1、2013届全国各地高考押题数学（理科）精选试题分类汇编9：圆锥曲线一、选择题 （2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）已知直线交椭圆于两点,椭圆与轴的正半轴交于点,若的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线的方程是（）AB CD【答案】（）A设,又,由重心坐标得 ,所以弦的中点为. 因为点在椭圆上, 所以,作差得 ,将(1)和(2)代入得, 所以,直线L为: （2013届山东省高考压轴卷理科数学）已知抛物线y2=4x的准线过双曲线-=1(a0,b0)的左顶点,且此双曲线的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线的焦距等于（）AB2CD2【答案】B 【解析】抛物线y2=4x的准线x=-1过双曲线-=1
2、(a0,b0)的左顶点,a=1,双曲线的渐近线方程为y=x=bx.双曲线的一条渐近线方程为y=2x,b=2,c=,双曲线的焦距为2. （2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）已知双曲线的一条渐近线的斜率为,且右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的离心率等于（）ABC2D2【答案】B【解析】抛物线的焦点为,即.双曲线的渐近线方程为,由,即,所以,所以,即,即离心率为,选B （2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）双曲线的左右焦点分别是,点在其右支上,且满足,则的值是（）ABCD【答案】C【解析】(方法一)即,又 即 由题意知, 故. (方法二)焦半径公式法: ,故.选C 点评:本题考查双曲线的
3、简单几何性质和等差数列前项和的求法. 通过得出的关系式解题的关键. （2013届四川省高考压轴卷数学理试题）已知双曲线的方程为,则离心率的范围是（）ABCD 【答案】B （2013届福建省高考压轴卷数学理试题）设双曲线的左,右焦点分别为,过的直线交双曲线左支于两点,则的最小值为（）ABCD16【答案】B【解析】由题意,得: 显然,AB最短即通径,故 （2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）已知双曲线的方程为,过左焦点作斜率为的直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段,则双曲线的离心率为（）ABCD【答案】A （2013届湖北省高考压轴卷 数学（理）试题）若双曲线的左、右顶点分别为,点是第一
4、象限内双曲线上的点.若直线的倾斜角分别为,且,那么的值是（）ABCD【答案】D 【解析】:双曲线的方程为,双曲线的左顶点为,右顶点为.设,得直线的斜率,直线的斜率,.是双曲线上的点,得,代人式得.直线的倾斜角分别为,所以,.是第一象限内双曲线上的点,易知均为锐角,解得.故选D （2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）抛物线上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是（）ABCD0 【答案】B【解析】抛物线的标准方程为,抛物线的焦点坐标为,准线方程为,因为M到焦点的距离为1,则M到准线的距离为1,即,所以,选B（2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦
5、点在抛 物线的准线上,则双曲线的方程为（）AB CD【答案】B依题意知,所以双曲线的方程为 （2013届海南省高考压轴卷理科数学）设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是（）A(0,2)B0,2C(2,+)D2,+)【答案】答案:C ks5u考点:抛物线的简单性质. 分析:由条件|FM|4,由抛物线的定义|FM|可由y0表达,由此可求y0的取值范围 解答:解:由条件|FM|4,由抛物线的定义|FM|=y0+24,所以y02 (13)=1 (14)16(15)mb0), 因为离心率为,所以=,解得=
6、,即a2=2b2. 又ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a,所以4a=16,a=4,所以b=2,所以椭圆方程为+=1. （2013届北京市高考压轴卷理科数学）抛物线的准线与双曲线的两渐近线围成的三角形的面积为 【答案】 【解析】抛物线的准线为,双曲线的两渐近线为和,令,分别解得,所以三角形的低为,高为3,所以三角形的面积为. （2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）过点M(2,0)的直线m与椭圆两点,线段的中点为P,设直线m的斜率为,直线OP的斜率为k2,则
7、k1k2的值为_【答案】 -1/2 （2013届四川省高考压轴卷数学理试题）是抛物线上一点,是抛物线的焦点.以为始边,为终边的角,则(是坐标原点)的面积为_.【答案】 （2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）抛物线的焦点为,在抛物线上,且,弦的中点在其准线上的射影为,则的最大值为【答案】. 如图, , 当且仅当时取“=”号 （2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）在平面直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在轴上,离心率为.过的直线L交C于两点,且的周长为16,那么的方程为_.【答案】解析:由得a=4.c=,从而b=8,为所求. （2013届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）已知椭圆的左、右焦
