1、专题强化训练(四)函数的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2015衡水高一检测)函数f(x)=2x+7的零点为()A.7B.C.-D.-7【解析】选C.令2x+7=0得,x=-.【补偿训练】函数f(x)=x3-16x的零点为()A.(0,0)B.0,4C.(-4,0),(0,0),(4,0)D.-4,0,4【解析】选D.由f(x)=x3-16x=x(x+4)(x-4)=0,解得零点为-4,0,4.2.偶函数f(x)在区间0,a(a0)上是单调函数,且f(0)f(a)0,则方程f(x)=0在区间-a,a内根的个数是()A.3B.2C.1D.0【解析】选B.由二分法和函
2、数的单调性可知:函数在区间0,a上有且只有一个零点,设为x0,因为函数是偶函数,所以f(-x0)=f(x0)=0,故其在对称区间-a,0上也有唯一零点,即函数在区间-a,a上存在两个零点.3.为了改善某地的生态环境,政府决心绿化荒山,计划第一年先植树0.5万亩,以后每年比上年增加1万亩,结果第x年植树亩数y(万亩)是时间x(年数)的一次函数,这个函数的图象是()【解析】选A.当x=1时,y=0.5,且为递增函数.【补偿训练】等腰三角形的周长是20,底边长y是一腰长x的函数,则y等于()A.20-2x(0x10)B.20-2x(0x10)C.20-2x(5x10)D.20-2x(5x10)【解析
3、】选D.由已知得y+2x=20,所以y=20-2x,由得所以5x10.4.(2015长春高一检测)方程x-=0的一个实数解的存在区间为()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(-1,1)【解析】选B.x-=0的解为x=1或x=-1.5.某方程在区间D=(2,4)内有一无理根,若用二分法求此根的近似值,且使所得近似值的精确度为0.1,则应将D至少等分()A.2次B.3次C.4次D.5次【解析】选D.等分1次,区间长度为1,等分2次,区间长度为0.5,等分4次,区间长度为0.125,等分5次,区间长度为0.06250.1.6.方程|x2-2|=lgx的实数根的个数是()A.1B.2C.3
4、D.4【解题指南】本题关键是将方程的根的个数转化为两个函数图象交点的个数.【解析】选B.作出函数y=|x2-2|与y=lgx的图象如图所示,由图可见两个函数的图象有两个公共点,所以方程|x2-2|=lgx有两个实数根.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2015承德高一检测)设函数y=f(x)的图象在a,b上连续,若满足,方程f(x)=0在a,b上有实根.【解析】由根的存在性定理可得f(a)f(b)0.答案:f(a)f(b)08.马先生于两年前购买了一部手机,现在这款手机的价格已降为1000元,设这种手机每年降价20%,那么两年前这部手机的价格为.【解析】设这部手机两年前的价格为a元,则有
5、a(1-0.2)2=1000,解得a=1562.5.答案:1562.5元9.若函数f(x)=mx2-x-2只有一个零点,则实数m的值为.【解析】当m=0时,f(x)=-x-2有唯一零点-2.当m0时,f(x)=mx2-x-2有一个零点.则方程mx2-x-2=0有两个相等的实根,故=(-1)2-4m(-2)=0,解得m=-.综上知m=0或-.答案:0或-【误区警示】本题易忽视对m是否为零的讨论,而直接认为=0,导致漏解.【补偿训练】函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1的一个零点在原点,则m的值为.【解析】f(0)=2m-1=0得m=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.某
6、投资公司投资甲乙两个项目所获得的利润分别是M(亿元)和N(亿元),它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式:M=,N=t,今该公司将3亿元投资这两个项目,若设甲项目投资x亿元,投资这两个项目所获得的总利润为y亿元.(1)写出y关于x的函数表达式.(2)求总利润y的最大值.【解析】(1)y=+(3-x),x0,3.(2)令u=,则u0,y=u+(3-u2)=-u2+u+=-(u-1)2+,所以当u=1即x=1时,ymax=.11.已知二次函数f(x)=x2+(2a-1)x+1-2a.(1)判断命题:“对于任意的aR,方程f(x)=1必有实数根”的真假,并写出判断过程.(2)若y=f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点,求实数a的范围.【解析】(1)“对于任意的aR,方程f(x)=1必有实数根”是真命题.依题意:f(x)=1有实根,即x2+(2a-1)x-2a=0有实根,因为=(2a-1)2+8a=(2a+1)20对于任意的aR恒成立,即x2+(2a-1)x-2a=0必有实根,从而f(x)=1必有实根.(2)依题意:要使y=f(x)在区间(-1,0)及内各有一个零点,只须即解得:a.故实数a的取值范围为.