1、高考资源网（） 您身边的高考专家第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系,学生用书P172)1直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.方法位置关系几何法代数法相 交d0相 切dr0相 离dr0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20)方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外 离dr1r2无解外 切dr1r2一组实数解续表方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相
2、 交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内 切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内 含0d|r1r2|(r1r2)无解1辨明两个易误点(1)对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形(2)两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形2求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则r2d2.(2)代数法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|.注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题1(必修2 P132习题4.2 A组T1改编)直线l：xy40与圆C：x2y24的位置关系是(
3、)A相交过圆心B相交不过圆心C相切 D相离解析：选C.圆心坐标为(0，0)，圆心到直线l的距离d2r，所以直线l与圆C相切故选C.2若直线xy2被圆(xa)2y24所截得的弦长为2，则实数a的值为()A1或 B1或3C2或6 D0或4解析：选D.圆心(a，0)到直线xy2的距离d，则22，所以a0或4，故选D.3圆Q：x2y24x0在点P(1，)处的切线方程为()Axy20 Bxy40Cxy40 Dxy20解析：选D.因点P在圆上，且圆心Q的坐标为(2，0)，所以kPQ，所以切线斜率k，所以切线方程为y(x1)，即xy20.4若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则实数m_解
4、析：圆C1的圆心是原点(0，0)，半径r11，圆C2：(x3)2(y4)225m，圆心C2(3，4)，半径r2，由两圆外切，得|C1C2|r1r215，所以m9.答案：95(必修2 P133习题4.2 A组T9改编)圆x2y240与圆x2y24x4y120的公共弦长为_解析：由得xy20.又圆x2y24的圆心到直线xy20的距离为.由勾股定理得弦长的一半为，所以所求弦长为2.答案：2考点一直线与圆的位置关系学生用书P173(1)已知点M(a，b)在圆O：x2y21外， 则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切B相交C相离 D不确定(2)(2016大连模拟)圆x2y21与直线ykx2没有公共
5、点的充要条件是k_扫一扫进入91导学网()直线与圆的位置关系解析(1)因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，从而圆心O到直线axby1的距离d1，所以直线与圆相交(2)法一：将直线方程代入圆的方程，得(k21)x24kx30，直线与圆没有公共点的充要条件是16k212(k21)1，即1，解得k(，)答案(1)B(2)(，)若将本例(1)的条件改为“点M(a，b)在圆O：x2y21上”，则直线axby1与圆O的位置关系如何？解：由点M在圆上，得a2b21，所以圆心O到直线axby1的距离d1，则直线与圆O相切判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d与r的关系(2)代数
6、法：联立方程后利用判断(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题 1.(1)直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是()A相交 B相切C相离 D不确定(2)(2016宁波模拟)圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点的个数为()A1 B2C3 D4解析：(1)选A.法一：由消去y，整理得(1m2)x22m2xm250，因为16m2200，所以直线l与圆相交法二：由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d1，故直线l与圆相交法三：直线l：mxy1m0过定点(1，1)，因
7、为点(1，1)在圆x2(y1)25的内部，所以直线l与圆相交 (2)选C.因为圆心到直线的距离为2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个考点二圆与圆的位置关系学生用书P174分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交和相切解将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k，则圆C1的圆心为C1(2，3)，半径r11；圆C2的圆心为C2(1，7)，半径r2，k50.从而|C1C2|5.当|1|51，即46，即14k34时，两圆相交当15，即k34时，两圆外切
8、；当|1|5，即k14时，两圆内切所以当k14或k34时，两圆相切(1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法(2)两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解 2.(1)圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x2y24x2y40的公切线有()A1条B2条C3条 D4条(2)(2016郑州质检)若O1：x2y25与O2：(xm)2y220(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_解析：(1)圆C1：(x1)2(y1)24，所以圆心C1(1
