1、第三章 概 率32 古典概型 3.2.1 古典概型 第三章 概 率 1.了解基本事件的特点 2.理解古典概型的定义 3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题1基本事件(1)定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事件(2)特点：一是任何两个基本事件是_的；二是任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的_互斥和2古典概型(1)定义：如果一个概率模型满足：试验中所有可能出现的基本事件只有_个；每个基本事件出现的可能性_那么这样的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型(2)计算公式：对于古典概型，事件 A 的概率为P(A)A包含的基本事件的个数基
2、本事件的总数.有限相等1古典概型的判断一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性并不是所有的试验都是古典概型下列三类试验都不是古典概型：(1)基本事件个数有限，但非等可能(2)基本事件个数无限，但等可能(3)基本事件个数无限，也不等可能2古典概型的概率与统计概率的区别与联系古典概型的概率统计概率 每个基本事件发生的可能性相同不一定相同 基本事件总的结果数有限往往与试验次数有关 概率确切性估计法 联系都能反映某个事件发生的可能性的大小3.古典概型概率公式的推导在古典概型中，如果试验的所有可能结果(基本事件)数为 n，记为 A1A2An，由于它们两两互斥，所以
3、 P(A1)P(A2)P(An)1，又因每个基本事件发生是等可能的，即 P(A1)P(A2)P(An)，所以 nP(Ai)1，所以 P(Ai)1n(i1，2，n)若在该试验中事件 A 包含的基本事件数为 m，所以 P(A)mn，即 P(A)事件A包含的基本事件的个数基本事件的总数.同时投掷两枚大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A 为“所得点数之和小于 5”，则事件 A 包含的基本事件数是()A3B4C5D6解析：选 D.事件 A 包含的基本事件有 6 个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)故选 D.若书架上放有数学、物理、化学书分别是 5 本、3
4、本、2 本，则随机抽出一本是物理书的概率为()A.15B.310C.35D.12解析：选 B.基本事件总数为 10，“抽出一本是物理书”包含 3个基本事件，所以其概率为 310，故选 B.下列概率模型：在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点；某射手射击一次，可能命中 0 环，1 环，2 环，10 环；某小组有男生 5 人，女生 3 人，从中任选 1 人做演讲；一只使用中的灯泡的寿命长短；中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”其中属于古典概型的是_解析：不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；不属于，
5、原因是命中 0 环，1 环，10 环的概率不一定相同，不满足等可能性；属于，显然满足有限性和等可能性；不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性 答案：探究点 1 基本事件的列举 一只口袋内装有 5 个大小相同的球，白球 3 个，黑球2 个，从中一次摸出 2 个球(1)共有多少个基本事件？(2)“2 个都是白球”包含几个基本事件？【解】(1)法一：采用列举法 分别记白球为 1，2，3 号，黑球为 4，5 号，则基本事件如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2
6、，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共 10 个(其中(1，2)表示摸到 1 号，2 号球)法二：采用列表法 设 5 个球的编号分别为 a，b，c，d，e，其中 a，b，c 为白球，d，e 为黑球列表如下：abcde a(a，b)(a，c)(a，d)(a，e)b(b，a)(b，c)(b，d)(b，e)c(c，a)(c，b)(c，d)(c，e)d(d，a)(d，b)(d，c)(d，e)e(e，a)(e，b)(e，c)(e，d)由于每次取 2 个球，每次所取 2 个球不相同，而摸到(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有 10 个基本事件(2)法一中“2 个都是白球”包括(1
7、，2)，(1，3)，(2，3)，共 3个基本事件，法二中“2 个都是白球”包括(a，b)，(b，c)，(a，c)，共 3 个基本事件基本事件的三种列举方法(1)直接列举法：把试验的全部结果一一列举出来此方法适合于较为简单的试验问题(2)列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所包含的基本事件数列表法适用于较简单的试验的题目，基本事件较多的试验不适合用列表法(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目 袋中
8、有 2 个标号分别为 1，2 的白球和 2 个标号分别为 3，4 的黑球这 4 个球除颜色、标号外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出 1 个球，求基本事件的个数解：4 个人按顺序依次从袋中摸出 1 个球的所有可能结果用树状图表示如图所示：共 24 个基本事件探究点 2 古典概型的概率计算(1)(2017高考天津卷)有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45 B.35C.25D.15(2)从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张
9、，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110B.15C.310D.25【解析】(1)从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，有 10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)而取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共 4 种，故所求概率 P 41025.(2)从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张的情况如图：基本事件总数为 25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为 10，所以所求概率 P102525
