1、洛阳市20202021学年高中三年级期中考试数学试卷（理）本试卷分第I卷(选择题）和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页，第n卷3至 4页.共150分.考试时间120分钟.第I卷(选择题，共60分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2.考试结束，将答题卡交回.一、选择题:本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.若复数z=i1-i则|z|=A. 1 B. 22C. 2 D. 22.已知集合 A = x | x2-3x0，则 AB = A. (0,1)B. (0,3)C. (1,3)D. (3,+3.已知
2、向量a,b均为非零向量，且| a | =丨b | = | a 一b |，则a与b的夹角为A. 6B. 3C. 23 D. 564.执行如图所示的算法，若输出的结果y 2,则输人的x满足A.x 4B.x 1C.x -1 或 x 4D.- 1 x 45. 已知等差数列an的前n项和为Sn,S4=7a1 =，则a5 a2 =A. 2B.3C. 3 2 D. 5 3 6. 7.已知四个命题:P1: x0R,sinx0-cosx02 P2: xR,tanx=sinxcosxP3: x0R,x02+x0+10 P4: x0,x+1x2; 以下命题中假命题是A. P1 V P4B. P2 V P4 C. P
3、1 V P3D. P2 V P47.若a,b,c满足 3a = 4, 4b = 3，c = log25,则A. b a cB. b c aC. a b c D. a c 0, | | 2，fx=exx-a=x+a，有下列结论:fx有两个极值点；fx有三个零点；fx的所有零点之和为0.其中正确的结论是_.(填序号）三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分）已知等比数列an的前n项和Sn =2n+1-r.(1) 求r的值，并求出数列的通项公式；(2) 令bn=2nan-1(an+1-1)(nN*)，求数列bn的前 n 项和Tn1
4、8.(本小题满分12分）在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，B，c，若2c-b a= sinC tanA- cosC.(1)求 A;(2)若b= 32，c = 2,点 D 为 BC 中点，求 a 及 AD.19.(本小题满分12分）如图四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄底面ABCD.PA =AB =2，点E，F分别是棱PB，PC的中点.(1)求证PB丄AF；(2)若AD = 1,求二面角A EC D的平面角的余弦值。20.(本小题满分12分)已知椭圆C:x2a2十y2b2 - 1(a b0)人心率为其左,右焦点分别是F1 ,F2,椭圆上的4个点A,B,M,N满足
5、：直线AB过左焦点F1，直线AM过坐标原点O，直线AN的斜率为-32，且AB F2的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)求AMN面积的最大值.21.(本小题满分12分）已知函数 fx = lnx + ax2 + (a + 2)x +1(a R).(1)讨论函数fx的单调性；(2)若a=-2,证明：当x0 时ex-2x+2x-1-xf(x)0.请考生在第22、23题中任选一做答，如果多做，则按所做的第一题计分,做答时，用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑22.(本小题满分10分）选修4 一 4极坐标和参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，1),曲线C1的参数方程为x=
6、2+2costy=2sint(t为参数).以坐标原点O为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=2sin，曲线C3的极坐标方程为=6(0).(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)设C3分别交C1，C2于点P，Q，求APQ的面积.23.(本小题满分10分）选修4 5 :不等式选讲已知函数fx=x-12+x+12 M为不等式fx 2的解集.求M;(2)证明：当a,b M 时，| a + b|丨 1 + ab I.洛阳市20202021学年高中三年级期中考试数学试卷参考答案(理）一、选择题1-5 BCBCA 6-10 DADBB 11-12 CD二、填空题13. 314.
7、215. 16216.三、解答题17.解：（1) Sn = 2n+1-r，当 n = 1 时, a1 = S1 = 4 r.当n2时, an = Sn-Sn-1 = 2n+1-r-2n-r=2nan是等比数列，a1 = 4 r r = 2, an = 2n (nN* ).(2)bn=2nan-1(an+1-1)=2n2n-1(2n+1-1)=12n-1-12n-1-1, Tn=b1+b2+bn=12-1-122-1+122-1-123-1+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1=2n+1-22n+1-118.解：（1)由正弦定理，原式可化为 2sinCsinB = sinA(sinCt
8、anA - cosC)，即2sinC sin(A + C) = sinA(sinCtanA cosC)，2sinC sinAcosC cosAsinC = sinCsin2AcosAsinAcosC.sinC0, sin2AcosA + cosA =2，即 sin2A + cos2A A = 2cosA，cosA =22，又0A， A=4(2)由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA=18+4-12=10,a = 10,D是BC的中点，BD=a2=102又 cosB=a2+c2-b22ac=-1010AD2=AB2+ BD2 - 2AB BD cosB=172AD=172=34219.
