1、专题升级训练 解答题专项训练(概率与统计)1.调查某初中1 000名学生的肥胖情况,得下表:偏瘦正常肥胖女生(人)100173y男生(人)x177z已知从这批学生中随机抽取1名学生,抽到偏瘦男生的概率为0.15.(1)求x的值.(2)若用分层抽样的方法,从这批学生中随机抽取50名,问应在肥胖学生中抽多少名?(3)已知y193,z193,求肥胖学生中男生不少于女生的概率.2.(2013吉林长春模拟,18)有一个不透明的袋子,装有4个完全相同的小球,球上分别编有数字1,2,3,4.(1)若逐个不放回取球两次,求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率;(2)若先从袋中随机取一个球
2、,该球的编号为a,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为b,求直线ax+by+1=0与圆x2+y2=有公共点的概率.3.甲、乙两种鱼的身体吸收汞,质检部门对市场中出售的一批鱼进行检测,在分别抽取的10条鱼的样本中,测得汞含量与鱼体重的百万分比如下:甲种鱼:1.31,1.02,1.42,1.35,1.27,1.44,1.28,1.37,1.36,1.14;乙种鱼:1.01,1.35,0.95,1.16,1.24,1.08,1.17,1.03,0.60,1.11;(1)用前两位数做茎,画出样本数据的茎叶图,并写出甲、乙两种鱼关于汞分布的一个统计结论;(2)在样本中选择甲、乙两种鱼各一
3、条做一道菜(在烹饪过程中汞含量不会发生改变),当两条鱼汞的总含量超过总体重的1.00 ppm(即百万分之一)时,就会对人体产生危害.如果20条鱼中的每条鱼的重量都相同,那么这道菜对人体产生危害的概率是多少?4.为了解某居民小区住户的年收入和年饮食支出的关系,抽取了其中5户家庭的调查数据如下表:年收入x(万元)34567年饮食支出y(万元)11.31.522.2(1)根据表中数据用最小二乘法求得回归直线方程x+中的=0.31,请预测年收入为9万元家庭的年饮食支出;(2)从5户家庭中任选2户,求“恰有一户家庭年饮食支出小于1.6万元”的概率.5.某校为了解学生的视力情况,随机抽查了一部分学生的视力
4、,将调查结果分组,分组区间为(3.9,4.2,(4.2,4.5,(5.1,5.4.经过数据处理,得到如下频率分布表:分组频数频率(3.9,4.230.06(4.2,4.560.12(4.5,4.825x(4.8,5.1yz(5.1,5.420.04合计n1.00(1)求频率分布表中未知量n,x,y,z的值;(2)从样本中视力在(3.9,4.2和(5.1,5.4的所有同学中随机抽取两人,求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率.6.某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动,按年龄分组:第1组25,30),第2组30,35),第3组35,40),第4组40,45),第5组45,50,得到的频率分布直
5、方图如图所示.(1)下表是年龄的频数分布表,求正整数a,b的值.区间25,30)30,35)35,40)40,45)45,50人数5050a150b(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人,年龄在第1,2,3组的人数分别是多少?(3)在(2)的前提下,从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动,求至少有1人年龄在第3组的概率.7.某班50名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:第一组13,14),第二组14,15),第五组17,18,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.(1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好,
6、求该班在这次百米测试中成绩良好的人数;(2)设m,n表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知m,n13,14)17,18,求事件“|m-n|1”的概率.#1.解:(1)由题意可知,=0.15,所以x=150(人).(2)由题意可知,肥胖学生人数为y+z=400.设应在肥胖学生中抽取m人,则,所以m=20(人),所以应在肥胖学生中抽20名.(3)由题意可知,y+z=400,且y193,z193,满足条件的(y,z)有(193,207),(194,206),(207,193),共有15组.设事件A为“肥胖学生中男生不少于女生”,即yz,满足条件的(y,z)有(193,207),(194,206),
