1、第4节 数列求和考试要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.知 识 梳 理 1.特殊数列的求和公式(1)等差数列的前 n 项和公式：Snn（a1an）2na1_.(2)等比数列的前 n 项和公式：Snna1，q1，a1anq1q _.n（n1）2da1（1qn）1-q,q12.数列求和的几种常用方法(1)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(2)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.(3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数
2、列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法 如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.常用结论与微点提醒1.1234nn（n1）2.2.1222n2n（n1）（2n1）6.3.裂项求和常用的三种变形(1)1n（n1）1n 1n1.(2)1（2n1）（2n1）1212n112n1.(3)1n n1 n1 n.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sna1an11q.()(2)当 n2 时，1n21
3、12(1n1 1n1).()(3)求 Sna2a23a3nan 时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得.()(4)若数列 a1，a2a1，anan1是首项为 1，公比为 3 的等比数列，则数列an的通项公式是 an3n12.()解析(3)要分a0或a1或a0且a1讨论求解.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材必修 5P47B4 改编)已知数列 an1（2n1）（2n1），则数列an的前 2 021项和为_.解析 an1212n112n1，数列an的前 2 021 项和为 a1a2a2 02112(113131514 04114 043)12114 043 2 0214 0
4、43.答案 2 0214 0433.(老教材必修 5P56 例 1 改编)等比数列an中，若 a127，a9 1243，q0，Sn是其前 n项和，则 S6_.解析 由 a127，a9 1243知，124327q8，又由 q0，解得 q13，所以 S62711361133649.答案 36494.(2019东北三省四校二模)已知数列an满足an1an2，a15，则|a1|a2|a6|()A.9B.15C.18D.30 解析 由题意知an是以2为公差的等差数列，又a15，所以|a1|a2|a6|5|3|1|13553113518.答案 C 5.(2019珠海期末质检)已知数列an的通项公式为an2
5、nn，若数列an的前n项和为Sn，则S8_.解析 由 an2nn，可得 S8(2222328)(128)2（128）128（18）2546.答案 546 6.(2020河北“五个一”名校质检)若 f(x)f(1x)4，anf(0)f1n fn1nf(1)(nN*)，则数列an的通项公式为_.解析 由 f(x)f(1x)4，可得 f(0)f(1)4，f1n fn1n4，所以 2anf(0)f(1)f1n fn1nf(1)f(0)4(n1)，即 an2(n1).答案 an2(n1)考点一 分组求和【例1】(2019汕头二模)记Sn为数列an的前n项和，若a119，Snnan1n(n1).(1)求数
6、列an的通项公式；(2)设bn|an|，设数列bn的前n项和为Tn，求T20的值.解(1)因为Snnan1n(n1)，所以Sn1(n1)ann(n1)(n2)，得annan1(n1)an2n(n2)，即an1an2(n2)，又S1a22，即a2a12，所以数列an是以19为首项，2为公差的等差数列，所以an19(n1)(2)212n.(2)由(1)知an212n，所以bn|an|212n|，因为当n10时，an0，当n10时，an10，所以T20b1b2b20(19171)(1319)2(19171)2（191）102200.规律方法 1.若数列cn的通项公式为 cnanbn，且an，bn为等
7、差或等比数列，可采用分组求和法求数列cn的前 n 项和.2.若数列cn的通项公式为 cnan，n为奇数，bn，n为偶数，其中数列an，bn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求cn的前 n 项和.【训练1】(2020郴州质检)已知在等比数列an中，a11，且a1，a2，a31成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn2n1an(nN*)，数列bn的前n项和为Sn，试比较Sn与n22n的大小.解(1)设等比数列an的公比为q，a1，a2，a31成等差数列，2a2a1(a31)a3，qa3a22，an的通项公式为ana1qn12n1(nN*).(2)由(1)知bn2n1an
8、2n12n1，Sn(11)(32)(522)(2n12n1)135(2n1)(12222n1)1（2n1）2n12n12 n22n1.Sn(n22n)10，Snn22n.考点二 裂项求和【例 2】(2020黄山质检)已知数列nan1 的前 n 项和 Snn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)令 bn2n1（an1）2（an11）2，数列bn的前 n 项和为 Tn，求证：对任意的 nN*，都有 Tn1.(2)证明 由(1)知，bn2n1（an1）2（an11）22n1n2（n1）21n21（n1）2，所以 Tn112122 122132 1n21（n1）2 11（n1）2.所以 Tn0，
9、所以 q13.由 2a13a21，得 2a13a1q1，解得 a113.故数列an的通项公式为 an13n.(2)由(1)可得 bnlog3a1log3a2log3an(12n)n（n1）2，故1bn2n（n1）21n 1n1，所以1b11b21bn2112 1213 1n 1n1 2nn1.故数列1bn 的前 n 项和为 2nn1.考点三 错位相减法求和【例 3】(2019河南六校联考)已知数列an中，a11，Sn 是数列an的前 n 项和，且对任意的 r，tN*，都有SrStrt2.(1)判断an是否为等差数列，并证明你的结论；(2)若数列bn满足anbn2n1(nN*)，设 Tn是数列b
10、n的前 n 项和，求证：Tn6.(1)解 an是等差数列.证明如下：对任意的 r，tN*，都有SrStrt2，对任意的 nN*，有SnS1n2，即 Snn2.从而当n2时，anSnSn12n1.当n1时，a11也满足此式.an1an2(nN*)，an是以1为首项，2为公差的等差数列.(2)证明 由anbn2n1，得 bn2n12n1.Tn1203212n12n1，Tn2 1213222n32n1 2n12n，得，Tn2 1221 22n12n12n12121 12n11122n12n32n32n，Tn62n32n1，又 nN*，Tn62n32n1 6.规律方法 1.一般地，如果数列an是等差数
11、列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“SnqSn”的表达式.【训练 3】(2020湘赣十四校联考)已知函数 f(x)2 019sinx3(xR)的所有正数零点构成递增数列an，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn2nan23，求数列bn的前 n 项和为 Sn.解(1)令 f(x)2 019sinx3 0，则 x3k(kZ)，解得 x13k(kZ).f(x)的所有正零点构成递增数列an，数列an是首项为13，公差为 1 的等差数列，an的通项公式为 an131(n1)n23(nN*).(2)由(1)可知 ann23(nN*)，又bn2nan23，bn2nn2323 n2n.Sn121222323(n1)2n1n2n.两边同乘2，得2Sn122223324(n1)2nn2n1.，得 Sn2122232nn2n12（12n）12n2n1(n1)2n12.所以数列bn的前n项和Sn(n1)2n12.