1、3.3导数的应用(二)典例精析题型一利用导数证明不等式【例1】已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)在区间1，e上的值域；(2)求证：x1时，f(x)x3.【解析】(1)由已知f(x)x，当x1，e时，f(x)0，因此f(x)在 1，e上为增函数.故f(x)maxf(e)1，f(x)minf(1)，因而f(x)在区间1，e上的值域为，1.(2)证明：令F(x)f(x)x3x3x2ln x，则F(x)x2x2，因为x1，所以F(x)0，故F(x)在(1，)上为减函数.又F(1)0，故x1时，F(x)0恒成立，即f(x)x3.【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所
2、构造函数的单调性是常用的证明方法.【变式训练1】已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0时()A.f(x)0，g(x)0B.f(x)0，g(x)0C.f(x)0，g(x)0D.f(x)0，g(x)0【解析】选B.题型二优化问题【例2】 (2012湖南模拟)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x
3、的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【解析】(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，即n1.所以yf(x)256n(n1)(2)x256(1)(2)xm2m256.(2)由(1)知f(x)mx(x512).令f(x)0，得x512.所以x64.当0x64时，f(x)0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64x640时，f(x)0，f(x)在区间(64,640)内为增函数.所以f(x)在x64处取得最小值.此时n119.故需新建9个桥墩才能使y最小.【变式训练2】(2013上海质检)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米
4、铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米).【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，则由已知可得4(4r2h)9.6，所以2rh1.2.S2.4r3r2，h1.22r0，所以r0.6.所以S2.4r3r2(0r0.6).令f(r)2.4r3r2，则f(r)2.46r.令f(r)0得r0.4.所以当0r0.4，f(r)0；当0.4r0.6，f(r)0.所以r0.4时S最大，Smax1.51.题型三导数与函数零点问题【例3】 设函数f(x)x3mx2(m24)x，xR.(1)当
5、m3时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，且.若对任意的x，都有f(x)f(1)恒成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)当m3时，f(x)x33x25x，f(x)x26x5.因为f(2)，f(2)3，所以切点坐标为(2，)，切线的斜率为3，则所求的切线方程为y3(x2)，即9x3y200.(2)f(x)x22mx(m24).令f(x)0，得xm2或xm2.当x(，m2)时，f(x)0，f(x)在(，m2)上是增函数；当x(m2，m2)时，f(x)0，f(x)在(m2，m2)上是减函数；当x(m2，)时，f(x)0，f(x)在(m2，
6、)上是增函数.因为函数f(x)有三个互不相同的零点0，且f(x)xx23mx3(m24)，所以解得m(4，2)(2,2)(2,4).当m(4，2)时，m2m20，所以m2m20.此时f()0，f(1)f(0)0，与题意不合，故舍去.当m(2,2)时，m20m2，所以m20m2.因为对任意的x，都有f(x)f(1)恒成立，所以1.所以f(1)为函数f(x)在，上的最小值.因为当xm2时，函数f(x)在，上取最小值，所以m21，即m1.当m(2,4)时，0m2m2，所以0m2m2.因为对任意的x，都有f(x)f(1)恒成立，所以1.所以f(1)为函数f(x)在，上的最小值.因为当xm2时，函数f(x)在，上取最小值，所以m21，即m1(舍去).综上可知，m的取值范围是1.【变式训练3】已知f(x)ax2(aR)，g(x)2ln x.(1)讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性；(2)若方程f(x)g(x)在区间，e上有两个不等解，求a的取值范围.【解析】(1)当a0时，F(x)的递增区间为(，)，递减区间为(0，)；当a0时，F(x)的递减区间为(0，).(2)ln 2，).总结提高在应用导数处理方程、不等式有关问题时，首先应熟练地将方程、不等式问题直接转化为函数问题，再利用导数确定函数单调性、极值或最值.