1、第3节 等比数列及其前n项和考试要求 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.知 识 梳 理 1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于_非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：anan1_(n2，q 为非零常数).(2)如果三个数 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的_，其中 G_.同一个q等比中项 ab2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式
2、为 an_；通项公式的推广：anamqnm.(2)等比数列的前 n 项和公式：当 q1 时，Snna1；当 q1 时，Sn_a1anq1q.a1qn1a1（1qn）1q 3.等比数列的性质 已知an是等比数列，Sn是数列an的前n项和.(1)若klmn(k，l，m，nN*)，则有akal_.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为_.(3)当q1，或q1且n为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比数列，其公比为_.amanqmqn常用结论与微点提醒1.若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则数列can(c0)，|an|，a2n，1a
3、n，anbn，anbn 也是等比数列.2.由 an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证 a10.3.在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q1 与 q1 分类讨论，防止因忽略 q1 这一特殊情形而导致解题失误.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)等比数列公比 q 是一个常数，它可以是任意实数.()(2)三个数 a，b，c 成等比数列的充要条件是 b2ac.()(3)数列an的通项公式是 anan，则其前 n 项和为 Sna（1an）1a.()(4)数列an为等比数列，则 S4，S8S4，S12S8成等比数列.()解析(1)在等比数列中，
4、q0.(2)若a0，b0，c0满足b2ac，但a，b，c不成等比数列.(3)当a1时，Snna.(4)若a11，q1，则S40，S8S40，S12S80，不成等比数列.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材必修5P53T1改编)已知an是等比数列，a416，公比q2，则a1等于()A.2 B.2 C.12D.12解析 由题意，得a4a1q38a116，解得a12.答案 A 3.(老教材必修 5P61T1 改编)等比数列an的首项 a11，前 n 项和为 Sn，若S10S5 3132，则an的通项公式 an_.解析 因为S10S5 3132，所以S10S5S5 132，因为 S5，S10S5，
5、S15S10 成等比数列，且公比为 q5，所以 q5 132，q12，则 an12n1.答案 12n14.(2020晋冀鲁豫名校联考)公比不为1的等比数列an满足a5a6a4a718，若a1am9，则m的值为()A.8B.9C.10D.11 解析 由题意得，2a5a618，a5a69，a1ama5a69，m10.答案 C 5.(2018北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2.若第一个单音的频率
6、为 f，则第八个单音的频率为()A.3 2fB.3 22fC.12 25fD.12 27f 解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为 f，公比为12 2的等比数列，设此数列为an，则 a812 27f，即第八个单音的频率为12 27f.答案 D 6.(2019全国卷)设Sn为等比数列an的前n项和.若a113，a24a6，则S5_.解析 由 a24a6得(a1q3)2a1q5，整理得 q1a13.所以 S5a1（1q5）1q13（135）131213.答案 1213考点一 等比数列基本量的运算【例1】(1)(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1
7、，则a3()A.16B.8 C.4D.2(2)(2020郴州一模)在数列an中，满足 a12，a2nan1an1(n2，nN*)，Sn为an的前 n 项和，若 a664，则 S7的值为()A.126 B.256 C.255 D.254 解析(1)设等比数列an的公比为q，由a53a34a1得q43q24，得q24，因为数列an的各项均为正数，所以q2，又a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(1248)15，所以a11，所以a3a1q24.(2)数列an中，满足 a2nan1an1(n2)，则数列an为等比数列，设其公比为 q，又由 a12，a664，得 q5a6a132，则 q2，则 S7
8、a1（127）12282254.答案(1)C(2)D 规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q1 时，an的前 n 项和Snna1；当 q1 时，an的前 n 项和 Sna1（1qn）1qa1anq1q.【训练1】(1)等比数列an中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S38a13a2，a416，则S4()A.9B.15C.18D.30(2)设等比数列an满足a1a21，a1a33，则a4_.解析(1)设数列
9、an的公比为 q(q0)，则2S32（a1a1qa1q2）8a13a1q，a1q316，解得 q2，a12，所以 S42（124）1230.(2)由an为等比数列，设公比为q.由a1a21，a1a33，得a1a1q1，a1a1q23，显然q1，a10，得 1q3，即 q2，代入式可得 a11，所以a4a1q31(2)38.答案(1)D(2)8 考点二 等比数列的判定与证明【例2】设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*).(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列.(1)解 因为a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，所以当n1时，
10、a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，所以a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，所以a38.综上，a24，a38.(2)证明 因为a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，所以当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1).，得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.所以Sn2Sn120，即Sn2Sn12，所以Sn22(Sn12).因为 S1240，所以 Sn120，所以 Sn2Sn122，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列.规律方法 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他