9、解： PA 丄底面ABCD,BC 平面 ABCD， PA 丄 BC. 而 BC 丄 AB，PA AB = A， BC 丄平面 PAB，又 PB平面 PAB， BC丄PB.连结EF， E,F点分别是棱PB,PC的中点，EF 为PBC 的中位线， EF / BC，EF 丄 PB. 又PAB为等腰直角三角形，E为斜边的中点，AE 丄PB而EF平面 AEF，AE平面 AEF，EF AE = E，PB 丄平面AEF. 又AF平面AEF，PB 丄AF.(2)如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴,z轴建立空间直角坐标系.则 D(0，1，0)，C(2，1，0)，B(2，0,0)，P(0,
10、0, 2)，E(22,0, 22)7 分AC= (2 , 1 , 0) , AE = (22,0, 22)，设平面ACE的法向量为m = (x1, y1,z1)，则m AC=2x1+y1=0m AE=22x1+22z1=0取x1=-1，则m=-1，2 , 1， 9 分设平面DCE的法向量为n = (x2, y2,z2)，而 DC =(2，0,0)，DE = (22,-1, 22). 则n DC=2x2=0n DE=22x2-y2+22z2=0 取 y2 = 1，则 n = (0，1，2).cos=m n|m| |n|=63 11分二面角A EC D的平面角的余弦值为6320. (1)由椭圆的定
11、义知4a = 8. a = 2. ca=12,c=1从而 b2 = a2 c2 = 3.椭圆C的方程为x24十y23=1 (2)设直线 AN:y=-32x+t代入曲线C: x24十y23=1化简得 3x2 3tx 3=0设 A(x1, y1)，N(x2, y2)，由 0 得：t2 0，fx在(0, + )上单调递增； 若a0得0x-1a；由 fx-1a.函数fx在(0, -1a）上单调递增，在(-1a，+ )上单调递减.综上，当a 0时，则fx在(0, + )上单调递增；当a 0时，fx在(0, -1a）上单调递增，在(-1a，+ )上单调递减由可知，当a =-2时，fx在(0，12 )上单调
12、递增，在(12，+ )上单调递减， f(x)max= f12 =ln12-12+1=12-ln20 6 分fx = lnx 2x2 + 1 2x3 + x,ex-x2-1-xfx可化为ex-xlnx+2x3-x2+x-1ex-xlnx+2x3-x2+x-1ex-x2+2x-1.记 h(x) =ex-x2+2x-1 (x 0)，则 h(x) = ex-2x+2 记x= ex-2x+2，则x=ex-2，由x=ex-2=0,得 x = ln2.当x (0，ln2)时，x 0，函数x在(0，ln2)上单调递减，在(ln2, +)上单调递增，(x)max = ln2 =eln2-2ln2+2 = 4 2
13、ln2 0,(x) 0,即 h(x) 0,故函数h(x)在(0, +)上单调递增. h(x) h(0) =e0-1= 0,即, ex-x2+2x-1 0,ex-xlnx+2x3-x2+x-1 0.22. 解:（1)由x=2+2costy=2sint(t为参数），消去参数t得，(x-2) 2+y2=4,即g的普通方程为x2+y2-4x=0.x =cos y=sin,C1的极坐标方程为, 2-4cos=0,即 = 4cos .(2)设点P，Q的极坐标分别为(1,6)，Q(2,6).将=6代入=4cos,得1=23.将=6代入=2sin，得2 = 1_所以 I PQ | = |1-2|=23 -1.所以点A(0，1)到曲线=6(0)的距离d = | OA | sin3=32所以 SAPQ = 12|PQ|d = 12(23 -1 ) 32 =32-3423.解:当x- 12时，fx=12-x-x-12=-2x，则由 fx 2 得-1 x - 12;当-12x12时，fx=12-x+x+12 = 1 12 时，fx=2x;，由 fx 2 得，12x1.综上可得，M= x|-1x0，即 a2b2+1a2+b2，则 a2b2 +2ab + 1 a2 +2ab +b2,则(ab + 1)2 (a + b)2，即 |a + b| ab + 1|.