1、课时作业(四十九)1一个长方体其一个顶点的三个面的面积分别是，这个长方体的对角线长是()A2B3C6 D.答案D解析设长方体共一顶点的三棱长分别为a、b、c，则ab，bc，ac.解得a，b1，c.故对角线长l.2圆柱的侧面展开图是边长为6和4的矩形，则圆柱的全面积为()A6(43) B8(31)C6(43)或8(31) D6(41)或8(32)答案C解析分清哪个为母线，哪个为底面圆周长，应分类讨论3已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于()A2 B.C. D.答案D解析由题意知VR3，R2，外接球直径为4.即正方体的体对角线，设棱长为a，则体对角线la4，a.4(2012新课标)平面截
2、球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为()A. B4C4 D6答案B解析设球O的半径为R，则R，故V球R34.5(2012北京)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A286 B306C5612 D6012答案B解析根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图(如图所示)，此几何体为一个底面为直角三角形，高为4的三棱锥，因此表面积为S(23)4454(23)2306.6(2012湖北)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B3C. D6答案B解析由三视图画出几何体，如图所示，该几何体的体积V23.7某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥
3、的体积为()A4 B8C12 D24答案D解析该几何体的高h2，V6224.故选A.8(2010福建)如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是()A. B.C. D.答案A解析由几何体的三视图可知该几何体是一个圆锥的一半，其底面半径为1，高为，V12.故选A.9将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面)，所得几何体的表面积为()A7 B6C3 D9答案A解析原正四面体的表面积为49，每截去一个小正四面体，表面减小三个小正三角形，增加一个小正三角形，故表面积减少422，故所得几何体的表面积为7.故选A.
4、10某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()A8 B6C10 D8答案C解析由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,6，8,10，所以面积最大的是10，故选择C.11已知一种救灾帐篷的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：m)，可得每个这种帐篷的用料是()A(194) m2 B(272) m2C27 m2 D(352) m2答案A解析由三视图可知，这种救灾帐篷是一个长方体与一个直三棱柱构成的组合体，如图所示，则每个这种帐篷的用料是2(42)1.5220.524(194) m2.12圆台上下底面积分别为、4，侧面积为6，这个圆台的体积为_答案13四棱锥
5、PABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图所示，则四棱锥PABCD的表面积为_答案(2)a2解析依题意得知，在该四棱锥中，PA底面ABCD，PAa，底面四边形ABCD是边长为a的正方形，因此有PDCD，PBBC，PBPDa，所以该四棱锥的表面积等于a22a22aa(2)a2.14. 如图所示，在长方体ABCDABCD中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为_解析方法一设ABa，ADb，DDc，则长方体ABCDABCD的体积Vabc.又SADDbc，且三棱锥CADD的高为CDa.V三棱锥CADDSADDCDabc.则剩余部分的几何体积V剩ab
6、cabcabc.故V棱锥CADDV剩abcabc15.方法二已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADDABCCB，设它的底面ADDA面积为S，高为h，则它的体积为VSh.而棱锥CADD的底面面积为S，高是h，因此，棱锥CADD的体积VCADDShSh.余下的体积是ShShSh.所以棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为ShSh15.15已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为_答案解析因为扇形弧长为2，所以圆锥母线长为3，高为2，所求体积V122.16已知A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)，D(0,3)，四边形ABCD绕y轴旋转21
7、0，则所得几何体的体积为_答案解析如图，V圆锥222.V圆台1(222112).四边形ABCD绕y轴旋转360所得几何体的体积为5.绕y轴旋转210所得几何体的体积为5.17. (2012江苏)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，AA12 cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为_cm3.答案6解析由已知可得VABB1D1DVA1D1B1ADB VA1B1C1D1ABCD 3326(cm)3.18(2012天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案38解析由几何体的三视图可知：该几何体的顶部为平放的直四棱柱，底部为长、宽、高分别为4 m,3
8、 m,2 m的长方体故组合体的体积V342(12)1430 m3.19(2012辽宁)如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABACAA，点M，N分别为AB和BC的中点(1)证明：MN平面AACC；(2)求三棱锥AMNC的体积(锥体体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高)解析(1)方法一连接AB，AC，由已知BAC90，ABAC，三棱柱ABCABC为直三棱柱，所以M为AB的中点又因为N为BC的中点，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，因此MN平面AACC.方法二取AB中点P，连接MP，NP，AB.因为M，N分别为AB与BC的中点，所以MPAA，PNAC.所以MP平面AACC