9、，1)，半径长r12；圆C2：(x2)2(y1)21，所以圆心C2(2，1)，半径长r21.所以d，r1r23，所以dr1r2，所以两圆外离，所以两圆有4条公切线(2)由两圆在点A处的切线互相垂直，可知两切线分别过另一圆的圆心，即AO1AO2，在直角三角形AO1O2中，(2)2()2m2，所以m5，|AB|24.答案：(1)D(2)4考点三与圆有关的切线与弦长问题(高频考点)学生用书P174与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中、低档题目高考对圆的切线及弦长问题的考查主要有以下四个命题角度：(1)求圆的切线方程；(2)求弦长；(3)
10、与切线长有关的问题；(4)由弦长及切线问题求参数(1)(2015高考重庆卷)已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|()A2B4C6 D2(2)(2015高考重庆卷)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_(3)(2015高考湖南卷)若直线3x4y50与圆x2y2r2(r0)相交于A，B两点，且AOB120(O为坐标原点)，则r_解析(1)由于直线xay10是圆C：x2y24x2y10的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线xay10上，所以2a10，所以a1，所以A(4，1)所以|AC|
11、236440.又r2，所以|AB|240436.所以|AB|6.(2)因为以原点O为圆心的圆过点P(1，2)，所以圆的方程为x2y25.因为 kOP2，所以 切线的斜率k.由点斜式可得切线方程为y2(x1)，即x2y50.(3)如图，过点O作ODAB于点D，则|OD|1.因为 AOB120，OAOB，所以OBD30，所以|OB|2|OD|2，即r2.答案(1)C(2)x2y50(3)2解决直线与圆综合问题的常用结论(1)圆与直线l相切的情形：圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.(2)圆与直线l相交的情形：圆心到l的距离小于半径，过圆心且垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；连接圆心与
12、弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径 3.(1)(2016温州模拟)过直线l：y3x上一点P作圆C：(x3)2(y1)22的两条切线，若两切线关于直线l对称，则直线PC的方程为()A3xy0 B3xy0Cx3y0 Dx3y0(2)直线ykx3与圆(x2)2(y3)24相交于M，N两点，若|MN|2，则k的取值范围是()A. B.C， D.(3)(2016浙江省名校联考)已知圆O：x2y21，直线x2y50上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为_解析：(1)因为两切线关于直线l对称，又圆心Cl，所以结合两
13、切线关于直线l对称可得PCl，由l：y3x得直线PC的斜率为，又圆心C(3，1)，故所求直线PC的方程为y(1)(x3)，即x3y0.(2)如图，设圆心C(2，3)到直线ykx3的距离为d，若|MN|2，则d2r2431，即1，解得k.(3)过O作OP垂直于直线x2y50，过P作圆O的切线PA，连接OA，易知此时|PA|的值最小由点到直线的距离公式，得|OP|.又|OA|1，所以|PA|2.答案：(1)D(2)B(3)2,学生用书P175)交汇创新与圆有关的交汇问题(2015高考山东卷)一条光线从点(2，3)射出，经y轴反射后与圆(x3)2(y2)21相切，则反射光线所在直线的斜率为()A或B
14、或C或 D或解析由已知，得点(2，3)关于y轴的对称点为(2，3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，3)设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由反射光线与圆相切，则有d1，解得k或k，故选D.答案D(1)本题是圆与物理知识的交汇，圆还常与集合问题、线性规划、不等式、向量相交汇等(2)解决此类创新问题时，一定要读懂题目的本质含义，紧扣题目所给条件，结合题目要求进行恰当转化，将问题转化为熟知的问题解决1.(2015高考山东卷)过点P(1，)作圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，则_.解析：如图所示，可知OAAP，OBB
15、P, OP2，又OAOB1，可以求得APBP，APB60，故cos 60.答案：2设m，nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是_解析：圆心(1，1)到直线(m1)x(n1)y20的距离为1，所以mn1mn(mn)2，所以mn22或mn22.答案：(，2222，)1在直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆与直线xy40相切，则圆O的方程为()Ax2y24Bx2y23Cx2y22 Dx2y21解析：选A.依题意，圆O的半径r等于原点O到直线xy40的距离，即r2，得圆O的方程为x2y24.2(2016温州质检)若直线3x4y0与圆x2y24x2y70
16、相交于A，B两点，则弦AB的长为()A2 B4C2 D4解析：选D.圆x2y24x2y70的标准方程为(x2)2(y1)212，则圆心为(2，1)，半径r2，又圆心到直线3x4y0的距离d2，所以弦AB的长为224.3(2016浙江省诊断考试)已知圆O1：(xa)2(yb)24，O2：(xa1)2(yb2)21(a，bR)，则两圆的位置关系是()A内含 B内切C相交 D外切解析：选C.由O1：(xa)2(yb)24得圆心坐标为(a，b)，半径为2；由O2：(xa1)2(yb2)21得圆心坐标为(a1，b2)，半径为1，所以两圆圆心之间的距离为|O1O2|，因为|21|1213，所以两圆相交，故
17、选C.4(2015高考安徽卷)直线3x4yb与圆x2y22x2y10相切，则b的值是()A2或12 B2或12C2或12 D2或12解析：选D.法一：由3x4yb，得yx，代入x2y22x2y10，并化简得25x22(43b)xb28b160，4(43b)2425(b28b16)0，解得b2或12.法二：由圆x2y22x2y10可知圆心坐标为(1，1)，半径为1，所以1，解得b2或12.5若直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，则k，b的值分别为()Ak，b4 Bk，b4Ck，b4 Dk，b4解析：选A.因为直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对