8、点分别为F1、F2,且=2c,若点P在椭圆上,且满足,则该椭圆的离心率e等于_【答案】 （2013届海南省高考压轴卷理科数学）已知双曲线和椭圆有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为_【答案】考点:圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质. 分析:先利用双曲线和椭圆有相同的焦点求出c=,再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,求出a=2,即可求双曲线的方程. 解答:解:由题得,双曲线的焦点坐标为(,0),(,0),c=: 且双曲线的离心率为2=a=2.b2=c2a2=3, 双曲线的方程为=1. 故答案为:=1. 三、解答题（2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）已知椭圆C:
9、的离心率为,以原点O为圆心,椭圆的短半轴长 为半径的圆与直线相切()求椭圆C的标准方程()若直线L:与椭圆C相交于A、B两点,且求证:的面积为定值在椭圆上是否存在一点P,使为平行四边形,若存在,求出的取值范围,若不存在说明理由.请考生在第22,23,24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.【答案】()解:由题意得 椭圆的方程为. ()设,则A,B的坐标满足 消去y化简得 , ,得 =. ,即 即 = . O到直线的距离 = = 为定值. ()若存在平行四边形OAPB使P在椭圆上,则 设,则 由于P在椭圆上,所以 从而化简得 化简得 (1) 由知 (2) 解(1)
10、(2)知无解 不存在P在椭圆上的平行四边形. （2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）(注意:在试题卷上作答无效)已知的顶点A在射线上,、两点关于x轴对称,0为坐标原点,且线段AB上有一点M满足当点A在上移动时,记点M的轨迹为W.()求轨迹W的方程;()设是否存在过的直线与W相交于P,Q两点,使得若存在,求出直线;若不存在,说明理由.【答案】解:()因为A,B两点关于x轴对称, 所以AB边所在直线与y轴平行. 设由题意,得 所以点M的轨迹W的方程为 ()假设存在,设 当直线时,由题意,知点P,Q的坐标是方程组的解, 消去y得 所以 直线与双曲线的右支(即W)相交两点P,Q, 即 要使则必须
11、有解得代入不符合. 所以不存在直线,使得 当直线时,不符合题意, 综上:不存在直线,使得 （2013届海南省高考压轴卷理科数学）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在s轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.()求椭圆C的方程;()若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,=,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线. 2013海南省高考压轴卷数学【答案】()设椭圆长半轴长及半焦距分别为,由已知得 , 所以椭圆的标准方程为 ()设,其中.由已知及点在椭圆上可得 . 整理得,其中. (i)时.化简得 所以点的轨迹方程为,轨迹是两条平行于轴的线段. (ii)时,方程变
12、形为,其中 当时,点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分. 当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分; 当时,点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆 （2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）已知椭圆的左顶点,过右焦点且垂直于长轴的弦长为.()求椭圆的方程;()若过点的直线与椭圆交于点,与轴交于点,过原点与平行的直线与椭圆交于点,求证:为定值.【答案】解:(1),设过右焦点且垂直于长轴的弦为,将代入椭圆方程,解得, 故,可得 所以,椭圆方程为 (2)由题意知,直线斜率存在,故设为,则直线的方程为,直线的方程为.可得,则 设,联立方程组, 消去得:, , 则 设与椭圆交另
13、一点为,联立方程组, 消去得, 所以 故. 所以等于定值 （2013届海南省高考压轴卷理科数学）已知抛物线的焦点为,过点作直线与抛物线交于、两点,抛物线的准线与轴交于点.(1)证明:;(2)求的最大值,并求取得最大值时线段的长.【答案】解:()由题设知,F(,0),C(-,0), 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l方程为x=my+, 代入抛物线方程y2=2px,得y2-2pmy-p2=0. y1+y2=2pm,y1y2=-p2. 不妨设y10,y20,tanACF=1,当且仅当y1=p时取等号, 此时ACF取最大值,ACB=2ACF取最大值, 并且A(,p),B(,-p),|AB|=
14、2p. （2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）本题共3小题,第()小题4分,第()小题6分,第()小题6分. 已知点是离心率为的椭圆:上的一点.斜率为的直线交椭圆于、两点,且、三点不重合.()求椭圆的方程;()的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由?()求证:直线、的斜率之和为定值.【答案】本题共3小题,第()小题4分,第()小题6分,第()小题6分.解:(), , XYODBA, ()设直线的方程为 - - , 设为点到直线:的距离, ,当且仅当时取等号. 因为,所以当时,的面积最大,最大值为. ()设,直线、的斜率分别为: 、,则 = -* 将()中、式代
15、入*式整理得 =0, 即0 （2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）已知点,是抛物线上相异两点,且满足.()若的中垂线经过点,求直线的方程;()若的中垂线交轴于点,求的面积的最大值及此时直线的方程.【答案】解:(I)当垂直于轴时,显然不符合题意, 所以可设直线的方程为,代入方程得: 得: 直线的方程为 中点的横坐标为1,中点的坐标为 的中垂线方程为 的中垂线经过点,故,得 直线的方程为 ()由(I)可知的中垂线方程为,点的坐标为 因为直线的方程为 到直线的距离 由 得, , 设,则, ,由,得 在上递增,在上递减,当时,有最大值 得:时,直线方程 （2013届广东省高考压轴卷数学理试题）动圆P
