ， 由绝对值不等式的几何意义，即可得出|a2-1|1,求解出a的取值范围即可。 (2)由已知条件结合零点的定义即可得出： 当 a2 时，即a21 ， 由此得出函数的解析式f(x)=-3x+a+1,(x1), ， 再由分段函数以及函数的单调性即可求出函数的最小值，再由最值的情况得出f(x)min=f(a2)=-a2+1=a-1,求解出a的值。