7、(200,200),共有8组,所以P(A)=.即肥胖学生中女生少于男生的概率为.2.解:(1)用(a,b)(a表示第一次取到球的编号,b表示第二次取到球的编号)表示先后两次取球构成的基本事件,则基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12个.设“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除”为事件A,则事件A包含的基本事件有:(2,1),(2,4),(4,2),共有3个,P(A)=.(2)基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2)
8、,(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.设“直线ax+by+1=0与圆x2+y2=有公共点”为事件B,由题意知:,即a2+b216.则事件B包含的基本事件有:(1,4),(2,4),(3,3),(3,4),(4,1),(4, 2),(4,3),(4,4),共有8个,P(B)=.3.解:(1)甲乙两种鱼汞含量样本数据分布茎叶图如右:统计结论:甲种鱼汞含量高于乙种鱼汞含量.(2)从甲种鱼和乙种鱼中各选一条,共有100种情况,其中汞含量不超标的有:乙种鱼中选到汞含量为0.6的,甲种鱼中选到汞含量低于1.4的,
9、共有8种情况;乙种鱼中选到汞含量为0.95的,甲种鱼中选到汞含量为1.02的,共1种情况,所以,这道菜不会对人体产生危害的概率为,则这道菜会对人体产生危害的概率是1-.4.解:(1)=5,=1.6,又=0.31,代入,解得=0.05,=0.31x+0.05,当x=9时,解得=2.84(万元).年收入为9万元家庭的年饮食支出约为2.84万元.(2)记“年饮食支出小于1.6万元”的家庭为a,b,c;“年饮食支出不小于1.6万元”的家庭为M,N.设“从5户家庭中任选2户,恰有一户家庭年饮食支出小于1.6万元”为事件A.所有基本事件为(a,b),(a,c),(a,M),(a,N),(b,c),(b,M
10、),(b,N),(c,M),(c,N),(M,N),共10个基本事件.事件A包含的基本事件有(a,M),(a,N),(b,M),(b,N),(c,M),(c,N),共6个,P(A)=0.6.答:从5户家庭中任选2户恰有一户家庭年饮食支出小于1.6万元的概率是0.6.5.解:(1)由频率分布表可知,样本容量为n,由=0.04,得n=50.x=0.5,y=50-3-6-25-2=14,z=0.28.(2)记样本中视力在(3.9,4.2的3人为a,b,c,在(5.1,5.4的2人为d,e.由题意,从5人中随机抽取两人,所有可能的结果有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b
11、,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种.设事件A表示“两人的视力差的绝对值低于0.5”,则事件A包含的可能的结果有:(a,b),(a,c),(b,c),(d,e),共4种.P(A)=.故两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为.6.解:(1)由题设可知,a=0.085500=200,b=0.025500=50.(2)因为第1,2,3组共有50+50+200=300人,利用分层抽样在300名员工中抽取6名,每组抽取的人数分别为:第1组的人数为6=1,第2组的人数为6=1,第3组的人数为6=4,所以第1,2,3组分别抽取1人,1人,4人.(3)设第1组的1位员工为A,第2组
12、的1位员工为B,第3组的4位员工为C1,C2,C3,C4,则从六位员工中抽两位员工有:(A,B),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),(C1,C2),(C1,C3),(C1,C4),(C2,C3),(C2,C4),(C3,C4),共15种可能.其中2人年龄都不在第3组的有:(A,B),共1种可能,所以至少有1人年龄在第3组的概率为1-.7.解:(1)由频率分布直方图知,成绩在14,15)内的人数为:500.20=10,成绩在15,16)内的人数为500.38=19.所以成绩在14,16)内的人数为29,所以该班成绩良好的人数为29.(2)由频率分布直方图知,成绩在13,14)的人数为500.06=3人,且记为x,y,z;成绩在17,18的人数为500.04=2人,且记为A,B.若m,n13,14)时,有xy,xz,yz共3种情况;若m,n17,18时,有AB共1种情况;若m,n分别在13,14)和17,18内时,有xA,xB,yA,yB,zA,zB,共6种情况,所以,基本事件总数为10种.事件“|m-n|1”记为M,则事件M包含的基本事件个数有6种:xA,xB,yA,yB,zA,zB,所以P(M)=,所以事件“|m-n|1”的概率为.