16、在x轴上方与圆F:外切,又与x轴相切.(1)求圆心P的轨迹C的方程;(2)已知A.B是轨迹C上两点,过A.B两点分别作轨迹C的切线,两条切线的交点为M, 设线段AB的中点为N,是否存在使得(F为圆F的圆心);(3)在(2)的条件下,若轨迹C的切线BM与y轴交于点R,A.B两点的连线过点F,试求ABR面积的最小值. 【答案】解:(1)设P(x,y)由题意知 . 即圆心P的轨迹C的方程为 (2)设, 由得直线AM的斜率 直线BM的斜率 直线AM的方程为- 直线BM的方程为- 由消去y得 ,在抛物线上 即点M的横坐标,又点N的横坐标为也为 MN/y轴,即与共线 存在使得 (3)设点B的坐标为,则轨迹
17、C的切线BM的方程为 可得R的坐标为, 直线BA的方程为,由可得点A的坐标为 = 是关于的偶函数,只须考虑的情况, 令()则,令解得 当时,当时, 当且仅当时,取得最小值 （2013届江苏省高考压轴卷数学试题）在直角坐标系上取两个定点,再取两个动点,且.()求直线与交点的轨迹的方程;()已知点()是轨迹上的定点,是轨迹上的两个动点,如果直 线的斜率与直线的斜率满足,试探究直线的斜 率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.【答案】 （2013届山东省高考压轴卷理科数学）如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为
18、B1,B2,且AB1B2 是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2QB2,求直线l的方程.【答案】【解析】 (1)设所求椭圆的标准方程为+=1(ab0),右焦点为F2(c,0).因为AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,得b=. 结合c2=a2-b2,得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,离心率e= . 在RtAB1B2中,OAB1B2,故SAB1B2=|B1B2|OA|=|OB2|OA|=b=b2. 由题设条件SAB1B2=4,得b2=4,从而a2=5b2
19、=20. 因此所求椭圆的标准方程为+=1. (2)由(1),知B1(-2,0),B2(2,0).由题意,知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2,代入椭圆方程,得(m2+5)y2-4my-16=0. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1y2=-. 又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2), =(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=-+16=-. 由PB2QB1,得=0,即16m2-64=0,解得m=2. 满足条件的直线有两条,其方程分别
20、为x+2y+2=0和x-2y+2=0. （2013届江苏省高考压轴卷数学试题）抛物线上有两点且(为坐标原点)(1)求证: (2)若,求AB所在直线方程.【答案】抛物线上有两点且(为坐标原点) (1)求证: (2)若,求AB所在直线方程. （2013届四川省高考压轴卷数学理试题）如图,是抛物线为上的一点,以S为圆心,r为半径()做圆,分别交x轴于A,B两点,连结并延长SA、SB,分别交抛物线于C、D两点.(1)求证:直线CD的斜率为定值;(2)延长DC交x轴负半轴于点E,若EC : ED = 1 : 3,求的值.【答案】(1)将点(1,1)代入,得 抛物线方程为 设, 与抛物线方程 联立得: 由
21、题意有, (2)设 同理 , 因此: （2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）在周长为定值的DDEC中,已知|DE|=8,动点C的运动轨迹为曲线G,且当动点C运动时,cosC有最小值.(1) “以DE所在直线为x轴,线段DE的中垂线为y轴建立直角坐标系,求曲线G的方程”.2)直线l分别切椭圆G与圆M:x2+y2=R2(其中3R8)为定值,所以C点的轨迹是以D、E为焦点的椭圆,所以焦距2c=|DE|=8. 因为 又 ,所以 ,由题意得 . 所以C点轨迹G 的方程为 (2)设分别为直线与椭圆和圆的切点, 直线AB的方程为: 因为A既在椭圆上,又在直线AB上,从而有, 消去得: 由于直线与椭圆相切,
22、故 从而可得: 由消去得: 由于直线与圆相切,得 由得:由得: 即,当且仅当时取等号,所以|AB|的最大值为2. （2013届北京市高考压轴卷理科数学）已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,短轴长为4.(I)求椭圆C的标准方程;(II)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点,且直线AB的斜率为.求四边形APBQ面积的最大值;设直线PA的斜率为,直线PB的斜率为,判断+的值是否为常数,并说明理由.【答案】解:()设椭圆C的方程为 由已知b= 离心率 ,得 所以,椭圆C的方程为 ks5u()由()可求得点P、Q的坐标为 ,则, 设AB(),直线AB的方程
23、为,代人 得:. 由0,解得,由根与系数的关系得 四边形APBQ的面积 故当 由题意知,直线PA的斜率,直线PB的斜率 则 = =,由知 可得 所以的值为常数0 （2013届湖北省高考压轴卷 数学（理）试题）如图,已知、是抛物线:上的两个不同的点,且,直线是线段的垂直平分线.设椭圆的方程为.(1)当、在上移动时,求直线的斜率的取值范围;(2)已知直线与抛物线交于、两点,与椭圆交于、两点,设线段的中点为,线段的中点为,若,求椭圆的离心率的取值范围.【答案】(1)由题意知,直线的斜率为, 又,直线的斜率为. ,由,得,即(当时,等号成立),. 、是不同的两点,即, 即或. 直线的斜率的取值范围为.
