1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2课时求空间角和距离考点一异面直线所成的角学生用书P155如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值解(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.因为PA平面ABCD，所以PABD.又因为ACPAA，所以BD平面PAC.(2)设ACBDO.因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO.如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，2)，A(0，0)，B(1，0，0)，C(0，0)所以(1，2)，(0，2，0)设PB与AC
2、所成角为，则cos .即PB与AC所成角的余弦值为.求解两条异面直线所成角的方法,一是几何法：作证算；二是向量法：把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点，“转化”是求异面直线所成角的关键一般地，异面直线AC，BD的夹角的余弦值为cos 1.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，E是PC的中点已知AB2，AD2，PA2.求：(1)PCD的面积；(2)异面直线BC与AE所成的角的大小解：(1)因为PA底面ABCD，所以PACD.又ADCD，PAADA，所以CD平面PAD，从而CDPD.因为PD2，CD2，所以PCD的面积为222.(2)法一：如图，取PB的中
3、点F，连接EF，AF，则EFBC，从而AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角在AEF中，由EF，AF，AE2知AEF是等腰直角三角形，所以AEF.因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(2，2，0)，E(1，1)，(1，1)，(0，2，0)设与的夹角为，则cos ，所以.由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是.考点二直线与平面所成的角学生用书P156(2014高考陕西卷)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是
4、矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值解(1)证明：由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1.由题设，BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，所以BCFG，BCEH，所以FGEH.同理EFAD，HGAD，所以EFHG，所以四边形EFGH是平行四边形又因为ADDC，ADBD，所以AD平面BDC，所以ADBC，所以EFFG，所以四边形EFGH是矩形(2)法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，(0，0，1)，(2，2，0)，(2，0，1)设平面
5、EFGH的法向量n(x，y，z)，因为EFAD，FGBC，所以n0，n0，得取n(1，1，0)，所以sin |cos，n|.法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)因为E是AB的中点，所以F，G分别为BD，DC的中点，得E，F(1，0，0)，G(0，1，0)所以，(1，1，0)，(2，0，1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，得取n(1，1，0)，所以sin |cos，n|.利用向量求线面角的方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)(2)通过
6、平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角. 2.(2016宁波第二次适应性测试)如图所示多面体中，AD平面PDC，ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段BP上一点，CDP120，AD3，AP5，PC2.(1)试确定点F的位置，使得EF平面PDC；(2)若BFBP，求直线AF与平面PBC所成的角的正弦值解：(1)取线段BP的中点F，取PC的中点O，连接FO，DO(图略)，因为F，O分别为BP，PC的中点，所以FO綊BC.因为四边形ABCD为平行四边形，EDBC，且DEBC，所以FOED且EDFO，所以四边形EFOD是平行四边形，所以E
7、FDO.因为EF平面PDC，DO平面PDC，所以EF平面PDC.(2)以DC所在直线为x轴，过D点作DC的垂线为y轴，DA所在直线为z轴建立空间直角坐标系(图略)在PDC中，由PD4，PC2，CDP120，用余弦定理，得CD2，则D(0，0，0)，C(2，0，0)，B(2，0，3)，P(2，2，0)，A(0，0，3)，设F(x，y，z)，则(x2，y，z3)，所以F.设平面PBC的法向量n1(a，b，c)，(0，0，3)，(4，2，0)，由得令b1，可得n1.cos ，n1，所以直线AF与平面PBC所成的角的正弦值为.考点三二面角(高频考点)学生用书P157二面角是高考的重点，是考查热点，题型
8、多以解答题形式出现，一般为中档题，高考对二面角的考查，主要有以下两个命题角度：(1)求二面角；(2)由二面角求其他量(2015高考北京卷节选)如图，在四棱锥A EFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC4，EF2a，EBCFCB60，O为EF的中点(1)求证：AOBE；(2)求二面角FAEB的余弦值解(1)证明：因为AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AOEF.又因为平面AEF平面EFCB，AO平面AEF，所以AO平面EFCB，所以AOBE.(2)取BC的中点G，连接OG.由题设知四边形EFCB是等腰梯形，所以OGEF.由(1)知AO平面EFCB，又OG平面EF
