1、2016-2017学年江苏省扬州市仪征中学高三（上）期初数学试卷一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置）1已知集合A=1，0，1，B=0，a，2，若AB=1，0，则a=223，log25三个数中最大数的是3将函数f（x）=2sin2x的图象上每一点向右平移个单位，得函数y=g（x）的图象，则g（x）=4已知实数x，y满足，则目标函数z=xy的最小值为5函数f（x）=log2（x2+2）的值域为6若命题“存在xR，ax2+4x+a0”为假命题，则实数a的取值范围是7在ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a=5，A=，cosB=，则边c=8
2、已知函数f（x）=mx2+lnx2x在定义域内是增函数，则实数m范围为9若函数f（x）是定义在（0，+）上的增函数，且对一切x0，y0满足f（xy）=f（x）+f（y）则不等式f（x+6）+f（x）2f（4）的解集为10已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=1log2x，则不等式f（x）0的解集是11已知3tan+tan2=1，sin=3sin（2+），则tan（+）=12设a，b，c是正实数，满足b+ca，则的最小值为13已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，则ABC面积的最大值为14已知函数f（x
3、）=x22ax+a21，若关于x的不等式f（f（x）0的解集为空集，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15设函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，xR）的部分图象如图所示（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）当x，时，求f（x）的取值范围16已知x0，y0，且2x+8yxy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知=（）求证：sinC=2sinA；（）若cosB=，b=2，求ABC的面积18已知aR，函数f（x）=log2（+a）（1）当a=1时，解不等式f（x
4、）1；（2）若关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a0，若对任意t，1，函数f（x）在区间t，t+1上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围19一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB=1米，如图所示，小球从A点出发以大小为5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F，设AOE=弧度，小球从A到F所需时间为T（1）试将T表示为的函数T（），并写出定义域；（2）求时间T最短时的值20已知函数f（x）=alnxax3（aR）（1）当a0时，求函数f（x）的单调区
5、间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，且函数g（x）=x2+nx+mf（x）（m，nR）当且仅当在x=1处取得极值，其中f（x）为f（x）的导函数，求m的取值范围；（3）若函数y=f（x）在区间（，3）内的图象上存在两点，使得在该两点处的切线相互垂直，求a的取值范围三、数学（）21设矩阵M=的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2+y2=1，求曲线C的方程22在极坐标系中，求圆=2cos的圆心到直线2sin（+）=1的距离23甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关甲能攻克的概率为，乙能攻克的概率为，丙能攻克的概率为（1）求这一技术难题被攻克
6、的概率；（2）若该技术难题末被攻克，上级不做任何奖励；若该技术难题被攻克，上级会奖励a万元奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得万元设甲得到的奖金数为X，求X的分布列和数学期望24设an=（2n+1）p，bn=（2n）p+（2n1）p，其中p，nN+（1）当p=2时，试比较an与bn的大小；（2）当p=n时，求证：anbn对nN+恒成立2016-2017学年江苏省扬州市仪征中学高三（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡
7、相应位置）1已知集合A=1，0，1，B=0，a，2，若AB=1，0，则a=1【考点】交集及其运算【分析】直接利用交集的运算求解x的值【解答】解：A=1，0，1，B=0，a，2，AB=1，0，a=1，故答案为：1223，log25三个数中最大数的是log25【考点】不等式比较大小【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得0231，12，log25log24=2，即可得到最大数【解答】解：由于0231，12，log25log24=2，则三个数中最大的数为log25故答案为：log253将函数f（x）=2sin2x的图象上每一点向右平移个单位，得函数y=g（x）的图象，则g（x）=2sin（2x）