11、方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n1的情形进行验证.【训练2】(2019长治二模)Sn为等比数列an的前n项和，已知a49a2，S313，且公比q0.(1)求an及Sn；(2)是否存在常数，使得数列Sn是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.解(1)易知 q1，由题意可得a1q39a1q，a1（1q3）1q13，q0，解得 a11，q3，an3n1，Sn13n13 3n12.(2)假设存在常数，使得数列Sn是等比数列，S11，S24，S313，(4)2(1)(13)，解得 1
12、2，此时 Sn12123n，则Sn112Sn12123n1123n 3，故存在常数 12，使得数列Sn12是以32为首项，3 为公比的等比数列.考点三 等比数列的性质及应用【例3】(1)(2020洛阳统考)等比数列an的各项均为正数，且a10a11a8a1364，则log2a1log2a2log2a20_.(2)(一题多解)(2019西安模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn，若S1020，S30140，则S40()A.280B.300C.320D.340 解析(1)由等比数列的性质可得a10a11a8a13，所以a10a11a8a132a10a1164，所以a10a1132，所以 log2a
13、1log2a2log2a20log2(a1a2a3a20)log2(a1a20)(a2a19)(a3a18)(a10a11)log2(a10a11)10log2321050.(2)法一 因为S10200，所以q1，由等比数列性质得S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2020)220(140S20)，解得S2060，S20S10S106020202，S40S30S1023，S40S30S1023300.故选 B.法二 设等比数列an的公比为q，由题意易知q1，所以a1（1q10）1q20，a1（1q30）1q140，两式相除
14、得1q301q107，化简得 q20q1060，解得 q102，所以S40S30S10q30140160300，故选B.答案(1)50(2)B 规律方法 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速度.2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.【训练3】(1)(2020贵阳质检)在等比数列an中，若a3，a7是方程x24x20的两根，则a5的值是()A.2 B.2C.2D.2(2)(一题多解)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若S6S
15、33，则S9S6_.解析(1)根据根与系数之间的关系得 a3a74，a3a72，由 a3a740，所以 a30，a70，即 a50，由 a3a7a25，得 a5 a3a7 2.(2)法一 由等比数列的性质 S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，由已知得 S63S3，S6S3S3S9S6S6S3，即 S9S64S3，S97S3，S9S673.法二 因为an为等比数列，由S6S33，设 S63a，S3a(a0)，所以 S3，S6S3，S9S6为等比数列，即 a，2a，S9S6成等比数列，所以 S9S64a，解得 S97a，所以S9S67a3a73.答案(1)B(2)73数学运算、数学抽象等差(比)
16、数列性质的应用 1.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的一种素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题；掌握数列运算法则；探究运算思路；求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列an中，Sn为an的前n项和：(1)S2n1(2n1)an；(2)设an的项数为2n，公差为d，则S偶S奇nd.【例1】(1)等差数列an的前n项和为Sn，已
17、知am1am1a0，S2m138，则m_.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则数列的公差d_.解析(1)由 am1am1a2m0，得 2ama2m0，解得 am0 或 2.又 S2m1（2m1）（a1a2m1）2(2m1)am38，显然可得 am0，所以 am2.代入上式可得 2m119，解得 m10.(2)设等差数列的前 12 项中奇数项和为 S 奇，偶数项的和为 S 偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得S奇S偶354，S偶S奇3227，解得S偶192，S奇162.又 S偶S奇6d，所以 d19216265.答案(1)10(2)5类型2
18、 等比数列两个性质的应用 在等比数列an中，(1)若mnpq(m，n，p，qN*)，则anamapaq；(2)当公比q1时，Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列(nN*).【例2】(1)等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于()A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列an中，前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A.18B.18C.578D.558解析(1)数列lg an的前8项和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4lg(a4a5)4lg(25)44.(2)因为 a7a8a9S9S6，且 S3，S6S3，S9
19、S6 也成等比数列，即 8，1，S9S6 成等比数列，所以 8(S9S6)1，即 S9S618，所以 a7a8a918.答案(1)C(2)A 类型3 等比数列前n项和Sn相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列an中，公比为q.若共有2n项，则S偶S奇q.(2)分段求和：SnmSnqnSm(q为公比).【例3】(1)已知等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.(2)已知an是首项为 1 的等比数列，Sn是an的前 n 项和，且 9S3S6，则数列1an 的前 5 项和为_.解析(1)由题意，得S奇S偶240，S奇S偶80，解得S奇80，S偶160，所以 qS偶S奇16080 2.(2)设等比数列an的公比 q，易知 S30.则 S6S3S3q39S3，所以 q38，q2.所以数列1an 是首项为 1，公比为12的等比数列，其前 5 项和为11251123116.答案(1)2(2)3116