1、1已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量(1，1)，n(1，1)，且n2，则n等于()A2B2C0 D2或2解析：选B.nn()nn(1，1)(1，1)2022.2(2015高考山东卷)已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则()Aa2 Ba2C.a2 D.a2解析：选D.由已知条件得aacos 30a2，故选D.3(2016宁波效实中学模拟)已知向量a(1，2)，b(3，6)，若向量c满足c与b的夹角为120，c(4ab)5，则|c|()A1 B.C2 D2解析：选D.设c(x，y)，则c(4ab)(x，y)(143，246)x2y5.cosc，bcos 120，整理得2(2yx)|c
2、|，即10|c|，解得|c|2，故选D.4(2016台州模拟)设a、b为向量，则 “ab0”是“a，b的夹角是锐角”的_条件()A充分不必要 B必要不充分C充分必要 D既不充分也不必要解析：选B.若“ab0，则cosa，b0，即向量a，b的夹角为锐角或0；而向量a，b的夹角为锐角，则ab0.所以“ab0”是“a，b的夹角是锐角”的必要不充分条件故选B.5已知，是非零向量，且满足(2)，(2)，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析：选C.因为(2)(2)0，即20.(2)(2)0，即20，所以2，即|，而cos A，所以A60，所以ABC为等边三角形6
3、(2016浙江省名校联考)称d(a，b)为两个向量a，b间的“距离”，若向量a，b满足：(1)|b|1；(2)ab；(3)对任意的tR，恒有dd(a，b)，则()Aab BbCa(ab) D(ab)(ab)解析：选B.d(a，tb)d(a，b)即|atb|ab|atb|2|ab|2，a2t2b22taba2b22ab，因为|b|1，所以上式整理可得t22tab12ab0.d(a，tb)d(a，b)恒成立即t22tab12ab0恒成立所以(2ab)24(12ab)0(ab1)20，所以ab1.b(ab)abb2110，所以b(ab)7(2016云南省第一次统一检测)已知平面向量a与b的夹角等于，
4、如果|a|2，|b|3，那么|2a3b|等于_解析：|2a3b|2(2a3b)24a212ab9b24221223cos 932133，所以|2a3b|.答案：8(2016唐山一模)已知向量a(1，3)，b(1，t)，若(a2b)a，则|b|_解析：因为a(1，3)，b(1，t)，所以a2b(3，32t)因为(a2b)a，所以(a2b)a0，即(1)(3)3(32t)0，即t2，所以b(1，2)，所以|b|.答案：9(2016山西省第一次四校联考)已知圆O为ABC的外接圆，半径为2，若2，且|，则向量在向量方向上的投影为_解析：因为2，所以O是BC的中点，故ABC为直角三角形在AOC中，有|，
5、所以B30.由定义知，向量在向量方向上的投影为|cos B23.答案：310(2015高考安徽卷)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)a为单位向量；b为单位向量；ab；b；(4ab).解析：因为24|a|24，所以|a|1，故正确；因为(2ab)2ab，又ABC为等边三角形，所以|b|2，故错误；因为b，所以ab()22cos 602210，故错误；因为b，故正确；因为()()22440，所以(4ab)，故正确答案：11已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当k为何值时，
6、(a2b)(kab)?解：由已知得，ab4816.(1)因为|ab|2a22abb2162(16)6448，所以|ab|4.因为|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768.所以|4a2b|16.(2)因为(a2b)(kab)，所以(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640.所以k7.即k7时，a2b与kab垂直12(2016南通检测)设向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，其中0.(1)若ab，求|ab|的值；(2)设向量c(0，)，且abc，求，的值解：(1)因为a(cos ，sin )，b(cos ，si
7、n )，所以|a|1，|b|1.因为ab，所以ab0.于是|ab|2a23b22ab4.故|ab|2.(2)因为ab(cos cos ，sin sin )(0，)，所以由式得cos cos()，由0，得0又0，故.代入式，得sin sin .而0，所以，.1(2016杭州严州中学第一次模拟)已知向量a，b满足：|a|13，|b|1，|a5b|12，则b在a上的投影长度的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D.设向量a，b的夹角为，因为|a|13，|b| 1，所以|a5b|12，所以ab5，所以cos ，所以cos 1，所以b在a上的投影|b|cos cos ，故选D.2定义一种向量运算“
8、”：ab(a，b是任意的两个向量)对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：abba；(ab)(a)b(R)；(ab)cacbc；若e是单位向量，则|ae|a|1.以上结论一定正确的是_ (填上所有正确结论的序号)解析：当a，b共线时，ab|ab|ba|ba，当a，b不共线时，ababbaba，故是正确的；当0，b0时，(ab)0，(a)b|0b|0，故是错误的；当ab与c共线时，则存在a，b与c不共线，(ab)c|abc|，acbcacbc，显然|abc|acbc，故是错误的；当e与a不共线时，|ae|ae|a|e|a|1，当e与a共线时，设aue，uR，|ae|ae|uee|u1|
9、u|1，故是正确的综上，结论一定正确的是.答案：3(2016安康模拟)已知ABC三个顶点的坐标分别为A(0，2)、B(4，1)、C(6，9)(1)若AD是BC边上的高，求向量的坐标；(2)若点E在x轴上，使BCE为钝角三角形，且BEC为钝角，求点E横坐标的取值范围解：(1)设D(x，y)，则(x，y2)，(x4，y1)，由题意知ADBC，则0，即10x8(y2)0，即5x4y80，由，得8(x4)10(y1)，即4x5y210，联立解得x，y，则.(2)设E(a，0)则(4a，1)，(6a，9)，由BEC为钝角，得(4a)(6a)90，解得5a3，由与不能共线，得9(4a)6a，解得a.故点E
10、的横坐标的取值范围为(5，3)4已知向量a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，c(1，0)(1)求向量bc的长度的最大值；(2)设，且a(bc)，求cos 的值解： (1)法一：bc(cos 1，sin )，则|bc|2(cos 1)2sin22(1cos )因为1cos 1，所以0|bc|24，即0|bc|2.当cos 1时，有|bc|2，所以向量bc的长度的最大值为2.法二：因为|b|1，|c|1，|bc|b|c|2.当cos 1时，有bc(2，0)，即|bc|2，所以向量bc的长度的最大值为2.(2)法一：由已知可得bc(cos 1，sin )，a(bc)cos cos sin sin cos cos()cos .因为a(bc)，所以a(bc)0，即cos()cos .由，得coscos，即2k(kZ)，所以2k或2k，kZ，于是cos 0或cos 1.法二：若，则a.又由b(cos ，sin )，c(1，0)得a(bc)(cos 1，sin )cos sin .因为a(bc)，所以a(bc)0，即cos sin 1，所以sin 1cos ，平方后化简得cos (cos 1)0，解得cos 0或cos 1.经检验cos 0或cos 1即为所求