8、【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由条件根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：将函数f（x）=2sin2x的图象上每一点向右平移个单位，得函数y=g（x）=2sin2（x）=2sin（2x）的图象，故答案为：2sin（2x）4已知实数x，y满足，则目标函数z=xy的最小值为3【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图：由z=xy，得y=xz表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，平移直线y=xz，当直线经过点A时，此时直线y=xz截距最大，z最小由，得，此时zmin=
9、14=3故答案为：35函数f（x）=log2（x2+2）的值域为（，【考点】对数函数的图象与性质【分析】根据对数函数以及二次函数的性质解答即可【解答】解：0x2+22，x=0时，f（x）最大，f（x）最大值=f（0）=，故答案为：（，6若命题“存在xR，ax2+4x+a0”为假命题，则实数a的取值范围是（2，+）【考点】复合命题的真假【分析】根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使ax2+4x+a0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可【解答】解：命题“存在xR，使ax2+4x+a0”的否定是“任意实数x，使ax2+4x+a0”命题否定是真命题，解得：a2，故答案为：（
10、2，+）7在ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a=5，A=，cosB=，则边c=7【考点】正弦定理【分析】利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinB，利用正弦定理即可求b的值，利用余弦定理即可解得c的值【解答】解：cosB=，a=5，A=，sinB=，由正弦定理可得：b=4，由余弦定理可得：b2=a2+c22accosB，即：32=25+c26c，解得：c=7或1（舍去）故答案为：78已知函数f（x）=mx2+lnx2x在定义域内是增函数，则实数m范围为【考点】函数单调性的性质【分析】求出f（x）=2mx+2，因为函数在定义域内是增函数，即要说明f（x）大于等于0，分离参数求
11、最值，即可得到m的范围【解答】解：求导函数，可得f（x）=2mx+2，x0，函数f（x）=mx2+lnx2x在定义域内是增函数，所以f（x）0成立，所以2mx+20，x0时恒成立，所以，所以2m1所以m时，函数f（x）在定义域内是增函数故答案为9若函数f（x）是定义在（0，+）上的增函数，且对一切x0，y0满足f（xy）=f（x）+f（y）则不等式f（x+6）+f（x）2f（4）的解集为（0，2）【考点】函数单调性的性质；抽象函数及其应用【分析】由条件可得，不等式即 fx（x+6）f（16），再由求得不等式的解集【解答】解：函数f（x）是定义在（0，+）上的增函数，且f（xy）=f（x）+f（
12、y），则不等式f（x+6）+f（x）2f（4），即 fx（x+6）f（44），解得 0x2，故答案为：（0，2）10已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=1log2x，则不等式f（x）0的解集是（2，0）（2，+）【考点】函数奇偶性的性质【分析】求出当x0时，f（x）0和f（x）0的解集，利用奇函数的对称性得出当x0时，f（x）0的解集，从而得出f（x）0的解集【解答】解：当x0，令f（x）0，即1log2x0，解得x2令f（x）0即1log2x0，解得0x2f（x）是奇函数，当x0时，f（x）0的解为2x0故答案为：（2，0）（2，+）11已知3tan+tan2=1，si
13、n=3sin（2+），则tan（+）=【考点】两角和与差的正切函数【分析】3tan+tan2=1，利用倍角公式可得tan=由sin=3sin（2+），变形为：sin（+）=3sin（+）+，展开即可得出【解答】解：3tan+tan2=1，tan=sin=3sin（2+），sin（+）=3sin（+）+，展开：sin（+）coscos（+）sin=3sin（+）cos+3cos（+）sin，化为：tan（+）+2tan=0，则tan（+）=2tan=故答案为：12设a，b，c是正实数，满足b+ca，则的最小值为【考点】基本不等式【分析】利用放缩法和基本不等式的性质进行求解【解答】解：a，b，c是
14、正实数，满足b+ca+=+=（+（当且仅当b+c=a且时取等号）故答案为：13已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，则ABC面积的最大值为【考点】余弦定理；正弦定理【分析】由正弦定理化简已知可得2ab2=c2bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc4，再利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：因为：（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC（2+b）（ab）=（cb）c2ab2=c2bc，又因为：a=2，所以：，ABC面积，而b2+c2a2=bcb2+c2bc=a2b2+c2bc=4bc4所以：，即AB