9、CB，所以OAOG.如图建立空间直角坐标系Oxyz，则E(a，0，0)，A(0，0，a)，B(2，(2a)，0)，(a，0，a)，(a2，(a2)，0)设平面AEB的一个法向量n(x，y，z)，则即令z1，则x，y1，于是n(，1，1)又平面AEF的一个法向量为p(0，1，0)，所以cosn，p.由题知二面角FAEB为钝角，所以它的余弦值为.求二面角大小的常用方法(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角
10、的大小3.(2016沈阳教学质量监测)如图，BC为圆O的直径，D为圆周上异于B、C的一点，AB垂直于圆O所在的平面，BEAC于点E，BFAD于点F.(1)求证：BF平面ACD；(2)若ABBC2，CBD45，求平面BEF与平面BCD所成锐二面角的余弦值解：(1)证明：因为BC为圆O的直径，所以CDBD，因为AB圆O所在的平面，所以ABCD，又ABBDB，所以CD平面ABD，因为BF平面ABD，所以CDBF，又因为BFAD，且ADCDD，所以BF平面ACD.(2)如图，以O为原点建立空间直角坐标系，则B(0，1，0)，E(0，0，1)，D(1，0，0)，A(0，1，2)，因为BFAD，所以DFA
11、D，得，所以F，(0，1，1)，设平面BEF的法向量为n1(x，y，z)，则即解得不妨取平面BEF的一个法向量n1(0，1，1)而又由已知AB垂直于圆O所在的平面得是平面BDC的一个法向量，即n2(0，0，2)，设平面BEF与平面BCD所成的锐二面角为，则cos |cosn1，n2|.考点四空间距离学生用书P157如图所示，已知四边形ABCD，EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点，求：(1)与所成的角；(2)P点到平面EFB的距离；(3)异面直线PM与FQ之间的距离解建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，
12、a，0)，M(0，0，a)，E(a，0，a)，F(0，a，a)，P，Q.(1)因为，所以0(a)a2，又|a，|a，所以cos，所以与成150角(2)设n(x，y，z)是平面EFB的单位法向量，即|n|1，n平面EFB，所以n，且n，又(a，a，0)，(0，a，a)，所以解得其中一解为所以n，又因为，所以所求距离d|n|a.(3)设e(x1，y1，z1)是两异面直线的公垂线上的单位方向向量，则由，得求得e，而(0，a，0)，所以PM与FQ之间的距离d|e|a.利用空间向量求解空间距离的转化方法(1)点点距：点与点的距离，分别以这两点为起点和终点的向量的模(2)点线距：点M到直线a的距离，若直线
13、a的方向向量为a，直线上任意一点为N，则点M到直线a的距离d|sin，a(3)线线距：两平行线间的距离转化为点线距离；两异面直线间的距离转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度(4)点面距：点M到平面的距离，若平面的法向量为n，平面内任意一点为N，则点M到平面的距离d|cos，n|.(5)线面距：直线和与它平行的平面间的距离，转化为点面距离(6)面面距：两平行平面间的距离，转化为点面距离. 4.在直角梯形ABCD中，ADBC，BC2AD2AB2，ABC90，如图(1)，把ABD沿BD翻折，使得平面ABD平面BCD，如图(2)(1)求证：CDAB；(2)若点M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的
14、距离解：(1)证明：由已知条件可得BD2，CD2，CDBD.因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，所以CD平面ABD.又AB平面ABD，所以CDAB.(2)连接DM，AC，以点D为原点，BD，DC所在的直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，如图由已知，可得A(1，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，1，0)所以(1，1，0)，(0，2，0)，(1，0，1)设平面ACD的法向量为n(x，y，z)，则所以令x1，得平面ACD的一个法向量为n(1，0，1)所以点M到平面ACD的距离d.1在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1
15、，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30B45C60 D90解析：选C.不妨设ABACAA11，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，1，0)，A1(0，0，1)，A(0，0，0)，C1(1，0，1)，所以(0，1，1)，(1，0，1)，所以cos，所以，60，所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60.2(2016宁波高三模拟)已知棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1的中心为O，以O为球心，1为半径作球，点P是球面上的任意一点，点Q是正方体ABCDA1B1C1D1表面上的任意一点，则的取值范围为()A9，9B12，12C15，15 D18，18解析：选B.在AD上取点E，F，使得
