1、简单的极坐标方程极坐标1.公式：（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点直角坐标 极坐标互化公式已知极坐标化成直角坐标已知直角坐标化成极坐标2. 极坐标与直角坐标的转化（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路A：直角坐标化为极坐标的步骤运用在内由求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限B:极坐标化为直角坐标的步骤，运用（2） 直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路A：直角坐标转化成极坐标思路：直接利用公式，将式子里面的x和y用转化，最后整理化简即可。例如：x+3y-2=0：用公式将x和y转化，即B：极坐标转化成直角坐标类型：直接转化-直接利用公式转化例如：(cossin)1思路：第一步：去
2、括号，cossin1 第二步：用公式转化，即类型：利用三角函数的两角和差公式，即思路：第一步：利用两角和差公式把sin()或cos)化开，特殊角的正余弦值化成数字，整理化简 第二步：利用公式转化例如：直线的极坐标方程是解：第一步：利用两角和差公式把sin()或cos)化开特殊角的正余弦值化成数字，整理化简，即第二步：利用公式转化 类型：，该直线经过原点（极点），对应的直角坐标方程为例如：思路：直接代入(注：直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：Ax+By+C=0)三、 曲线极坐标与直角坐标互换（一）圆的直角与极坐标互换1.圆的极坐标转化成直角坐标类型一：详解：一般要转化成x、y都需要跟搭配，一
3、对一搭配。所以两边同时乘以，即类型二：没有三角函数时，可以考虑两边同时平方2. 圆的直角坐标转化成极坐标解题方法一：拆开-公式代入：解题方法二：代入-拆-合：1（2018北京）在极坐标系中，直线与圆相切，则_【答案】【解析】圆，转化成：，进一步转化成直角坐标方程为：，把直线的方程转化成直角坐标方程为：由于直线和圆相切，所以：利用圆心到直线的距离等于半径则：，解得：则负值舍去故：故答案为：2（2017北京）在极坐标系中，点在圆上，点的坐标为，则的最小值为_【答案】1【解析】设圆为圆，将圆的极坐标方程化为：，再化为标准方程：；如图，当在与的交点处时，最小为：，故答案为：13（2017天津）在极坐标
4、系中，直线与圆的公共点的个数为_【答案】2【解析】直线展开为：，化为：圆即，化为直角坐标方程：，配方为：圆心到直线的距离直线与圆的公共点的个数为2故答案为：24（2020江苏）在极坐标系中，已知，在直线上，点，在圆上（其中，（1）求，的值；（2）求出直线与圆的公共点的极坐标【解析】（1），在直线上，解得点，在圆上，解得或时，点表示极点，而圆经过极点，所以满足条件，极点的极坐标表示为0，极角为任意角故或0（2）由直线与圆得，方程组，则，故公共点的极坐标为5（2020新课标）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）当时，是什么曲
5、线？（2）当时，求与的公共点的直角坐标【解析】（1）当时，曲线的参数方程为，为参数），消去参数，可得，故是以原点为圆心，以1为半径的圆；（2）法一：当时，消去得到的直角坐标方程为，的极坐标方程为可得的直角坐标方程为，解得与的公共点的直角坐标为法二：当时，曲线的参数方程为，为参数），两式作差可得，得，整理得：，由，又，联立，解得（舍，或与的公共点的直角坐标为6（2019江苏）在极坐标系中，已知两点，直线的方程为（1）求，两点间的距离；（2）求点到直线的距离【解析】（1）设极点为，则在中，由余弦定理，得，；（2）由直线的方程，知直线过，倾斜角为，又，点到直线的距离为7（2019新课标）如图，在极坐
6、标系中，弧，所在圆的圆心分别是，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧（1）分别写出，的极坐标方程；（2）曲线由，构成，若点在上，且，求的极坐标【解析】（1）由题设得，弧，所在圆的极坐标方程分别为，则的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为，（2）设，由题设及（1）知，若，由得，得，若，由得，得或，若，由得，得，综上的极坐标为，或，或，或，8（2019新课标）在极坐标系中，为极点，点，在曲线上，直线过点且与垂直，垂足为（1）当时，求及的极坐标方程；（2）当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程【解析】（1）当时，在直线上任取一点，则有，故的极坐标方程为有；（2）设，则在中，有，在线段上，故点轨
