1、第5讲简单的三角恒等变换基础知识整合1两角和与差的正弦、余弦和正切公式2二倍角的正弦、余弦、正切公式公式名公式二倍角的正弦sin22sincos二倍角的余弦cos2cos2sin212sin22cos21二倍角的正切tan21公式的常用变式：tantantan()(1tantan)；tantan11.2降幂公式：sin2；cos2；sincossin2.3升幂公式：1cos2cos2；1cos2sin2；1sin2；1sin2.4常用拆角、拼角技巧：例如，2()()；()()；(2)()；()()；等5辅助角公式：一般地，函数f()asinbcos(a，b为常数)可以化为f()sin()或f(
2、)cos(). 1sin415cos415()A. B C. D答案D解析sin415cos415(sin215cos215)(sin215cos215)sin215cos215cos30.故选D.2(2018全国卷)若sin，则cos2()A. B C D答案B解析cos212sin21.故选B.3(2019南宁联考)若角满足sin2cos0，则tan2()A B C D答案D解析由题意知，tan2，所以tan2.故选D.4(2019全国卷)已知，2sin2cos21，则sin()A. B C. D答案B解析由2sin2cos21，得4sincos2cos2.又，tan，sin.故选B.5c
3、os18cos42cos72sin42_.答案解析cos18cos42cos72sin42cos18cos42sin18sin42cos(1842)cos60.6.若tan，tan()，则tan_.答案解析tantan().核心考向突破考向一三角函数的化简例1(1)(2019天津河北区二模)已知函数f(x)cos2sincos，xR，给出下列四个命题：函数f(x)的最小正周期为2；函数f(x)的最大值为1；函数f(x)在上单调递增；将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为g(x)sin2x.其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4答案B解析f(x)cossincos2x
4、cossin2xsincos2xsin2xcos2xsin.f(x)的最小正周期T，可知错误；sin1,1，即f(x)的最大值为1，可知正确；当x时，2x，此时f(x)不单调，可知错误；f(x)的图象向左平移个单位长度，即g(x)fsinsin2x，可知正确故正确命题的个数为2.故选B.(2)(2019安徽省江淮十校高三第三次联考)已知函数f(x)(1cosx)cosxtan，那么下列说法正确的是()A函数f(x)在上是增函数，且最小正周期为B函数f(x)在上是减函数，且最小正周期为2C函数f(x)在上是增函数，且最小正周期为D函数f(x)在上是减函数，且最小正周期为2答案A解析f(x)(1c
5、osx)cosxtan(1cosx)cosx(1cosx)cosx(1cosx)cosxsin2x，且1cosx0，即定义域为x|x2k，kZ，由此可知f(x)的最小正周期是，且在上是增函数，在上是减函数，故选A.三角函数式化简的常用方法(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数(2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一(3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次即时训练1.(2018全国卷)函数f(x)的最小正周期为()A. B C D2答案C解析由已知得f(x)s
6、inxcosxsin2x，所以f(x)的最小正周期T.故选C.2(2019河北省级示范性高中联合体联考)已知函数f(x)2cos2sin，则下列判断错误的是()Af(x)为偶函数Bf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的值域为1,3Df(x)的图象关于点对称答案D解析因为f(x)1cossin12sin12cos4x，所以f(x)为偶函数，A正确；由4xk(kZ)，得x(kZ)，当k1时，x，B正确；因为2cos4x2,2，所以f(x)的值域为1,3，C正确；令x，则f10，故D错误故选D.精准设计考向，多角度探究突破考向二三角函数的求值角度1给值求值例2(1)(2020湖北襄阳调研)已知si
7、nxcosx，则cos()A. B C. D答案B解析由sinxcosx，得2sin，则cossin.故选B.(2)(2019安徽皖南八校第三次联考)若sincos，cossin，则sin()()A. B C. D答案D解析sincos，cossin，22，可得(sin2cos2)(sin2cos2)2(sincoscossin)1，即22sin()1，即sin()，故选D.(3)(2019重庆检测)已知是第四象限角，且sincos，则tan_.答案解析因为sincos，是第四象限角，所以sin，cos，则tan.给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基
8、本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来即时训练3.(2019江苏高考)已知，则sin的值是_答案解析解法一：由，解得tan2或.sin(sin2cos2)(2sincos2cos21)(sincoscos2)，将tan2和分别代入得sin.解法二：，sincoscossin.又sinsinsincoscossin，由，解得sincos，cossin.sinsinsincoscossin.角度2给角求值例3(1)(2019浙江温州模拟)tan70tan50tan70tan50的值等于()A. B C D答案D解析因为tan120，所以tan70tan50tan70tan50.
