1、江苏省徐州市铜山区大许中学2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.数列0，0，0， ，0 （ ）A既不是等差数列又不是等比数列B是等比数列不是等差数列C是等差数列不是等比数列D是等比数列又是等差数列【答案】C【解析】数列0，0，0，0，是无穷数列，从第二项开始起，每一项与它前一项的差都等于常数0，符合等差数列的定义，所以数列0，0，0，0，是等差数列，根据等比数列的定义可知，等比数列中不含有为0的项，所以数列0，0，0，0，不是等比数列，故选C
2、2. 下列不等式中与不等式同解的是（ ）ABCD【答案】D【解析】不等式等价为，即，故选：D3.已知等差数列中，则的值为（ ）A.B.C.D. 【答案】B【解析】设等差数列的公差为d，由知：又，可知：，且，。故选B4. 已知不等式：（1）（2） （3）2 ，若要同时满足不等式（1）（2）的也满足不等式（3），则有（ ）ABCD【答案】C【解析】不等式等价于，解得，则不等式解集为，不等式等价于，解得，则不等式解集为，记不等式和不等式解集的交集为A，则满足不等式的x也满足不等式，当时，恒成立，即恒成立，又当时，故选C5. 已知正项数列中，则的值为（ ）AB4C8D16【答案】B【解析】正项数列中，
3、数列为等差数列，首项为1，公差，故选B6. 若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A【解析】当n为偶数时，恒成立，转化为恒成立，即；当n为奇数时恒成立，转化为恒成立，即；综上可得a的范围为故选A7. 定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列是等积数列且，前41项的和为103，则这个数列的公积为 A. 2B. 3C. 6D. 8【答案】C【解析】因为数列是等积数列，可设其公积为k，则有，因为，前41项的和为103，所以，即，所以，解得故选：C8. 南宋数学家杨辉在详
4、解九章算法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为A. 99B. 131C. 139D. 141【答案】D【解析】所给数列为高阶等差数列，设该数列的第8项为x，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：根据图象可得：，解得，解得：故选D二、多项选择题（本大题共4小题，每
5、小题5分，共计20分在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1. 9. 已知，则下列不等式中，正确的是A. B. C. D. 【答案】AD【解析】且 ，A正确；，B错误；当且仅当，即时取等号，又， ，C错误；当且仅当时取等号，又，D正确故选AD10. 对于数列，若存在数列满足，则称数列是的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是 A. 若数列是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B. 若，则其“倒差数列”有最大值；C. 若，则其“倒差数列”有最小值；D. 若，则其“倒差数列”有最大值【答案】ACD【解析】若数列是单增数列，则，虽然有，
6、但当时，因此不一定是单增数列，A正确；B.，则，易知是递增数列，无最大值，B错；C.，则，易知是递增数列，有最小值，最小值为，C正确；D. 若，则，首先函数在上是增函数，当n为偶数时，当n为奇数时，显然是递减的，因此也是递减的，即，的奇数项中有最大值为，是数列 中的最大值D正确故选ACD11. 已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法错误的是 A. 数列的前n项和为B. 数列的通项公式为C. 数列为递增数列D. 数列为递增数列【答案】ABC【解析】由，得，则，当时，成立，时，当时，不符合当时的通项，综上可知不正确的是A、B、C故选ABC12. 若数列对任意满足，下面选项中关于数列的命题正确的是
7、 A. 可以是等差数列B. 可以是等比数列C. 可以既是等差又是等比数列D. 可以既不是等差又不是等比数列【答案】ABD【解析】数列对任意满足，或，即或，数列可以是等差数列，可以是等比数列，可以既不是等差又不是等比数列但不可能既是等差又是等比数列，因为数列不可能是常数1故选ABD三、填空题.（本大题共4题，每题5分，共20分.请同学们将答案填到答题卷上对应的位置处.）13. 若数列是公差不为0的等差数列，、成等差数列，则的值为_【答案】3【解析】依题可得，即，设数列公差为d，可得，解得，所以，故答案为314. 等差数列中，则_【答案】24【解析】，故答案为2415. 三个同学对问题“已知m，且
8、，求的最小值”提出各自的解题思路：甲：，可用基本不等式求解；乙：，可用二次函数配方法求解；丙：，可用基本不等式求解；参考上述解题思路，可求得当_时，有最小值【答案】【解析】因为，所以，所以当且仅当时，取等号，即当时，有最小值故答案为16. 定义：关于x的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则_【答案】【解析】：不等式与不等式为对偶不等式，设不等式的对应方程两个根为a、b，则不等式对应方程两个根为：，所以，即：因为，所以三、解答题（本大题共有6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 设为数列的前n项和，且若，判断
9、数列的单调性；若，求数列的前n项和【解析】，于是，故数列单调递增，18. 若数列的前n项和，求数列的通项公式若数列的前n项和，证明为等比数列【解析】解：当时，当时，；显然当时，不满足上式故数列的通项公式为；证明：由，得当时，两式相减，得，当时，又时，即为，公比的等比数列19. 已知数列的前n项和为，满足计算，猜想的一个表达式不需要证明设，数列的前n项和为，求证：【解析】因为，所以，由此整理得，于是有：，猜想：，由，于是：又因为，所以20. 已知二次函数，满足，求函数的解析式；若关于x的不等式在上有解，求实数t的取值范围；若函数的两个零点分别在区间和内，求实数m的取值范围【解析】解：由，得由，得
10、，故解得所以，的图象的对称轴方程为又，所以在区间上的最大值为5又在区间上有解，所以，所以实数t的取值范围为由题可知若的两个零点分别在区间和内，则即解得，所以实数m的取值范围为21. 已知公差大于0的等差数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式；若，求的表达式；若，存在非零常数c，使得数列是等差数列，存在，不等式成立，求k的取值范围【解析】解：因为数列是等差数列，故可得，结合，容易得，或，因为，故可得，则，解得，故故根据中所求，令，解得，故数列的前7项均为负数，从第8项开始都为正数当时，；当时，综上所述：由中所求，可知，故可得，因为存在非零常数，使得其为等差数列，故可得，即，整理得，解得，舍去故则存在，不等式成立，等价于存在，不等式成立则只需，根据对勾函数的单调性，且当时，；当时，故的最小值为则即可22. 已知函数b是非零实常数满足，且关于x的方程的解集中恰有一个元素求a，b的值；在直角坐标系中，求定点到函数图像上任意一点的距离的最小值；当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围【解析】由条件可知，即，即恰有一个元素，b是非零实常数，解得： 代入，解得：，所以，；，设图像上任意一点与定点的距离令，则令，当，即，即，解得：，此时的最小值是，恒成立恒成立，即，当时，即，恒成立，即，即，当时，即，同理可得，这与矛盾，当时，矛盾，综上可知：