15、C面积的最大值为故答案为：14已知函数f（x）=x22ax+a21，若关于x的不等式f（f（x）0的解集为空集，则实数a的取值范围是a2【考点】其他不等式的解法【分析】由f（x）0解得a1xa+1，不等式f（f（x）0a1f（x）a+1，原不等式的解集为空集，得到a1f（x）a+1解集为空集，那么（a1，a+1）与值域的交集为空集，求出a的范围【解答】解：f（x）=x22ax+a21=x22ax+（a1）（a+1）=x（a1）x（a+1）由f（x）0即x（a1）x（a+1）0解得a1xa+1，那么不等式f（f（x）0a1f（x）a+1 （*）又f（x）=（xa）21当x=a时，f（x）取得最小
16、值1即函数的值域为1，+）若原不等式的解集为空集，则（*）的解集为空集，那么（a1，a+1）与值域的交集为空集所以a+11所以a2故答案为：a2三、解答题：本大题共6小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15设函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，xR）的部分图象如图所示（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）当x，时，求f（x）的取值范围【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象【分析】（1）由图象知，A，周期T，利用周期公式可求，由点（，2）在函数图象上，结合范围，可求，从而解得函数解析式（2）由x，可求x+，利用正弦函数的图象和性质即可求得
17、f（x）的取值范围【解答】解：（1）由图象知，A=2，又=，0，所以T=2=，得=1所以f（x）=2sin（x+），将点（，2）代入，得+=2k（kZ），即=+2k（kZ），又，所以，=所以f（x）=2sin（x+）（2）当x，时，x+，所以sin（x+），1，即f（x），216已知x0，y0，且2x+8yxy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值【考点】基本不等式【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；（2）由2x+8y=xy，变形得+=1，利用“乘1法”和基本不等式即可得出【解答】解：（1）x0，y0，2x+8yxy=0，xy=2x+8y2，8，xy64当且仅当x=4y
18、=16时取等号故xy的最小值为64（2）由2x+8y=xy，得： +=1，又x0，y0，x+y=（x+y）=10+10+=18当且仅当x=2y=12时取等号故x+y的最小值为1817在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知=（）求证：sinC=2sinA；（）若cosB=，b=2，求ABC的面积【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（）利用正弦定理可得： =，整理后由两角和的正弦函数公式即可得证；（）由（）可得：c=2a，由余弦定理可得：4=，由解得a，c的值，根据三角形面积公式即可得解【解答】解：（）在ABC中，由，利用正弦定理可得 =，sinBcosA2cosCsinB=2sinC
19、cosBsinAcosB，sinBcosA+cosBsinA=2（sinBcosC+cosBsinC），sin（B+A）=2sin（B+C），即 sinC=2sinA，得证（）由（）可得：c=2a，cosB=，b=2，由余弦定理可得：4=，由解得：a=1，c=2，SABC=acsinB=18已知aR，函数f（x）=log2（+a）（1）当a=1时，解不等式f（x）1；（2）若关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a0，若对任意t，1，函数f（x）在区间t，t+1上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围【考点】函数的最值及其几何意义；一元二次不等
20、式；指、对数不等式的解法【分析】（1）当a=1时，不等式f（x）1化为：1，因此2，解出并且验证即可得出（2）方程f（x）+log2（x2）=0即log2（+a）+log2（x2）=0，（ +a）x2=1，化为：ax2+x1=0，对a分类讨论解出即可得出（3）a0，对任意t，1，函数f（x）在区间t，t+1上单调递减，由题意可得1，因此2，化为：a=g（t），t，1，利用导数研究函数的单调性即可得出【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）1化为：1，2，化为：，解得0x1，经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（0，1）（2）方程f（x）+log2（x2）=0即log2（+a）+log2（
21、x2）=0，（+a）x2=1，化为：ax2+x1=0，若a=0，化为x1=0，解得x=1，经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1若a0，令=1+4a=0，解得a=，解得x=2经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1综上可得：a=0或（3）a0，对任意t，1，函数f（x）在区间t，t+1上单调递减，1，2，化为：a=g（t），t，1，g（t）=0，g（t）在t，1上单调递减，t=时，g（t）取得最大值， =a的取值范围是19一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，AB=1米，如图所示，小球从A点出发以
