1、第2讲数学归纳法,学生用书P211)数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立 1辨明两个易误点(1)数学归纳法证题时，误把第一个值n0认为是1，如证明多边形内角和定理(n2)时，初始值n03.(2)数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：必须利用归纳假设作基础；证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；解题时要搞清从nk到nk1增加了哪些项或减少了哪些项2明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的
2、证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在nk1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()A1B2C3 D0答案：C2用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从nk到nk1，左边需增添的代数式是()A2k2 B2k3C2k1 D(2k2)(2k3)答案：D考点一用数学归纳法证明等式学生用书P211用数学归纳法证明：(nN*)证明(1)当n1时，左边，右边.左边右边，所以等式成立(2)假
3、设nk(kN*且k1)时等式成立，即有，则当nk1时，.所以当nk1时，等式也成立，由(1)、(2)可知，对于一切nN*等式都成立用数学归纳法证明恒等式的注意事项(1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立(2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标(3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法1.设f(n)1(nN*)求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)证明：(1)当n2时，左边f(1)1，右边21，左边右边，等式成立(2)假设nk(k2，kN*)时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k
4、1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，所以当nk1时结论仍然成立由(1)(2)可知：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)考点二用数学归纳法证明不等式学生用书P212用数学归纳法证明不等式.证明(1)当n1时，左式，右式，左式右式，所以结论成立(2)假设nk(k1，kN*)时结论成立，即，则当nk1时，由，可得，所以，当nk1时，结论成立由(1)(2)可知，nN*时，不等式成立数学归纳法证明不等式的注意事项(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法；(2)用数学归纳
5、法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明2.已知数列an，an0，a10，aan11a.求证：当nN*时，anan1.证明：(1)当n1时，因为a2是方程aa210的正根，所以a1a2.(2)假设当nk(kN*，k1)时，0ak0，得ak1ak2，即当nk1时，anan1也成立根据(1)和(2)，可知anan1对任何nN*都成立考点三归纳猜想证明学生用书P212已知f(n)1，g(n)，nN*.(1)当n1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明解(
6、1)当n1时，f(1)1，g(1)1，所以f(1)g(1)；当n2时，f(2)，g(2)，所以f(2)g(2)；当n3时，f(3)，g(3)，所以f(3)g(3)(2)由(1)猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明当n1，2，3时，不等式显然成立假设当nk(k3，kN*)时不等式成立，即1，那么，当nk1时，f(k1)f(k)，因为0，所以f(k1)g(k1)，由、可知，对一切nN*，都有f(n)g(n)成立“归纳猜想证明”的模式“归纳猜想证明”的模式是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决探索
7、性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用其关键是归纳、猜想出公式. 3.(2016南京模拟)已知数列an满足Snan2n1.(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论解：(1)将n1，2，3分别代入可得a1，a2，a3，猜想an2.(2)证明：由(1)得n1时，命题成立假设nk(k1，kN*)时，命题成立，即ak2，那么当nk1时，a1a2akak1ak12(k1)1，且a1a2ak2k1ak，所以2k1ak2ak12(k1)12k3，所以2ak122，ak12，即当nk1时，命题也成立根据、得，对一切nN*，an2都成立1凸n多边形有f(n
8、)条对角线，则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：选C.边数增加1，顶点也相应增加1个，它与和它不相邻的n2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n1条2用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假设n2k1时正确，再推n2k3时正确(其中kN*)B假设n2k1时正确，再推n2k1时正确(其中kN*)C假设nk时正确，再推nk1时正确(其中kN*)D假设nk时正确，再推nk2时正确(其中kN*)解析：选B.因为n为正奇数，所以n2k1(kN*)3用数学归纳法证明：“11)
9、”时，由nk(k1)不等式成立，推理nk1时，左边应增加的项数是_解析：当nk时，要证的式子为1k；当nk1时，要证的式子为12，f(8)，f(16)3，f(32)，则其一般结论为_解析：因为f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以当n2时，有f(2n).答案：f(2n)(n2，nN*)5求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*)证明：(1)当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立；(2)假设当nk(kN*，k1)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，那么当nk1时，左边(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k
10、2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)这就是说当nk1时等式也成立由(1)(2)可知，对所有nN*等式成立6(2014高考广东卷)设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式解：(1)由题意知S24a320，所以S3S2a35a320.又S315，所以a37，S24a3208.又S2S1a2(2a27)a23a27，所以a25，a1S12a273.综上知，a13，a25，a37.(2)由(1)猜想an2n1，下面用数学归纳法证明当n1时，结论显然成立；假设当nk(k1)时，a
11、k2k1，则Sk357(2k1)k(k2)又Sk2kak13k24k，所以k(k2)2kak13k24k，解得2ak14k6，所以ak12(k1)1，即当nk1时，结论成立由知，对于nN*，an2n1.1(2016丽水模拟)已知数列an满足a1a2，an(n2，nN*)(1)求证：对任意nN*，an2；(2)判断数列an的单调性，并说明你的理由解：证明：(1)用数学归纳法证明an2(nN*)当n1时，a1a2，结论成立；假设nk(k1，kN*)时结论成立，即ak2，则nk1时，ak12，所以nk1时，结论成立故由及数学归纳法原理，知对一切的nN*，都有an2成立(2)an是单调递减的数列因为a
12、aan2a(an2)(an1)，又an2，所以aa0，所以an10，即x0时，f(x)单调递增；当f(x)0时，f(x)单调递减. 故f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，). 当x0时，f(x)f(0)0，即1xex.令x，得1e，即ne.(2)11112；222(21)232；3233(31)343.由此推测：(n1)n.(*)下面用数学归纳法证明(*). 当n1时，左边右边2，(*)成立. 假设当nk(k1，kN)时，(*)成立，即(k1)k.当nk1时，bk1(k1)k1ak1，由归纳假设可得(k1)k(k1)k1(k2)k1，所以当nk1时，(*)也成立. 根据，可知(*)对一切正整数n都成立.