24、 (2)由题意易得,线段的中点坐标为. 直线是线段的垂直平分线, 直线的方程为, 又,即, 直线的方程为. 将直线的方程分别代入抛物线方程和椭圆方程并整理得, , . 易知方程的判别式, 方程的判别式, 由(1)易知,又,恒成立. 设,则 , 线段的中点的坐标为, 又, 线段的中点的坐标为. ,由得, ,即, . , .由题易知,椭圆的离心率, ,. 故椭圆的离心率的取值范围为. （2013届江西省高考压轴卷数学理试题）如图,在矩形中,分别为四边的中点,且都在坐标轴上,设,.()求直线与的交点的轨迹的方程;()过圆上一点作圆的切线与轨迹交于两点,若,试求出的值.【答案】解:(I)设,由已知得,
25、 则直线的方程为,直线的方程为, 消去即得的轨迹的方程为 ks5u (II)方法一:由已知得,又,则, 设直线代入得, 设, 则 由得, 即, 则, 又到直线的距离为,故. 经检验当直线的斜率不存在时也满足 方法二:设,则,且可得直线的方程为 代入得, 由得,即, 则,故 （2013届天津市高考压轴卷理科数学）已知椭圆(ab0)的焦距为4,且与椭圆有相同的离心率,斜率为k的直线l经过点M(0,1),与椭圆C交于不同两点A、B.(1)求椭圆C的标准方程;(2)当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时,求k的取值范围.【答案】解:(1)焦距为4, c=2 又的离心率为 ,a=,b=2 标准方程为
26、(2)设直线l方程:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 由得 x1+x2=,x1x2= 由(1)知右焦点F坐标为(2,0), 右焦点F在圆内部,0 (x1 -2)(x2-2)+ y1y20 即x1x2-2(x1+x2)+4+k2 x1x2+k(x1+x2)+10 0 k 经检验得k0成立. 又SOMN=|y1-y2|=,设t=,则 SOMN=,(t+)=1-t-20对t恒成立,t=时t+取得最小,SOMN最大, 此时m=0,MN方程为x=1 （2013届陕西省高考压轴卷数学（理）试题）已知椭圆的离心率为,且椭圆上一点与两个焦点构成的三角形的周长为. (I)求椭圆的方程;(II)
27、设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于两点,试问:在轴上是否存在定点,使成立?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】【解析】(I)由题意知:,且, 解得, 椭圆的方程为. (II)易求得右焦点,假设在轴上存在点(为常数),使. 当直线的斜率不存在时,则,此时, ,解得或. 当直线的斜率存在时,设, 联立方程组,消去整理得, 设,则 当即时,为定值: 由可知,在轴上存在定点,使成立. （2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）已知椭圆的焦点坐标是,过点垂直与长轴的直线交椭圆与两点,且.(1)求椭圆的方程(2)过的直线与椭圆交与不同的两点,则的内切圆面积是否存在最大值?若存在,则求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.【答案】【解析】(1)设椭圆的方程是, 由交点的坐标得:,- 由,可得- 解得- 故椭圆的方程是- (2)设,不妨设 设的内切圆半径是,则的周长是, , 因此最大,就最大- 由题知,直线的斜率不为0,可设直线的方程为, 由得,- 解得 则- 令则 则- 令 ks5u当时,在上单调递增, 有, 即当时,所以, 此时所求内切圆面积的最大值是 故直线,内切圆的面积最大值是-