22、大小为5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F，设AOE=弧度，小球从A到F所需时间为T（1）试将T表示为的函数T（），并写出定义域；（2）求时间T最短时的值【考点】根据实际问题选择函数类型【分析】（1）通过过点O作OGBC于G，利用OG=1、OF=、EF=1+、AE=及时间、路程与速度之间的关系即得结论；（2）通过（1）求导可知T（）=，进而集合函数的单调性即得结论【解答】解：（1）过点O作OGBC于G，则OG=1，OF=，EF=1+，AE=，T（）=+=+，；（2）由（1）可知T（）=，记cos0=，由0，可知：当（，0）
23、时T（）0，即T（）在区间（，0）上单调递减，当（0，）时T（）0，即T（）在区间（0，）上单调递增，当=时时间T最短20已知函数f（x）=alnxax3（aR）（1）当a0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，且函数g（x）=x2+nx+mf（x）（m，nR）当且仅当在x=1处取得极值，其中f（x）为f（x）的导函数，求m的取值范围；（3）若函数y=f（x）在区间（，3）内的图象上存在两点，使得在该两点处的切线相互垂直，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析
24、】（1）f（x）=（x0），当a0时，令f（x）0得0x1，令f（x）0得x1，故函数f（x）的单调增区间为（0，1）单调减区间为（1，+）；（2）函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，则f（2）=1，即a=2； g（x）在x=1处有极值，故g（1）=0，从而可得n=12m，讨论m的范围得出即可； （3）由f（x）=（x0）得（0，1）与（1，+）分别为f（x）的两个不同的单调区间，设存在的两点分别为（x1，f（x1），（x2，f（x2），可得（2a21）x2a2，进而求出a的范围【解答】解：（1）f（x）=（x0），当a0时，令f（x）0得0x1，令f（x）0得x1
25、，故函数f（x）的单调增区间为（0，1）单调减区间为（1，+）；（2）函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，则f（2）=1，即a=2； g（x）=x2+nx+m（2），g（x）=x+n+=g（x）在x=1处有极值，故g（1）=0，从而可得n=12m，则g（x）=又g（x）仅在x=1处有极值，x22mx2m0在（0，+）上恒成立，当m0时，由2m0，即x0（0，+），使得2mx02m0，m0不成立，故m0，又m0且x（0，+）时，x22mx2m0恒成立，m0； （3）由f（x）=（x0）得（0，1）与（1，+）分别为f（x）的两个不同的单调区间，f（x）在两点处的切线相
26、互垂直，这两个切点一定分别在两个不同单调区间内 故可设存在的两点分别为（x1，f（x1），（x2，f（x2），其中x11x23，由该两点处的切线相互垂直，得=1，即： =，而（0，2），故（0，2），可得（2a21）x22a2，由x20得2a210，则x2，又1x23，则3，即a2，a的取值范围为（，）（，+）三、数学（）21设矩阵M=的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为x2+y2=1，求曲线C的方程【考点】特征值、特征向量的应用【分析】由已知可得矩阵M的特征多项式，由一个特征值为2求得a值，再由矩阵变换得到，代入x2+y2=1求曲线C的方程【解答】解：由题意，矩阵M的特征多项式f
27、（）=（a）（1），矩阵M有一个特征值为2，f（2）=0，a=2M=，即，代入方程x2+y2=1，得（2x）2+（2x+y）2=1，即曲线C的方程为8x2+4xy+y2=122在极坐标系中，求圆=2cos的圆心到直线2sin（+）=1的距离【考点】圆的参数方程；直线的参数方程【分析】将圆=2cos化为2=2cos，利用化为直角坐标方程，可得圆心（1，0），把展开即可直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即得出圆心到直线的距离【解答】解：将圆=2cos化为2=2cos，普通方程为x2+y22x=0，圆心为（1，0），又，即，直线的普通方程为，故所求的圆心到直线的距离23甲、乙、丙三人独立地对某一技
28、术难题进行攻关甲能攻克的概率为，乙能攻克的概率为，丙能攻克的概率为（1）求这一技术难题被攻克的概率；（2）若该技术难题末被攻克，上级不做任何奖励；若该技术难题被攻克，上级会奖励a万元奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得万元设甲得到的奖金数为X，求X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式【分析】（1）利用相互独立事件的概率求不能被攻克的概率，然后利用对立事件的概率求解；（2）分别求出随机变量X取为的概率，列出分布列，然后直接代入期望公式求期望【解答】解：（1）； （2）X的可能取值分别为，X的分布列为X0aPEX=（万元）24设an=（2n+1）p，bn=（2n）p+（2n1）p，其中p，nN+（1）当p=2时，试比较an与bn的大小；（2）当p=n时，求证：anbn对nN+恒成立【考点】不等式比较大小【分析】（1）当p=2时，作差并且对n分类讨论即可比较an与bn的大小；（2）当p=n时，利用二项式定理与不等式的性质即可得出【解答】（1）解：当p=2时，作差得：，n=1时，b1a10b1a1，n=2时，b2a2=0b2=a2，n3时，bnan0bnan（2）证明：当p=n时，即anbn，对nN+恒成立2017年1月3日