1、专题4.6 正弦定理和余弦定理【考情分析】1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.【重点知识梳理】知识点一 正弦定理和余弦定理1.在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式2Ra2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC常见变形(1)a2Rsin A，b2RsinB，c2RsinC；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsinAsinBsinC；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2
2、.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r. 3.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aabab解的个数一解两解一解一解无解 知识点二 三角函数关系和射影定理 1.三角形中的三角函数关系(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C；(3)sincos；(4)cossin.2.三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.3.在ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，AB
3、absin Asin Bcos Acos B.【典型题分析】高频考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】【2020江苏卷】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值【解析】（1）在中，因为，由余弦定理，得，所以.在中，由正弦定理，得，所以（2）在中，因为,所以为钝角，而,所以为锐角.故则.因为，所以，.从而. 【举一反三】(1)(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A，则()A6B5C4 D3【答案】A【解析】asin Absin B4csin C，由正弦
4、定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cos A，6.故选A。 (2)(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.求A；若ab2c，求sin C.【解析】由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60.由知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60).由于0C120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)si
5、n(C60)cos 60cos(C60)sin 60.【方法技巧】解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据【举一反三】(2018全国卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB()A4 B.C. D2【答案】A【解析】cos，cos C2cos21221.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C521225132，AB4.【方法技巧】正、余弦定理的应用技巧1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通
6、常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数。【举一反三】(2018天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinAacos.求角B的大小；设a2，c3，求b和sin(2AB)的值【解析】在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B.又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，可得tan B.又因为B(0，)，所以B.在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c2
7、2accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A.因为ac，所以cos A.因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.高频考点二 与三角形面积有关的问题【例2】【2020北京卷】在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，求：（）a的值：（）和的面积条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【解析】选择条件（）（）由正弦定理得：选择条件（）由正弦定理得：（）【举一反三】(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的
8、面积为_【答案】6【解析】法一：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以ABC的面积Sacsin B42sin 6.法二：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以A，所以ABC的面积S266.【方法技巧】1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公
9、式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键2已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解【举一反三】(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin bsin A。(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围。【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因为sin A0，所以sinsin B.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，故sin，因此B60.(2
10、)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是。高频考点三 判断三角形的形状【例3】（2020山东实验中学模拟）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定【答案】B【解析】由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sin Asin2A.A(0，)，sin A0，sin A1，即A，ABC为直角三角形【方法技巧】在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解【变式探究】（2020河北衡水中学调研）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状是()A直角三角形B等腰非等边三角形C等边三角形D钝角三角形【答案】C【解析】因为，所以.所以bc.又(bca)(bca)3bc，所以b2c2a2bc，所以cos A.因为A(0，)，所以A，所以ABC是等边三角形。