1、第3讲圆的方程,学生用书P169)1圆的定义及方程定 义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：，半径：2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.1辨明两个易误点(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程(
2、2)对于方程x2y2DxEyF0表示圆时易忽视D2E24F0这一条件2求解有关圆的问题的转化路径(1)注意二元二次方程表示圆的充要条件，善于利用切割线定理、垂径定理等平面中圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的距离转化为圆心到它们的距离(2)在圆中，注意利用半径、半弦长及弦心距组成的直角三角形1圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21解析：选A.设圆心坐标为(0，b)，则由题意知1，解得b2，故圆的方程为x2(y2)21.2(2016杭州模拟)方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件是
3、()A.m1 Bm1Cm1解析：选B.由(4m)2445m0，得m1.3圆心在y轴上且经过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()Ax2y210y0 Bx2y210y0Cx2y210x0 Dx2y210x0解析：选B.设圆心为(0，b)，半径为r，则r|b|，所以圆的方程为x2(yb)2b2.因为点(3，1)在圆上，所以9(1b)2b2，解得b5.所以圆的方程为x2y210y0.4点(1，1)在圆(xa)2(ya)24内，则实数a的取值范围是_解析：因为点(1，1)在圆的内部，所以(1a)2(1a)24，所以1a0)，则圆心坐标为.由题意可得消去F得解得代入求得F12，所以圆的方程为x2
4、y26x4y120，标准方程为(x3)2(y2)225.法二：因为A(0，6)，B(1，5)，所以线段AB的中点D的坐标为，直线AB的斜率kAB1，因此线段AB的垂直平分线l的方程是y，即xy50.圆心C的坐标是方程组的解，解得所以圆心C的坐标是(3，2)圆的半径长r|AC|5，所以，圆心为C的圆的标准方程是(x3)2(y2)225.(2)设过A、B、C三点的圆的方程为x2y2DxEyF0，分别代入A、B、C三点坐标，得解得所以A、B、C三点确定的圆的方程为x2y24xy50.因为D(a，3)也在此圆上，所以a294a2550.所以a7或a3(舍去)即a的值为7.考点二与圆有关的最值问题(高频
5、考点)学生用书P170与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题高考中对与圆有关的最值问题的考查主要有以下四个命题角度：(1)半径、面积型最值；(2)斜率型最值；(3)截距型最值；(4)距离型最值(1)(2014高考江西卷)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为()A.B.C(62) D.(2)(2016河南省豫西五校联考)已知M为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2，3)求|MQ|的最大值和最小值；若M(m，n)，求的最大值和最小值解(1)选A
6、.因为AOB90，所以点O在圆C上设直线2xy40与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2xy40的距离，所以点C在以O为焦点，以直线2xy40为准线的抛物线上，所以当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|，所以圆C的最小半径为，所以圆C面积的最小值为.(2)由圆C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r2.|QC| 4.所以|MQ|max426，|MQ|min422.可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，则k.由直线MQ与圆C有交点，所以2.可得2k2，所以的最大值为2，
7、最小值为2.与圆有关的最值问题的常见解法(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 2.已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解：原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k(如图1)所以的最大值为，最小
8、值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2(如图2)所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.考点三与圆有关的轨迹问题学生用书P171已知圆x2y24上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解(1)设AP的中点为M(x
9、，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2，2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.求与圆有关的轨迹方程的方法 3.(2016绍兴质检)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(1，0)，B(3，0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程解：(1)法一：设
10、顶点C(x，y)，因为ACBC，且A、B、C三点不共线，所以x3且x1.又kAC，kBC，且kACkBC1，所以1，即x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1)法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知，|CD|AB|2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(x3且x1)(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x(x3且x1)，y，于是有x02x3，y
11、02y.由(1)知，点C在圆(x1)2y24(x3且x1)上运动，将x02x3，y02y代入该方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21(x3且x1)因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(x3且x1),学生用书P172)考题溯源求圆的方程(2015高考全国卷)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B.C. D.解析法一：设圆的方程为x2y2DxEyF0，则解得D2，E，F1.圆心为，所求距离为 .法二：在平面直角坐标系xOy中画出ABC，易知ABC是边长为2的正三角形，其外接圆的圆心为D.因此|OD| .答案B本题源于人教A版必修2
12、 P122例4“求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标”如果一个三角形的三边所在的直线方程分别为x2y50，y20，xy40，则该三角形的外接圆方程为_解析：因为三角形三边所在的直线方程分别为x2y50，y20，xy40，所以可得三角形的三个顶点分别是(1，2)，(2，2)，(3，1)设三角形外接圆的方程为x2y2DxEyF0，则所以所以该三角形外接圆的方程为x2y23xy0，答案：x2y23xy01已知点A(1，1)，B(1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()Ax2y22Bx2y2Cx2y21 Dx2y24解析：选A.AB的中点坐标
13、为(0，0)，|AB|2，所以圆的方程为x2y22.2已知C：x2y2DxEyF0，则“FE0且D0，即a5.又圆关于直线y2xb成轴对称，所以22b，所以b4.所以aba40矛盾所以舍去，即(6，8)(2)圆x26xy22y0，即(x3)2(y1)2()2，其圆心C(3，1)，半径r，因为(4，3)(6，8)(10，5)，所以直线OB的方程为yx.设圆心C(3，1)关于直线yx的对称点的坐标为(a，b)，则解得所以所求圆的方程为(x1)2(y3)210.4在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线yx相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(xa)2(yb)28.因为直线yx与圆C相切于原点O，所以O点在圆C上，且OC垂直于直线yx，于是有或由于点C(a，b)在第二象限，故a0，所以圆C的方程为(x2)2(y2)28.(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，则有解之得x或x0(舍去)所以存在点Q，使Q到定点F(4，0)的距离等于线段OF的长