1、提能专训(三)不等式与线性规划一、选择题1(2013广东佛山质检)不等式ax2bx20的解集是，则ab的值是()A10 B10 C14 D14答案：D命题立意：本题考查一元二次不等式与二次方程的关系，难度中等解题思路：由题意知ax2bx20的两个根为， ， a12，b2， ab14.2(2013山西省附中期中考试)函数yax32(a0，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线1上，且m0，n0，则3mn的最小值为()A13 B16C116 D28答案：B解题思路：函数yax32的图象恒过A(3，1)，由点A在直线1上可得，1，即1，故3mn(3mn)103.因为m0，n0，所以22，故3mn103
2、103216，故选B.3已知变量x，y满足约束条件则z的取值范围为()A1,2 B.C. D.答案：B命题立意：本题是线性规划问题，首先准确作出可行域，然后明确目标函数的几何意义是可行域内的点与点(1，1)连线的斜率，最后通过计算求出z的取值范围解题思路：由已知约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，其中A(1,1)，B(1,2)，目标函数z的几何意义为可行域内的点与点P(1，1)连线的斜率，kPA1，kPB，故选B.4(2013湖南衡阳八中第六次质检)设x，y满足约束条件若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为12，则的最小值为()A. B. C. D4答案：B解题思路：画出不等式组表示
3、的可行域，如图所示当直线axbyz过直线xy20与直线3xy60的交点(4,6)时，取得最大值12，即4a6b12，即2a3b6.而2，故选B.5(2013兰州一中12月月考)若实数x，y满足则z3x2y的最小值为()A0 B1 C. D9答案：B解题思路：可行域是由点，(0,1)，(0,0)为边界的三角形区域，z3x2y的最小值在mx2y取得最小值时取得，mx2y在经过(0,0)时取得最小值，即z3x2y最小值为301，故选B.6已知函数f(x)则不等式f(a24)f(3a)的解集为()A(2,6) B(1,4)C(1,4) D(3,5)答案：B命题立意：本题以分段函数为载体，考查了函数的单
4、调性以及不等式等知识，考查了数形结合的思想解题时首先作出函数f(x)的图象，根据图象得到函数的单调性，进而得到不等式的解集解题思路：作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的由f(a24)f(3a)，可得a243a，整理得a23a40，即(a1)(a4)0，解得1a4.所以不等式的解集为(1,4)7(呼和浩特第一次统考)已知正项等比数列an满足S817S4，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为()A. B. C. D.答案：C命题立意：本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式与均值不等式的综合应用，难度中等解题思路：由已知S817S41q417，又q0，解得q2
5、.因为各项均为正项，因此a14a1，整理得2mn216mn6.由均值不等式得，当且仅当mn3时，取得最小值.8(2013山东青岛统一质检)定义区间(a，b)，a，b)，(a，b，a，b的长度均为dba，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，(1,2)3,5)的长度d(21)(53)3.用x表示不超过x的最大整数，记xxx，其中xR.设f(x)xx，g(x)x1，当0xk时，不等式f(x)g(x)解集区间的长度为5，则k的值为()A6 B7 C8 D9答案：B命题立意：本题考查函数与不等式知识以及对已知信息的理解和迁移能力，难度中等解题思路：f(x)xxx(xx)xxx2，由f(x)g(x)
6、得xxx2x1，即(x1)xx21.当x0,1)时，x0，不等式的解为x1，不合题意；当x1,2)时，x1，不等式为00，无解，不合题意；当x2时，x1，所以不等式(x1)xx21等价于xx1，此时恒成立，所以此时不等式的解为2xk.因为不等式f(x)g(x)解集区间的长度为5，所以k25，即k7，故选B.9设变量x，y满足约束条件则目标函数z2xy的最小值为()A1 B2 C3 D8答案：C解题思路：作出约束条件的可行域，知(1,1)为所求最优解， zmin2113.10(2013贵州一联)设曲线x2y20的两条渐近线与抛物线y24x的准线围成的三角形区域(包含边界)为D，P(x，y)为D内
7、的一个动点，则目标函数zx2y5的最大值为()A4 B5 C8 D12答案：C解题思路：由x2y20得曲线为yx.抛物线的准线为x1，所以它们围成的三角形区域为三角形BOC.由zx2y5得yx(5z)，作直线yx，平移直线yx，当直线yx(5z)经过点C时，直线yx(5z)的截距最小，此时z最大由得x1，y1，即C(1，1)，代入zx2y5得z8.二、填空题11(2013宁夏3月第一次联考)已知变量x，y满足则ulog4(2xy4)的最大值为_答案：2解题思路：满足的可行域如图中阴影所示，令z2xy4，则y2x(z4)将虚线上移，得到y2x(z4)过直线2xy0与x2y30的交点时最大又即过(
8、1,2)时，zmax2248，故ulog4(2xy4)的最大值是log48log22232.12(2013深圳第二次调研)已知向量a(1，2)，M是平面区域内的动点，O是坐标原点，则a的最小值是_答案：3命题立意：本题考查平面向量的数量积运算、简单的线性规划问题，考查学生的作图能力、计算能力，难度中等解题思路：作出线性约束条件表示的可行域如图所示，设可行域内任意点M(x，y)，则(x，y)因为a(1，2)，所以a(1，2)(x，y)x2y.令zx2y，则y，作出直线y，可以发现当其过点(1,2)时，有最大值，z有最小值将x1，y2代入，得zmin143.13(2013保定高三调研考试)设x，y
9、满足约束条件则x2y2的最大值与最小值之和为_答案：命题立意：本题主要考查二元一次不等式组表示的平面区域及数形结合思想，意在考查考生分析问题、解决问题的能力解题思路：作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示由图可知x2y2的最大值在x2y2与3x2y3的交点处取得，解得交点坐标为，所以x2y2的最大值为，最小值是原点到直线xy1的距离的平方，即为，故所求的和为.14若(x，y)|x2y225，则实数b的取值范围是_答案：0，)解题思路：如图，若(x，y)x2y50,3x0，yxb非空，(x，y)x2y50,3x0，yxb(x，y)|x2y225，则直线yxb在直线yx与直线yx8之间平行移动，故0b8；若(x，y)x2y50,3x0，yxb为空集，则b8，故b的取值范围是0，)15(2013云南第一次统一检测)若不等式组表示的平面区域的面积为3，则实数a的值是_答案：2命题立意：本题主要考查线性规划问题，正确画出可行域是解决问题的关键解题思路：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S23，解得a2.