1、把 握 三 角 函 数 与 解 三 角 形 中 的 最 值 问 题微点聚焦突破 类型一 三角函数的最值 角度1 可化为“yAsin(x)B”型的最值问题【例 11】如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，扇形 AOB 的半径为 2，圆心角为23，点 M 是弧 AB 上异于 A，B 的点.(1)若点 C(1，0)，且 CM 2，求点 M 的横坐标；(2)求MAB 面积的最大值.解(1)连接 OM，依题意可得，在OCM 中，OC1，CM 2，OM2，所以 cos COM2212（2）222134，所以点 M 的横坐标为 23432.(2)设AOM，0，23，则BOM23，SMABSOAMSOBMS
2、OAB1222sin sin23 1222 322 3sin6 3，因为 0，23，所以 66，56，所以当 3时，MAB 的面积取得最大值，最大值为 3.思维升华 化为yAsin(x)B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.角度2 可化为yf(sin x)(或yf(cos x)型的最值问题【例12】函数ycos 2x2sin x的最大值为_.解析 ycos 2x2sin x2sin2x2sin x1.设 tsin x，则1t1，所以原函数可以化为 y2t22t12t12232，所以当 t12时，函数 y
3、 取得最大值为32.答案 32思维升华 可化为yf(sin x)(或yf(cos x)型三角函数的最值或值域可通过换元法转化为其他函数的最值或值域.【训练1】(1)(角度1)函数f(x)3sin x4cos x，x0，的值域为_.(2)(角度 2)若函数 f(x)cos 2xasin x 在区间6，2 上的最小值大于零，则 a 的取值范围是_.解析(1)f(x)3sin x4cos x535sin x45cos x 5sin(x)，其中 cos 35，sin 45，42.因为 0 x，所以4x0，12（a1）0a1.类型二 三角形中的最值 角度1 转化为三角函数利用三角函数的有界性求解【例 2
4、1】(2020湖北七市联考)在锐角三角形 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且cos Aacos Bb2 3sin C3a.(1)求角 B 的大小；(2)若 b2 3，求 ac 的取值范围.解(1)由已知条件，得 bcos Aacos B2 33 bsin C.由正弦定理，得 sin Bcos Acos Bsin A2 33 sin Bsin C，即 sin(AB)2 33 sin Bsin C.又在ABC 中，sin(AB)sin C0，所以 sin B 32.因为 B 是锐角，所以 B3.(2)由正弦定理，得 asin A csin C bsin B2 3324，则 a
5、4sin A，c4sin C.所以 ac4sin A4sin C4sin A4sin23 A 6sin A2 3cos A4 3sinA6.由 0A2，023 A2，得6A2，所以3A623，所以 32 sinA6 1，所以 6ac4 3.故 ac 的取值范围为(6，4 3.思维升华 本题涉及求边的取值范围，一般思路是利用正弦定理把边转化为角，利用三角函数的性质求出范围或最值.角度2 利用基本不等式求解【例22】(2019运城二模)已知点O是ABC的内心，BAC60，BC1，则BOC面积的最大值为_.解析 点 O 是ABC 的内心，BAC60，BOC180180602120，在BOC 中，由余
6、弦定理得 BC2OC2OB22OCOBcos 120，OC2OB21OCOB.又OC2OB22OCOB，OCOB13，当且仅当 OBOC 时“”成立，SOBC12OCOBsin 120 312.答案 312思维升华 解答本题的关键是注意到三角形面积公式 SABC12absin C 中的 ab，与余弦定理中的 a2b2 存在不等关系 a2b22ab，利用余弦定理沟通二者，求出 ab的最值即可.【训练 2】(1)(角度 1)如图，在ABC 中，已知 B3，AC4 3，D 为 BC 边上一点.若 AD2，SDAC2 3，求 DC 的长；若 ABAD，试求ADC 的周长的最大值.解 SDAC2 3，A
7、C4 3，AD2，12ADACsin DAC2 3，sin DAC12，B3，DACBAC323，DAC6，在ADC 中，由余弦定理得：DC2AD2AC22ADACcos 6，DC2448224 3 32 28，DC2 7.ABAD，B3，ABD 为正三角形，DAC3C，ADC23，在ADC 中，根据正弦定理，可得 ADsin C 4 3sin 23DCsin3C，AD8sin C，DC8sin3C，ADC 的周长为ADDCAC8sin C8sin3C 4 38sin C 32 cos C12sin C 4 3812sin C 32 cos C 4 38sinC3 4 3，ADC23，0C3，3C30，b0，ab4，ab2 ab，所以ab4(当且仅当ab时取等号)，由(ab)216，得a2b2162ab，所以162abc2ab，所以16c23ab，故16c212，c24，c2，故2c4，故选B.答案 B