16、AEDF1，则球面上的任意一点在向量上的射影均落在线段EF上，不妨把点Q固定在点A，则|cos ，4|cos ，由向量数量积的几何意义可知，的最大值为ADAF4312，由对称性知的最小值为12.3(2016云南省第一次检测)在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，点D在棱BB1上，若BD1，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为_解析：如图，设AD与平面AA1C1C所成的角为，E为AC的中点，连接BE，则BEAC，所以BE平面AA1C1C，可得()1cos (为与的夹角)，所以cos sin ，所以所求角的正切值为tan .答案：4直三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，则异面
17、直线AB1与C1B所成角的余弦值为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设三棱柱的棱长为2，则A(0，1，0)，B(，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)，故向量(，1，2)，1(，1，2)，两向量夹角的余弦值为，故所求的两异面直线所成角的余弦值为.答案：5已知单位正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点试求：(1)AD1与EF所成角的大小；(2)AF与平面BEB1所成角的余弦值解：建立如图所示的空间直角坐标系，得A(1，0，1)，B(0，0，1)，D1(1，1，0)，E，F.(1)因为(0，1，1)，所以cos，即AD1与EF所成的角为60.(2)，由
18、图可得，(1，0，0)为平面BEB1的一个法向量，设AF与平面BEB1所成的角为，则sin |cos，|，所以cos .即AF与平面BEB1所成角的余弦值为.6(2015高考重庆卷)如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，ACB.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE，CE2EB2.(1)证明：DE平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值解：(1)证明：由PC平面ABC，DE平面ABC，得PCDE.由CE2，CDDE，得CDE为等腰直角三角形，故CDDE.由PCCDC，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD.(2)由(1)知，CDE为等腰直角三角形，DCE.如图，
19、过D作DF垂直CE于F，易知DFFCFE1.又已知EB1，故FB2.由ACB，得DFAC，故ACDF.以C为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，P(0，0，3)，A，E(0，2，0)，D(1，1，0)，(1，1，0)，(1，1，3)，.设平面PAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n10，n10，得故可取n1(2，1，1)由(1)可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为，即n2(1，1，0)，从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2，故所求二面角APDC的余弦值为.1(2016杭州第一次高考科目质检)已知四边形AB
20、CD是矩形，BCkAB(kR)，将ABC沿着对角线AC翻折，得到AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的射影为O.(1)若点O恰好落在边AD上，求证：AB1平面B1CD；若B1O1，AB1，当BC取到最小值时，求k的值；(2)当k时，若点O恰好落在ACD的内部(不包括边界)，求二面角B1ACD的余弦值的取值范围解：(1)证明：因为点B1在平面ABCD上的射影O恰好落在边AD上，所以平面AB1D平面ACD，又CDAD，所以CD平面AB1D，所以AB1CD.又AB1CB1，CDCB1C，所以AB1平面B1CD.设ABx(x1)，BCy，由于AB1B1D，所以B1D.又CDB1D，在RtB1DC中，B
21、1D2CD2B1C2，即x2y2，y2x2，所以y2，当且仅当x21，即x时取等号故当x时，y取得最小值2，所以k.(2)作BFAC交AC于点E，交AD于点F(图略)，要使点O恰好落在ACD的内部，需点O恰好落在线段EF上，连接B1E(图略)，由于B1EAC，EFAC，所以B1EF为二面角B1ACD的平面角设AB1，则BC，EO，所以cosB1EF，即二面角B1ACD的余弦值的取值范围是.2(2016长春质量检测)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAABAD2，四边形ABCD满足ABAD，BCAD且BC4，点M为PC的中点，点E为BC边上的动点，且.(1)求证：平面ADM平面PB
22、C；(2)若二面角PDEB的余弦值为，求的值解：(1)证明：取PB的中点N，连接MN、AN(图略)，因为M是PC的中点，N是PB的中点，所以MNBC，MNBC2，又因为BCAD，所以MNAD，MNAD，所以四边形ADMN为平行四边形因为APAD，ABAD，所以AD平面PAB，所以ADAN，所以ANMN.因为APAB，所以ANPB，所以AN平面PBC，因为AN平面ADM，所以平面ADM平面PBC.(2)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Axyz(图略)，则P(0，0，2)，D(0，2，0)，B(2，0，0)，设E(2，t，0)，从而(0，2，2)，(2，t2，0)，则平面PDE的一个法向量为n1(2t，2，2)，又平面DEB即为平面xAy，其一个法向量为n2(0，0，1)，则cosn1，n2，解得t3或t1，故3或.高考资源网版权所有，侵权必究！