1、第3讲三角函数的图象与性质基础知识整合1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数ysinx，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)，在余弦函数ycosx，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysinxycosxytanx图象定义域xRxR值域1,11,1R单调性在(kZ)上递增；在(kZ)上递减在(2k1)，2k(kZ)上递增；在2k，(2k1)(kZ)上递减在k，(kZ)上递增最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1无
2、最值奇偶性奇偶奇对称性对称中心(k，0)，kZ，kZ，kZ对称轴直线xk，kZ直线xk，kZ无对称轴最小正周期221函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期T，函数ytan(x)的最小正周期T.2正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期3三角函数中奇函数一般可化为yAsinx或yAtanx的形式，偶函数一般可化为yAcosxb的形式4若f(x)Asin(x)(A0，0)，则：(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ) 1函数ytan的
3、定义域是()A.B.C.D.答案D解析ytantan，由xk，kZ，得xk，kZ.故选D.2(2019江西六校联考)下列函数中，最小正周期是且在区间上是增函数的是()Aysin2x BysinxCytan Dycos2x答案D解析ysin2x在区间上的单调性是先减后增；ysinx的最小正周期是T2；ytan的最小正周期是T2；ycos2x满足条件故选D.3(2018全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则()Af(x)的最小正周期为，最大值为3 Bf(x)的最小正周期为，最大值为4Cf(x)的最小正周期为2，最大值为3 Df(x)的最小正周期为2，最大值为4答案B解析根据题意，有f
4、(x)cos2x，所以函数f(x)的最小正周期为T，且最大值为f(x)max4.故选B.4(2019长沙模拟)函数ysin，x2，2的单调递增区间是()A. B和C. D答案C解析令zx，函数ysinz的单调递增区间为(kZ)，由2kx2k(kZ)，得4kx4k(kZ)，又因为x2，2，故其单调递增区间是.故选C.5(2019衡水中学调研)函数f(x)sin在区间上的最小值为()A1 B C. D0答案B解析由已知x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.6函数y32cos的最大值为_，此时x_.答案52k(kZ)解析函数y32cos的最大值为325，此时x2k(kZ)，
5、即x2k(kZ)核心考向突破考向一三角函数的定义域例1(1)(2019烟台模拟)函数y的定义域为()A.B.(kZ)C.(kZ)DR答案C解析由cosx0，得cosx，2kx2k，kZ.(2)(2019江苏无锡模拟)函数ylg sin2x的定义域为_答案解析由得3x或0x.函数ylg sin2x的定义域为.(1)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式) (2)求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴 (3)对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集即时训练1.函数y的定义域为()
6、A.B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案B解析由2sinx10，得sinx，所以2kx2k(kZ)2函数ylg (sinxcosx)的定义域是_答案解析要使函数有意义，必须使sinxcosx0.解法一：利用图象在同一坐标系中画出0,2上ysinx和ycosx的图象，如图所示：在0,2内，满足sinxcosx的x为，在内sinxcosx，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为.解法二：利用三角函数线如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinxcosx，只须x0，由正弦函数ysinx的图象和性质可知2kx2k，kZ，解得2kx0)的最小正周期为，则下列选项正确的是()A函数f(x)的图
7、象关于点对称B函数f(x)的图象关于点对称C函数f(x)的图象关于直线x对称D函数f(x)的图象关于直线x对称答案B解析设函数f(x)的最小正周期为T，依题意得T，2，f(x)2sin.f2sin20，因此函数f(x)的图象不关于点对称，A不正确f2sin0，因此函数f(x)的图象关于点对称，B正确，D不正确f2sin12，因此函数f(x)的图象不关于直线x对称，C不正确综上所述，选B.(2)(2018江苏高考)已知函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，则的值是_答案解析函数ysin(2x)的图象关于直线x对称，x时，函数取得最大值或最小值，sin1.k(kZ)，k(kZ)，又0，函数f(
8、x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A. BC. D(0,2)答案A解析由2kx2k(kZ)，得x(kZ)f(x)sin在上单调递减，解得令k0，得.故选A.1三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象的性质，对yAsin(x)，代入x0，若y0则为奇函数，若y为最大值或最小值则为偶函数2求函数yAsin(x)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题(1)ysinx的对称中心是(k，0)，kZ，yAsin(x)的对称中心，由方程xk解出x即可(2)ysinx的对称轴是直线xk，kZ，由xk解出x，即可得到函数yAsin(x)的对称轴(3)注意ytanx的对称中心为(kZ)3
9、求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式(如x)整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数(ysinx、ycosx、ytanx)的单调性列不等式求解(2)图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间提醒：要注意求函数yAsin(x)的单调区间时的符号，若0，那么一定要先借助诱导公式将化为正数同时切莫忘记考虑函数自身的定义域4利用单调性确定的范围的方法对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解，另外，若是选择题，利用特值验证
10、、排除法求解更为简便即时训练5.(2019全国卷)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是()Af(x)|cos2x| Bf(x)|sin2x|Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x|答案A解析作出函数f(x)|cos2x|的图象，如图由图象可知f(x)|cos2x|的周期为，在区间上单调递增同理可得f(x)|sin2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)cos|x|的周期为2.f(x)sin|x|不是周期函数，排除B，C，D.故选A.6(2018全国卷)若f(x)cosxsinx在a，a是减函数，则a的最大值是()A. B C. D答案A解析f(x)cosxsinxcos，由2kx2k(kZ)得2kx2k(kZ)，因此a，a.aa，a，a，0a，从而a的最大值为，选A.7若函数f(x)cos(2x)的图象关于点成中心对称，且，则函数yf为()A奇函数且在内单调递增B偶函数且在内单调递增C偶函数且在内单调递减D奇函数且在内单调递减答案D解析函数f(x)cos(2x)的图象关于点成中心对称，2k(kZ)，k.，f(x)cos，fcossin2x，f为奇函数由2k2x2k(kZ)，解得kxk.令k0得函数f的一个单调递减区间为，函数f在内