9、，PN平面AACC.又MPNPP，因此平面MPN平面AACC.又因MN平面MPN，因此MN平面AACC.(2)方法一连接BN，由题意ANBC，平面ABC平面BBCCBC，所以AN平面NBC.又ANBC1，故VAMNCVNAMCVNABCVANBC.方法二VAMNCVANBCVMNBCVANBC.20已知六棱锥PABCDEF，其中底面为正六边形，点P在底面上的投影为正六边形中心，底面边长为2 cm，侧棱长为3 cm，求六棱锥PABCDEF的体积答案2解析如图，O为正六边形中心，则PO为六棱锥的高，G为CD中点，则PG为六棱锥的斜高，由已知得CD2 cm，则OG，CG1.在RtPCG中，PC3，C
10、G1，则PG2.在RtPOG中，PG2，OG，则PO.(或直接用：PO)VPABCDEFSABCDEFPO6222.1(2011北京文)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A32B1616C48 D1632答案B解析该空间几何体是底面边长为4、高为2的正四棱锥，这个四棱锥的斜高为2，故其表面积是444421616.2(2011广东文)如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为()A4B4C2 D2答案C解析由题意知该几何体为如图所示的四棱锥，底面为菱形，且AC2，BD2，高OP3，其体积V(22)32.3(2011
11、湖南文)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A942 B3618C.12 D.18答案D解析这个空间几何体上半部分是一个半径为的球，下半部分是一个底面正方形边长为3、高为2的正四棱柱，故其体积为()333218.4(2010新课标全国)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 B.a2C. a2 D5a2答案B解析如图，O1，O分别为上、下底面的中心，D为O1O的中点，则DB为球的半径，有rDB.S表4r24a2.5半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为()A.6 B.2C2 D512答案B解析方法一作过正方体对
12、角面的截面，如图，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CCa，OCa.在RtCCO中，由勾股定理，得CC2OC2OC2.即a2(a)2R2，Ra.V半球R3(a)3a3，V正方体a3.因此V半球V正方体a3a32.方法二将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径，设原正方体棱长为a，球的半径是R，则根据长方体的对角线性质，得(2R)2a2a2(2a)2.即4R26a2，Ra.从而V半球R3(a)3a3，V正方体a3.因此V半球V正方体a3a32.6. (2012山东)如图，正方体ABCDA1
13、B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为_答案解析由正方体的性质知B1C平面AA1D1D，E到平面AA1D1D的距离等于C到平面AA1D1D的距离，于是三棱锥ADED1的体积即为三棱锥EAD1D的体积也是三棱锥CAD1D的体积SAD1D，VCAD1DSAD1DCD1.7(2012湖北)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_答案12解析该几何体是由3个圆柱构成的几何体，故体积V222112412.8如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是_图
14、1图2答案a解析如图1中容器内液面的高度为h，液体的体积为V，则VSABCh，又如题图2中液体组成了一个直四棱柱，其底面积为SABC，高度为2a，则VSABC2a.ha，故填a.9. 右图所示为某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是_思路先根据三视图确定几何体的形状，并确定其几何度量，根据几何体的形状灵活选择求解方法解析由俯视图可知，几何体的底面是一个四边形，结合正视图与侧视图可知，该几何体是由底面半径为1，母线长为2的两个半圆锥组成的一个组合体，其形状如右图所示该几何体的表面由两个半圆锥所在圆锥侧面积的一半以及两个圆锥的轴截面构成，因
15、为这两个半圆锥的底面半径和母线长都相等，故该几何体的表面积就等于一个圆锥的侧面积与圆锥轴截面面积的两倍之和其中圆锥的侧面积S1122；圆锥的轴截面PAB中，AB2，PO，故其面积S2ABOP2.所以该几何体的表面积为SS12S222.故填22.点评本题的难点在于根据几何体的三视图确定空间几何体的结构特征，解决此类问题应从俯视图入手，先确定几何体的底面形状，然后根据主视图与侧视图确定其顶点或上底面，并根据三视图中的虚线逐步调整该题是一个组合体的三视图，抓住侧视图的特征是确定组合体中简单几何体形状的关键，由三视图求解几何体体积、表面积特别要注意侧视图中的相关数据的转化10要做一个圆锥形漏斗，其母线
16、长为20 cm，要使体积最大，则高应为_答案解析设圆锥底面半径为r，高为h，则h2r2202，r，圆锥体积Vr2h(400h2)h(400hh3)，令V(4003h2)0得h，当h0；当h时，V0，h时，体积最大11如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示(1)求证：BC平面ACD；(2)求几何体DABC的体积解析(1)证明在图1中，可得ACBC2，从而AC2BC2AB2，故ACBC，取AC的中点O，连接DO，则DOAC.又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，DO平面ADC，从而DO平面ABC，DOBC.又ACBC，ACDOO，BC平面ACD.(2)解由(1)知BC为三棱锥BACD的高，BC2，SACD2，VBACDSACDBC22.由等体积性可知，几何体DABC的体积为.