9、故选D.(2)()A4 B2 C2 D4答案D解析4.故选D.该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值即时训练4.(2019九江模拟)化简等于()A2 B C1 D1答案C解析1.5化简_.答案4解析原式4.角度3给值求角例4(1)(2019四川成都模拟)若sin2，sin()，且，则的值是()A. BC.或 D或答案A解析因为，所以2，又因为sin2，所以2，所以cos2.又因为，所以，故cos()，所以cos()cos2()cos2cos()sin2sin()，又因为，故.选A.(2)已知，(0，)，且ta
10、n()，tan，则2的值为_答案解析tantan()0，00，02，tan(2)1.tan0，20，2.(1)已知正切函数值，则选正切函数(2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数若角的范围是，则选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，)，则选余弦函数较好；若角的范围为，则选正弦函数较好即时训练6.(2020福建漳州八校联考)已知锐角的终边上一点P(sin40，1cos40)，则等于()A10 B20 C70 D80答案C解析由题意，得tantan70.又为锐角，70，故选C.7(2019江苏徐州质检)已知cos，cos()，且0，则的值为_答案解析0，0.又cos()，sin().cos，0
11、，sin，coscos()coscos()sinsin().0，.考向三三角恒等变换的综合应用 例5(2019广东模拟)已知函数f(x)22sin2.(1)若f(x)，求sin2x的值；(2)求函数F(x)f(x)f(x)f2(x)的最大值与单调递增区间解(1)由题意知f(x)1sinx(1cosx)sinxcosx，又f(x)，sinxcosx，sin2x1，sin2x.(2)F(x)(sinxcosx)sin(x)cos(x)(sinxcosx)2cos2xsin2x1sin2xcos2xsin2x1sin1，当sin1时，F(x)取得最大值，即F(x)max1.令2k2x2k(kZ)，k
12、xk(kZ)，从而函数F(x)的最大值为1，单调递增区间为(kZ)三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用(2)把形如yasinxbcosx化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性即时训练8.(2019贵阳模拟)已知函数f(x)cosxsincos2x，xR.(1)求f(x)的最小正周期，对称轴方程，对称中心坐标；(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值解(1)由已知，有f(x)cosxcos2xsinxcosxcos2xsin2x(1cos2x)sin2xcos2xsin.所以f(x
13、)的最小正周期T.由2xk(kZ)得对称轴方程为x(kZ)；由2xk(kZ)得x(kZ)，所以对称中心坐标为(kZ)(2)由x得2x，则sin，所以函数f(x)sin.所以函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为.学科素养培优（七） 拼凑法在三角恒等变换中的妙用1(2019海口模拟)4cos50tan40()A. B C. D21答案C解析4cos50tan40.2(2019四川成都七中5月模拟)已知sin2sin3xcos，则cos()A. B C. D答案B解析因为sinsinsin3xcoscos3xsin，所以sin2sin3xcossin3xcoscos3xsin，整理得sin，即sin，所以coscoscos2sin21，故选B.答题启示角的变换是三角函数变化的一种常用技巧，解题时要看清楚题中角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，把“目标角”变成“已知角”，通过角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决对点训练1(2019江西九江第二次统考)若sin2cossin，则()A. B C2 D4答案B解析sin2cossin，sincoscossin2cossin，即sincos3cossin，tan3tan，则.故选B.2(2019合肥模拟)计算：tan204sin20_.答案解析原式4sin20.