1、2.7幂函数与函数的图象典例精析题型一幂函数的图象与性质【例1】点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(2，)在幂函数g(x)的图象上.(1)求f(x)、g(x)的解析式；(2)问当x为何值时，有：g(x)f(x)；f(x)g(x)；f(x)g(x).【解析】(1)设f(x)xa，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，将(，2)代入f(x)xa中，得2()a，解得a2，即f(x)x2.设g(x)xb，因为点(2，)在幂函数g(x)的图象上，将(2，)代入g(x)xb中，得(2)b，解得b2，即g(x)x2.(2)在同一坐标系中作出f(x)和g(x)的图象，如图所示，由图象可知：当x1或x1时
2、，g(x)f(x)；当x1时，f(x)g(x)；当1x1且x0时，f(x)g(x).【点拨】(1)求幂函数解析式的步骤：设出幂函数的一般形式yxa(a为常数)；根据已知条件求出a的值；写出幂函数的解析式.本题的第(2)问采用了数形结合的思想，即在同一坐标系下画出两函数的图象，借助图象求出不等式和方程的解.这一问也可用分类讨论的思想.x2，即x41，x1，以x1，1为分界点分x1，1x1，x1，x1五种情况进行讨论，也能得到同样的结果.【变式训练1】函数f(x)(m2m1) 是幂函数，且当x(0，)时是减函数，求实数m.【解析】因为f(x)为幂函数，所以m2m11，解得m2或m1.当m2时，f(
3、x)x3在(0，)上是减函数；当m1时，f(x)x0在(0，)上不是减函数.所以m2.题型二作函数图象【例2】作下列函数图象：(1)y1log2x；(2)y2|x|1；(3)y|x24|.【解析】(1)y1log2x的图象是：(2)y2|x|1的图象是：(3)y|x24|的图象是：【变式训练2】在下列图象中，二次函数yax2bx与指数函数y()x的图象只可能是()【解析】A.题型三用数形结合思想解题【例3】已知f(x)|x24x3|.(1)求f(x)的单调区间；(2)求m的取值范围，使方程f(x)mx有4个不同实根.【解析】递增区间为1,2，3，)；递减区间为(，1)，(2,3).(2)设ym
4、x与yf(x)有四个公共点，过原点的直线l与yf(x)有三个公共点，如图所示.令它的斜率为k，则0mk.由x2(k4)x30.令(k4)2120k42.当k42时，方程的根x1x2(1,3)，舍去；当k42时，方程的根x1x2(1,3)，符合题意.故0m42.【点拨】(1)作出f(x)的图象；(2)利用(1)的图象，研究函数ymx与yf(x)的交点情况.【变式训练3】若不等式x2logax0对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A.0a1 B.a1C.a1 D.0a【解析】原不等式为x2logax，设f(x)x2，g(x)logax，因为0x1，而logaxx20，所以0a1，作出f(x
5、)在x(0，)内的图象，如图所示.因为f()，所以A(，)，当g(x)图象经过点A时，logaa，因为当x(0，)时，logaxx2，g(x)图象按如图虚线位置变化，所以a1，故答案为B.题型四有关图象的对称问题【例4】设函数f(x)x，x(，0)(0，)的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x).(1)求函数yg(x)的解析式，并确定其定义域；(2)若直线yb与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标.【解析】(1)设P(u，v)是yx上任意一点，所以vu.设P关于A(2,1)对称的点为Q(x，y)，所以代入得2y4xyx2.所以g(x)x2，其定义域
6、为(，4)(4，).(2)联立方程得x2(b6)x4b90，所以(b6)24(4b9)b24b0b0或b4.所以，当b0时，交点为(3,0)；当b4时，交点为(5,4).【变式训练4】函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x1)是奇函数.若f(0.5)9，则f(8.5)等于()A.9B.9 C.3 D.0【解析】因为f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，所以f(2x)f(x)f(x)，则f(4x)f(x2)f(x)，即4是函数f(x)的一个周期，所以f(8.5)f(0.5)9，故应选B.本题考查了抽象函数周期性的判断及其函数值的求解问题，合理进行转化是解题的关键.总结提高掌握描绘函数图象的两种基本方法描点法和图象变换法.函数图象为研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题提供了一种直观方法，用数形结合思想、分类讨论思想和转化变换的思想分析解决数学问题.函数的图象是沟通“数”与“形”的一个重要桥梁.应用函数图象法解数学问题往往具有直观易懂、运算量小的优点，但用图象法求变量的取值范围时，要特别注意端点值的取舍和特殊情况.