1、提分专练(四)解直角三角形的应用|类型1|仰角、俯角问题1.2019天津如图T4-1,海面上一艘船由西向东航行,在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31,再向东继续航行30 m到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45,根据测得的数据,计算这座灯塔的高度CD(结果取整数).(参考数据:sin310.52,cos310.86,tan310.60)图T4-12.2019永州为了测量某山(如图T4-2所示)的高度,甲在山顶A测得C处的俯角为45,D处的俯角为30,乙在山下测得C,D之间的距离为400米.已知B,C,D在同一水平面的同一直线上,求山高AB.(可能用到的数据:21.414,31
2、.732)图T4-2|类型2|坡度、坡角问题3.2019潍坊自开展“全民健身运动”以来,喜欢户外步行健身的人越来越多.为方便群众步行健身,某地政府决定对一段如图T4-3所示的坡路进行改造.如图所示,改造前的斜坡AB=200米,坡度为13.将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后,斜坡AB改造为斜坡CD,其坡度为14.求斜坡CD的长.(结果保留根号)图T4-34.2019天水某地的一座人行天桥如图T4-4所示,天桥高为6米,坡面BC的坡度为11,文化墙PM在天桥底部正前方8米(PB的长)处,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为13.(参考数据:21.414,31.732)
3、(1)若新坡面坡角为,求坡角的度数;(2)有关部门规定,文化墙距天桥底部小于3米时应拆除,天桥改造后,该文化墙PM是否需要拆除?请说明理由.图T4-4|类型3|方位角问题5.2019海南图T4-5是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的北偏西60方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15方向上,码头A到小岛C的距离AC为10海里.(1)填空:BAC=度,C=度;(2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号).图T4-56.2019资阳如图T4-6,南海某海域有两艘外国渔船A,B在小岛C的正南方向同一处捕鱼.一段时间后,渔船B沿北偏东30的方向航行至小岛C的正东方向20海
4、里处.(1)求渔船B航行的距离;(2)此时,在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船,其中B渔船在点D的南偏西60方向,A渔船在点D的西南方向,我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域.请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离.(注:结果保留根号)图T4-6|类型4|实物模型类问题7.2019嘉兴某挖掘机的底座高AB=0.8米,动臂BC=1.2米,CD=1.5米,BC与CD的固定夹角BCD=140.初始位置如图T4-7,斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E,测得CDE=70(示意图).工作时如图,动臂BC会绕点B转动,当点A,B,C在同一直线上时,斗杆顶点D升至最高点(示
5、意图).(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角ABC的度数;(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米?(精确到0.1米)(参考数据:sin500.77,cos500.64,sin700.94,cos700.34,31.73)图T4-7【参考答案】1.解:根据题意,CAD=31,CBD=45,CDA=90,AB=30,在RtACD中,tanCAD=CDAD,AD=CDtan31.在RtBCD中,tanCBD=CDBD,BD=CDtan45=CD,AD=BD+AB,CDtan31=30+CD,CD=45.答:这座灯塔的高度CD约为45 m.2.解:由题意知:ACB=45,ADB=30
6、,设AB=x,则BC=x,在RtABD中,tanADB=ABBD,tan30=xx+400,33=xx+400,解得x=2003+200546.4.答:山高AB为546.4米.3.解:在RtABE中,tanABE=13,ABE=30.AB=200米,AE=12AB=100米.AC=20米,CE=100-20=80(米).在RtCDE中,tanD=14,sinD=1717.CECD=1717.CD=8017(米).答:斜坡CD的长是8017米.4.解:(1)新坡面坡角为,新坡面的坡度为13,tan=13=33,=30.(2)该文化墙PM不需要拆除.理由:作CDAB于点D,则CD=6米,新坡面的坡
7、度为13,tanCAD=CDAD=6AD=13,解得AD=63(米),坡面BC的坡度为11,CD=6米,BD=6米,AB=AD-BD=(63-6)米,又PB=8米,PA=PB-AB=8-(63-6)=14-6314-61.7323.6(米)3米,该文化墙PM不需要拆除.5.解:(1)3045解析小岛C在码头A的北偏西60方向上,BAC=30,在ABC中,ABC=90+15=105,C=180-BAC-ABC=45.(2)设BP=x海里,则在RtBCP中,CP=BP=x,在RtABP中,AP=3BP=3x,AC=10,3x+x=10,x=53-5.答:观测站B到AC的距离为(53-5)海里.6.
8、解:(1)由题意得,CAB=30,ACB=90,BC=20,AB=2BC=40海里.答:渔船B航行的距离是40海里.(2)如图,过B作BEAE于E,过D作DHAE于H,延长CB交DH于G,则四边形AEBC和四边形BEHG都是矩形,BE=GH=AC=203=203,AE=BC=20,设BG=EH=x,则AH=x+20,由题意得,BDG=60,ADH=45,DG=33x,DH=AH,203+33x=x+20,解得:x=203,BG=203,AH=20+203,BD=BG32=40,AD=2AH=202+206.答:中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里,到外国渔船A的距离是(202+206)海
9、里.7.解:(1)如图,过点C作CGAM于点G,ABAM,DEAM,ABDECG,DCG=180-CDE=110.BCG=BCD-DCG=30.ABC=180-BCG=150.动臂BC与AB的夹角ABC为150.(2)如图,过点C作CPDE于点P,过点B作BQDE于点Q,交CG于点N.在RtCPD中,DP=CDcos700.51(米),在RtBCN中,CN=BCsin601.04(米),DE=DP+PQ+QE=DP+CN+AB=2.35(米),如图,过点D作DHAM于点H,过点C作CKDH于点K.在RtCKD中,DK=CDsin501.16(米),DH=DK+KH=3.16(米),DH-DE0.8(米).斗杆顶点D的最高点比初始位置高了约0.8米.