10、.【答案】(1)C(2)D求古典概型概率的步骤(1)判断是否为古典概型(2)算出基本事件的总数 n.(3)算出事件 A 中包含的基本事件个数 m.(4)算出事件 A 的概率，即 P(A)mn.在运用公式计算时，关键在于求出 m，n.在求 n 时，应注意这n 种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错 1.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从 1，2，3，4，5中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.120解析：选 C.从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，共有如下 10 个不同的
11、结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为 110.故选 C.2从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.15B.25C.35D.45解析：选 C.如图可知从 5 个点中选取 2 个点的全部情况有O，A，O，B，O，C，O，D，A，B，A，C，A，D，B，C，B，D，C，D，共 10 种 选取的 2 个点的距离不小于该正方形边长的情况有A，B，A，C，A，D，B，C
12、，B，D，C，D，共 6 种故所求概率为 61035.探究点 3 数学建模古典概型的实际应用(2017高考山东卷)某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家A1，A2，A3 和 3 个欧洲国家 B1，B2，B3 中选择 2 个国家去旅游(1)若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括A1 但不包括 B1 的概率【解】(1)由题意知，从 6 个国家中任选 2 个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3
13、，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共 15 个 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A2，A3，共 3 个 则所求事件的概率为：P 31515.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共 9 个 包括 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共 2 个，则所求事件的概率为：P29.如何建立概率模型(古典概型)(1)在建立概率模型(古典概型)时，把什
14、么看作一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的我们只要求每次试验有且只有一个基本事件出现对于同一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型(2)注意验证是否满足古典概型的两个特性，即基本事件的有限性；每个基本事件的等可能性(3)求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为 x，y.奖励规则如下：若 xy3，则奖励玩具一个；若 xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀
15、小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间 与点集 S(x，y)|xN，yN，1x4，1y4一一对应 因为 S 中元素的个数是 4416，所以基本事件总数 n16.(1)记“xy3”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件共 5 个，即(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)所以 P(A)516，即小亮获得玩具的概率为 516.(2)记“xy8”为事件 B，“3xy 516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率1下列关于古典概型的说法中正确的是()
16、试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个事件出现的可能性相等；每个基本事件出现的可能性相等；基本事件的总数为 n，随机事件 A 若包含 k 个基本事件，则P(A)kn.ABCD解析：选 B.根据古典概型的特征与公式进行判断，正确，不正确，故选 B.2下列是古典概型的是()(1)从 6 名同学中，选出 4 人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小(2)同时掷两颗骰子，点数和为 7 的概率(3)近三天中有一天降雨的概率(4)10 个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率A(1)(2)(3)(4)B(1)(2)(4)C(2)(3)(4)D(1)(3)(4)解析：选 B.(1)(2)(4)为古典概型，因
17、为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而(3)不适合等可能性，故不为古典概型3在 1，2，3，4 四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的 2 倍的概率是_解析：可重复地选取两个数共有 16 种可能，其中一个数是另一个数的 2 倍的有 1，2；2，1；2，4；4，2 共 4 种，故所求的概率为 41614.答案：14知识结构深化拓展 解决古典概型问题应注意的三个问题(1)应先判断它是否是古典概型，判断一个概率问题是否为古典概型，关键看它是否同时满足古典概型的两个特征有限性和等可能性(2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件深化拓展(3)利用事件间的关系在求解较复杂事件的概率时，可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件，由公式 P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An)求得，或采用正难则反的原则，转化为求其对立事件，再用公式 P(A)1P(A)(A 为 A 的对立事件)求得.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放