1、专题升级训练 立体几何中的向量方法(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.平面的一个法向量n=(1,-1,0),则y轴与平面所成的角的大小为()A.B.C.D.2.在二面角-l-中,平面的法向量为n,平面的法向量为m,若=130,则二面角-l-的大小为()A.50B.130C.50或130D.可能与130毫无关系3.直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,BAC=30,BC=1,AA1=,M是CC1的中点,则异面直线AB1与A1M所成的角为()A.60B.45C.30D.904.如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD底面ABCD,PD=
2、AD=1,设点C到平面PAB的距离为d1,点B到平面PAC的距离为d2,则有()A.1d1d2B.d1d21C.d11d2D.d2d115.过正方形ABCD的顶点A,引PA平面ABCD.若PA=BA,则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A.30B.45C.60D.906.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹为() 二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别是A1B1
3、和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值为.8.正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是.9.在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,点M是线段DC1上的动点,则点M到直线AD1距离的最小值是.三、解答题(本大题共3小题,共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分15分)如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,PD=AD=2.(1)求PC与平面PBD所成的角;(2)在线段PB上是否存在一点E,使得PC平面ADE?并说明理由.11.(本小题满分15分)
4、(2013浙江,理20)如图,在四面体A-BCD中,AD平面BCD,BCCD,AD=2,BD=2.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.(1)证明:PQ平面BCD;(2)若二面角C-BM-D的大小为60,求BDC的大小.12.(本小题满分16分)如图,在锥体P-ABCD中,ABCD是边长为1的菱形,且DAB=60,PA=PD=,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点. (1)证明:AD平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.#1.B2.C解析:因为二面角的范围是0,180,由法向量的夹角与二面角的大小相等或互补,可知二面角的大小可能是130也可能是50.3.
5、D解析:建立坐标系如图所示,易得M,A1(0,0),A(0,),B1(1,0,0),=(1,-,-),.=10+3-=0,即AB1A1M.4.D解析:CD平面PAB,C到平面PAB的距离等于D到平面PAB的距离.过D作DEPA,则DE平面PAB,故d1=DE=.B与D到平面PAC的距离相等.设ACBD=O,则平面PDO平面PAC,d2等于D到PO的距离,可计算得d2=,d2d11.5.B6.A解析:以D为原点,DA,DC分别为x,y轴建系如图:设M(x,y,0),设正方形边长为a,则P,C(0,a,0),则|MC|=,|MP|=.由|MP|=|MC|得x=2y,所以点M在正方形ABCD内的轨迹
6、为一条直线y=x,故选A.7.解析:以D为坐标原点,为x轴,为y轴,为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则A(1,0,0),M,C(0,1,0),N,.设直线AM与CN所成的角为,则cos=|cos|=.8.30解析:如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,则=(2a,0,0),=(a,a,0).设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),则cos=.=60,直线BC与平面PAC所成的角为90-60=30.9.a解析:以D为原点建立空间直角坐标系(如原图所示),则A(a,0,0
7、),D1(0,0,a).设M(0,x,x)(0xa),有=(-a,x,x),=(-a,0,a),则cos=,则点M到直线AD1的距离d为d=|sin=,当x=时,dmin=a.10.解:(1)连接AC,设ACBD=O,连接PO.因为PD平面ABCD,CO平面ABCD,所以PDCO.由ABCD为正方形,知COBD.又PDBD=D,所以CO平面PBD.所以CPO是PC与平面PBD所成的角.在RtPOC中,sinCPO=,所以CPO=,即PC与平面PBD所成的角为.(2)建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设线段PB上存在点E,使得PC平面ADE.则存在实数,使得=(01).因为P(0,0,2)
8、,B(2,2,0),所以=(2,2,-2),+=(0,0,2)+(2,2,-2)=(2,2,2-2).由题意,显然有AD平面PCD,所以PCAD.要使PC平面ADE,只需再有,即=0,即0(2)+2(2)-2(2-2) =0.解得=0,1.故在线段PB上存在一点E(E为线段PB的中点),使得PC平面ADE.11.方法一:(1)证明:取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF=3FC,连接OP,OF,FQ,因为AQ=3QC,所以QFAD,且QF=AD.因为O,P分别为BD,BM的中点,所以OP是BDM的中位线,所以OPDM,且OP=DM.又点M为AD的中点,所以OPAD,且OP=AD.从而OP
9、FQ,且OP=FQ,所以四边形OPQF为平行四边形,故PQOF.又PQ平面BCD,OF平面BCD,所以PQ平面BCD.(2)解:作CGBD于点G,作CHBM于点H,连接CH.因为AD平面BCD,CG平面BCD,所以ADCG,又CGBD,ADBD=D,故CG平面ABD,又BM平面ABD,所以CGBM.又GHBM,CGGH=G,故BM平面CGH,所以GHBM,CHBM.所以CHG为二面角C-BM-D的平面角,即CHG=60.设BDC=.在RtBCD中,CD=BDcos=2cos,CG=CDsin=2cossin,BG=BCsin=2sin2.在RtBDM中,HG=.在RtCHG中,tanCHG=.
10、所以tan=.从而=60.即BDC=60.方法二:(1)证明:如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A(0,2),B(0,-,0),D(0,0).设点C的坐标为(x0,y0,0).因为=3,所以Qy0,.因为M为AD的中点,故M(0,1).又P为BM的中点,故P,所以.又平面BCD的一个法向量为u=(0,0,1),故u=0.又PQ平面BCD,所以PQ平面BCD.(2)解:设m=(x,y,z)为平面BMC的一个法向量.由=(-x0,-y0,1),=(0,2,1),知取y=-1,得m=.又平面BDM的一个法向量为n=(1,0,0
11、),于是|cos|=,即=3.又BCCD,所以=0,故 (-x0,-y0,0)(-x0,-y0,0)=0,即=2.联立,解得(舍去)或所以tanBDC=.又BDC是锐角,所以BDC=60.12.解法一:(1)证明:取AD中点G,连接PG,BG,BD.因PA=PD,有PGAD,在ABD中,AB=AD=1,DAB=60,有ABD为等边三角形,因此BGAD,BGPG=G,所以AD平面PBGADPB,ADGB.又PBEF,得ADEF,而DEGB得ADDE,又FEDE=E,所以AD平面DEF.(2)PGAD,BGAD,PGB为二面角P-AD-B的平面角.在RtPAG中,PG2=PA2-AG2=,在RtA
12、BG中,BG=ABsin 60=,cosPGB=-.解法二:(1)证明:取AD中点为G,因为PA=PD,所以PGAD.又AB=AD,DAB=60,ABD为等边三角形,因此,BGAD,从而AD平面PBG.延长BG到O且使得POOB,又PO平面PBG,POAD,ADOB=G,所以PO平面ABCD.以O为坐标原点,菱形的边长为单位长度,直线OB,OP分别为x轴,z轴,平行于AD的直线为y轴,建立如图所示空间直角坐标系.设P(0,0,m),G(n,0,0),则A,D.|=|sin 60=,B,C,E,F.由于=(0,1,0),得=0,=0,ADDE,ADFE,DEFE=E,AD平面DEF.(2),=2,解之,得m=1,n=.取平面ABD的法向量n1=(0,0,-1),设平面PAD的法向量n2=(a,b,c),由n2=0,得a-c=0,由n2=0,得a+-c=0,取n2=,cos=-.