7、迹的极坐标方程为，9（2018江苏）在极坐标系中，直线的方程为，曲线的方程为，求直线被曲线截得的弦长【解析】曲线的方程为，曲线是圆心为，半径为得圆直线的方程为，直线的普通方程为：圆心到直线的距离为，直线被曲线截得的弦长为10（2018新课标）在直角坐标系中，曲线的方程为以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程【解析】（1）曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为：，转换为标准式为：（2）由于曲线的方程为，则：该射线关于轴对称，且恒过定点由于该射线与曲线的极坐标有且仅有三个公共点所以：必有一直线相切，一直线相交则
8、：圆心到直线的距离等于半径2故：，或解得：或0，当时，不符合条件，故舍去，同理解得：或0经检验，直线与曲线有两个交点故的方程为：11（2017新课标）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值【解析】（1）曲线的直角坐标方程为：，设，则，即，即，两边开方得：，整理得：，点的轨迹的直角坐标方程：（2）点的直角坐标为，显然点在曲线上，曲线的圆心到弦的距离，的最大面积1（2019昌平区二模）在极坐标系中，极点到直线的距离为_【答案】【解析】直线的
9、直角坐标方程：，极点到直线的距离等于：故答案为：2（2020河南一模）以直角坐标系的原点为极坐标系的极点，轴的正半轴为极轴已知曲线的极坐标方程为，是上一动点，的轨迹为（）求曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（）若点，直线的参数方程为为参数），直线与曲线的交点为，当取最小值时，求直线的普通方程【解析】（）根据题意，设点，的极坐标分别为，、，则有，故曲线的极坐标方程为，变形可得：，故的直角坐标方程为，即；（）设点，对应的参数分别为、，则，设直线的参数方程，为参数），代入的直角坐标方程中，整理得由根与系数的关系得，则，当且仅当时，等号成立，此时的普通方程为3（2020沈河区校级模拟）以坐标原点为
10、极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：为参数，点的极坐标为（1）若是曲线上的动点，求到定点的距离的最小值；（2）若曲线与曲线有两个不同交点，求正数的取值范围【解析】（1）在直角坐标系中，由，可得点由，得，即，曲线为圆，圆心为，半径为1，的最小值为；（2）由（1）知，曲线为圆，曲线的参数方程为：为参数，即，移向后平方作和得：，曲线为圆心为，半径为的圆，曲线与曲线有两个不同交点，解得，正数的取值范围是4（2020武汉模拟）已知曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数），以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线和曲线的的极坐标方程；（
11、2）射线与曲线和曲线分别交于，已知点，求的面积【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），由于，得：根据整理得曲线的参数方程为为参数），转换为普通方程为转换为极坐标方程为（2）射线与曲线和曲线分别交于，所以，所以，则的面积为5（2020道里区校级一模）在平面直角坐标系中，曲线，曲线为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求曲线，的极坐标方程：（2）曲线的极坐标方程为，分别交，于，两点，当取何值时，取得最小值【解析】（1）曲线根据转换为极坐标方程为曲线为参数），转换为直角坐标方程为，整理得根据，转换为极坐标方程为（2）曲线的极坐标方程为，与交于点，所以，整理得，曲线的极坐标方程
12、为，与交于点，所以，整理得，所以，设，由于，所以，所以所以，所以，当时，的最小值为6（2020德阳模拟）在平面直角坐标系中，已知直线，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为（1）求直线的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（2）射线交圆于、，交直线于，若，两点在轴上投影分别为、，求长度的最小值，并求此时、两点的极坐标【解析】（1）已知直线，转换为极坐标方程为圆的极坐标方程为整理得，根据转换为直角坐标方程为（2）射线交圆于、，得到，若，两点在轴上投影分别为、，所以，当时，即最小值为2由于，所以点，7（2020汉阳区校级模拟）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：，（1）求曲线的极坐标方程并指出曲线类型；（2）若曲线与直线交于不同的两点、，求的值【解析】（1）由，消去参数，得，令，则有，即，曲线为等轴双曲线；（2）将直线的极坐标方程代入，得，曲线与曲线交于不同的两点、，则，又，可得或，设，则，解得：，或，得或8（2020汉阳区校级模拟）已知曲线为参数且，直线的极坐标方程为（1）求曲线和直线的直角坐标方程；（2）若为曲线上一点，求到直线距离的最小值【解析】（1）曲线为参数且，由，两边平方作差得：；直线的极坐标方程为由，且，得（2）设，由点到直线的距离公式可知：当且仅当时，取等号
