1、第4节 三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间0，2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间2，2 内的单调性.知 识 梳 理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数 ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，2，1，(，0)，_，(2，0).(2)余弦函数 ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，2，0，_，32，0，(2，1).32，1(，1)2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数
2、 ysin x ycos x ytan x 图象 定义域 R R _ 值域 _ _ R 最小正周期 _ _ _ xR，且 xk21，11，122奇偶性_奇函数递增区间_递减区间_无对称中心_k2，0对称轴方程_无奇函数偶函数2k2，2k22k，2kk2，k22k2，2k322k，2k(k，0)k2，0 xk 2xk常用结论与微点提醒1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.三角函数中奇函数一般可化为 yAsin x 或 yAtan x 的形式，偶函数一般可化为yAcos
3、xb 的形式.3.对于 ytan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间k2，k2(kZ)内为增函数.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)余弦函数ycos x的对称轴是y轴.()(2)正切函数ytan x在定义域内是增函数.()(3)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(4)ysin|x|是偶函数.()解析(1)余弦函数ycos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.(2)正切函数 ytan x 在每一个区间k2，k2(kZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k0时，ymaxk1；当k0时，ymaxk1.答
4、案(1)(2)(3)(4)2.(新教材必修第一册P213T3改编)下列函数中，是奇函数的是()A.y|cos x1|B.y1sin x C.y3sin(2x)D.y1tan x 解析 选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y3sin(2x)3sin 2x，所以是奇函数，选C.答案 C 3.(老教材必修 4P36T2 改编)函数 y32cos12x6 3 的最小正周期为 T，最大值为 A，则()A.T A32B.T2 A92C.T4 A92D.T2 A32 解析 T2124，A32392.答案 C4.(2017全国卷)函数 f(x)15sinx3 cosx6
5、的最大值为()A.65B.1 C.35D.15 解析 cos x6 cos2x3 sinx3，则 f(x)15sinx3 sinx3 65sinx3，函数的最大值为65.答案 A5.(2019北京卷)函数f(x)sin22x的最小正周期是_.解析 由降幂公式得f(x)sin2 2x1cos 4x212cos 4x12，所以最小正周期T242.答案 26.(2018江苏卷)已知函数 ysin(2x)22 的图象关于直线 x3对称，则 的值是_.解析 由函数 ysin(2x)22 的图象关于直线 x3对称，得 sin23 1.所以23 2k(kZ)，所以 6k(kZ)，又20，cos x120，即
6、sin x0，cos x12，解得2kx2k（kZ），32kx32k（kZ），所以 2kx32k(kZ)，所以函数的定义域为x|2kx32k，kZ.答案(1)x|x4k，且x2k，kZ(2)x|2k0)图象的一个对称中心为 M9，0，距离点 M最近的一条对称轴为直线 x518，则 _.解析(1)因为函数 f(x)asin xcos x(a 为常数，xR)的图象关于直线 x6对称，所以 f(0)f3，所以 1 32 a12，a 33，所以 g(x)sin x 33 cos x2 33 sinx6，函数 g(x)的对称轴方程为 x6k2(kZ)，即 xk3(kZ)，当 k0 时，对称轴为直线 x3
7、，所以 g(x)sin xacos x 的图象关于直线 x3对称.答案(1)C(2)3(2)函数 f(x)sin x 3cos x2sinx3，因为图象的对称中心为 M9，0，距离点 M 最近的一条对称轴为 x518，所以5189T4，即 T23.故 2T 3.规律方法 1.对于可化为 f(x)Asin(x)形式的函数，如果求 f(x)的对称轴，只需令 x2k(kZ)，求 x 即可；如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk(kZ)，求 x 即可.2.对于可化为 f(x)Acos(x)形式的函数，如果求 f(x)的对称轴，只需令 xk(kZ)，求 x；如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只
8、需令 x2k(kZ)，求 x 即可.【训练 3】(1)(角度 1)已知函数 f(x)sin(x)0，|2 的最小正周期为 4，且xR，有 f(x)f3 成立，则 f(x)图象的一个对称中心坐标是()A.23，0B.3，0C.23，0D.53，0(2)(角度 2)(2020武汉调研)设函数 f(x)sin12x 3cos12x|2 的图象关于 y轴对称，则()A.6B.6C.3D.3 解析(1)由 f(x)sin(x)的最小正周期为 4，得 12.因为 f(x)f3 恒成立，所以 f(x)maxf3，即12322k(kZ)，又|2，所以 3，故 f(x)sin12x3.令12x3k(kZ)，得
9、x2k23(kZ)，故 f(x)图象的对称中心为2k23，0(kZ)，当 k0 时，f(x)图象的对称中心坐标为23，0.(2)f(x)sin12x 3cos12x 2sin12x3，由题意可得 f(0)2sin3 2，即 sin3 1，32k(kZ)，56 k(kZ).|2，k1 时，6.答案(1)A(2)A考点四 三角函数的单调性 多维探究 角度1 求三角函数的单调区间【例 41】(1)(2020岳阳质检)函数 ysinx23，x2，2的单调递增区间是()A.53，3B.56，76C.3，2D.23，43(2)函数 f(x)tan2x3 的单调递增区间是_.解析(1)由 2k2x232k2
10、(kZ)得，4k53 x4k3(kZ)，又 x2，2，所以53 x3.故 ysinx23，x2，2的单调递增区间为53，3.故选 A.(2)由 k22x3k2(kZ)，得k2 512x0，函数 f(x)sinx4 在2，上单调递减，则 的取值范围是_.解析 由2x0 得2 4x40，kZ，得 k0，所以 12，54.答案 12，54规律方法 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【训练 4】(1)(角度 1)已知函数 f
11、(x)2sin42x，则函数 f(x)的单调递减区间为()A.38 2k，78 2k(kZ)B.82k，38 2k(kZ)C.38 k，78 k(kZ)D.8k，38 k(kZ)(2)(角度 2)(2018全国卷)若 f(x)cos xsin x 在a，a是减函数，则 a 的最大值是()A.4B.2C.34D.解析(1)函数的解析式可化为 f(x)2sin2x4.由 2k22x42k2(kZ)，得8kx38 k(kZ)，即函数 f(x)的单调递减区间为8k，38 k(kZ).(2)f(x)cos xsin x 2cosx4，由题意得 a0，故a40，解得 0a4，所以 a 的最大值是4.答案(1)D(2)A