18、称，则ykx与直线2xyb0垂直，且2xyb0过圆心，所以解得k，b4.6(2016重庆一模)已知P(x，y)是直线kxy40(k0)上一点，PA是圆C：x2y22y0的一条切线，A是切点，若PA的最小长度为2，则k的值为()A3 B.C2 D2解析：选D.圆C：x2y22y0的圆心是(0，1)，半径是r1，因为PA是圆C：x2y22y0的一条切线，A是切点，PA的最小长度为2，所以圆心到直线kxy40的距离为，由点到直线的距离公式可得，因为k0，所以k2，故选D.7(2014高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_解析：圆心为(2，1)，半
19、径r2.圆心到直线的距离d，所以弦长为22.答案：8(2016杭州第二次质检)设圆C：(xk)2(y2k1)21，则圆C的圆心轨迹方程是_，若直线l：3xty10截圆C所得的弦长与k无关，则t_.解析：设C(x，y)，则xk，y2k1，故y2x1，所以圆C的圆心轨迹方程为y2x1.圆心(k，2k1)到直线l的距离d，因为圆C的半径为1，所以要使弦长与k无关，只需满足32t0，即t.答案：y2x19(2016太原模拟)已知P是直线3x4y80上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是_解析：四边形PACB的面积可表示为S2|PA|
20、1|PA|，故当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小而|PC|的最小值是点C到直线3x4y80的距离，此时|PC|3，故Smin2.答案：210过直线xy20上的点P作圆x2y21的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是_解析：因为点P在直线xy20上，所以可设点P(x0，x02)，且其中一个切点为M.因为两条切线的夹角为60，所以OPM30.故在RtOPM中，有|OP|2|OM|2.由两点间的距离公式得|OP| 2，解得x0.故点P的坐标是(，)答案：(，)11已知圆C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程(1)与直线l1：xy40平行；(2)与直线l2：x2
21、y40垂直；(3)过切点A(4，1)解：(1)设切线方程为xyb0，则，所以b12，所以切线方程为xy120.(2)设切线方程为2xym0，则，所以m5，所以切线方程为2xy50.(3)因为kAC，所以过切点A(4，1)的切线斜率为3，所以过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)，即3xy110.12(2015高考全国卷)已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中O为坐标原点，求|MN|.解：(1)由题设可知直线l的方程为ykx1.因为直线l与圆C交于两点，所以1，解得k.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，
22、y1)，N(x2，y2)将ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由题设可得812，解得k1，所以直线l的方程为yx1.故圆心C在直线l上，所以|MN|2.1(2016丽水模拟)已知过定点P(2，0)的直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当SAOB1时，直线l的倾斜角为()A150 B135C120 D不存在解析：选A.由y得x2y22(y0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的半圆，其图象如图所示设过点P(2，0)的直线为yk(x2)，则圆心到此直线的距离d，弦长|AB
23、|22 ，所以SAOB21，解得k2，由图可得k，故直线l的倾斜角为150.2(2016南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y24x0.若直线yk(x1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是_解析：圆C的方程可化为(x2)2y24.先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点P到圆心的距离为2”再将“直线上存在点P到圆心的距离为2”转化为“圆心到直线的距离小于等于2”即2，2k2.答案：2，23已知圆x2y22ax2ay2a24a0(0a4)的圆心为C，直线l：yxm.(1)若m4，求直线l被圆C所截得的弦长的最大值；(2)若直线l是圆心C下方的切线
24、，当a在(0，4上变化时，求m的取值范围解：(1)因为x2y22ax2ay2a24a0，所以(xa)2(ya)24a，所以圆心为C(a，a)，半径为r2，设直线l被圆C所截得的弦长为2t，当m4时，直线l：xy40，圆心C到直线l的距离为d|a2|，则t2(2)22(a2)22a212a82(a3)210，又0a4，所以当a3时，直线l被圆C所截得弦长的值最大，其最大值为2.(2)圆心C到直线l的距离为d，因为直线l是圆C的切线，所以dr，即2，所以m2a2，又因为直线l在圆心C的下方，所以m2a2(1)21，因为a(0，4，所以m的取值范围是1，844(2016湖州模拟)已知曲线C的方程为：
25、ax2ay22a2x4y0(a0，a为常数)(1)判断曲线C的形状；(2)设曲线C分别与x轴，y轴交于点A，B(A，B不同于原点O)，试判断AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；(3)设直线l：y2x4与曲线C交于不同的两点M，N，且|OM|ON|，求曲线C的方程解：(1)将曲线C的方程化为x2y22axy0(xa)2a2，可知曲线C是以点为圆心，以 为半径的圆(2)AOB的面积S为定值证明如下：在曲线C的方程中令y0，得ax(x2a)0，得点A(2a，0)，在曲线C方程中令x0，得y(ay4)0，得点B，所以S|OA|OB|2a|4.(定值)(3)因为圆C过坐标原点，且|OM|ON|，所以OCMN，所以，所以a2，当a2时，圆心坐标为(2，1)，圆的半径为，圆心到直线l：y2x4的距离d，直线l与圆C相离，不合题意舍去，a2时符合题意这时曲线C的方程为x2y24x2y0.高考资源网版权所有，侵权必究！