1、2016-2017学年甘肃省嘉峪关市酒钢三中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1直线l： x+y+3=0的倾斜角为（）A30B60C120D1502长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A25B50C125D753设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A若m，n，lm，ln，则lB若m，n，ln，则lmC若lm，m，n，则lnD若lm，ln，则nm4如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰
2、梯形，那么原平面图形的面积为（）A2+BCD1+5直线l将圆x2+y22x4y=0平分，且与直线x+2y=0平行，直线l的方程为（）A2xy=0B2xy2=0Cx+2y3=0Dx+2y5=06圆x2+y26x=0与圆x2+y2+8y+12=0的位置关系是（）A相离B相交C外切D内切7设P是ABC所在平面外一点，H是P在内的射影，且PA，PB，PC与所成的角相等，则H是ABC的（）A内心B外心C垂心D重心8直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC=90，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A30B45C60D909由直线y=x+1上的一点向圆（x3）2+y2=1引切线，则切
3、线长的最小值为（）A1B2CD310如图，点E为正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（）ABCD11如图，若是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EHA1D1，则下列结论中不正确的是（）AEHFGB四边形EFGH是矩形C是棱柱D是棱台12若关于x的方程kx3+2k=0有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知点A（x，1，2
4、）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是14两平行直线x+3y4=0与2x+6y9=0的距离是15已知线段AB的端点B的坐标是（8，6），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，则线段AB的中点P的轨迹方程为16自点（3，3）发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线L所在直线与圆x2+y24x4y+7=0相切，则反射光线L所在直线方程为三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：（）A1C平面BDE；（）平面A1AC平面BDE18ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直
5、线的方程为x+2y4=0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y3=0（1）求直线AB的方程，并把它化为一般式；（2）求直线BC的方程，并把它化为一般式19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，AB=AC，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，并说明理由；（2）证明：直线l平面ADD1A120圆C：（x1）2+（y2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）（1）证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时
6、m的值21如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC底面ABCD，且PB=PC=（）求证：ABCP；（）求点B到平面PAD的距离；（）设面PAD与面PBC的交线为l，求二面角AlB的大小22圆M：x2+y24x2y+4=0（1）若圆M的切线在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍，求切线的方程；（2）从圆外一点P（a，b），向该圆引切线PA，切点为A，且PA=PO，O为坐标原点，求证：以PM为直径的圆过异于M的定点，并求该定点的坐标2016-2017学年甘肃省嘉峪关市酒钢三中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每
7、小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1直线l： x+y+3=0的倾斜角为（）A30B60C120D150【考点】直线的倾斜角【分析】由题意可得，直线的斜率tan=，再由0180，可得 的值【解答】解：由于直线l： x+y+3=0的倾斜角为，则直线的斜率tan=，再由0180，可得 =120，故选C2长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A25B50C125D75【考点】球的体积和表面积【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积【解答】解：长方体的一个顶点上的三条
8、棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为： =5，所以球的半径为：；则这个球的表面积是： =50故选：B3设是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A若m，n，lm，ln，则lB若m，n，ln，则lmC若lm，m，n，则lnD若lm，ln，则nm【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系【分析】A、根据线面垂直的判定，可判断；B、选用正方体模型，可得l，m平行、相交、异面都有可能；C、由垂直于同一平面的两直线平行得mn，再根据平行线的传递性，即可得
9、ln；D、n、m平行、相交、异面均有可能【解答】解：对于A，根据线面垂直的判定，当m，n相交时，结论成立，故A不正确；对于B，m，n，则nm，ln，可以选用正方体模型，可得l，m平行、相交、异面都有可能，如图所示，故B不正确；对于C，由垂直于同一平面的两直线平行得mn，再根据平行线的传递性，即可得ln，故C正确；对于D，lm，ln，则n、m平行、相交、异面均有可能，故D不正确故选C4如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（）A2+BCD1+【考点】平面图形的直观图【分析】根据斜二侧画法画平面图形的直观图的步骤，判断平面图形为直角梯形，且
10、直角腰长为2，上底边长为1，再求出下底边长，代入梯形的面积公式计算【解答】解：平面图形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，梯形的下底边长为1+，平面图形的面积S=2=2+故选：A5直线l将圆x2+y22x4y=0平分，且与直线x+2y=0平行，直线l的方程为（）A2xy=0B2xy2=0Cx+2y3=0Dx+2y5=0【考点】直线与圆的位置关系【分析】设出与已知直线平行的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可【解答】解：设与直线x+2y=0平行的直线方程：x+2y+b=0，圆C：x2+y22x4y=0化为（x1）2+（y
11、2）2=5，圆心坐标（1，2）因为直线平分圆，圆心在直线x+2y+b=0，所以1+4+b=0，解得b=5，故所求直线方程为x+2y5=0故选D6圆x2+y26x=0与圆x2+y2+8y+12=0的位置关系是（）A相离B相交C外切D内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距MN等于两圆的半径之和，可得两圆相外切【解答】解：圆x2+y26x=0 即（x3）2+y2=9，表示以M（3，0）为圆心、半径等于3的圆圆x2+y2+8y+12=0即 x2+（y+4）2=4，表示以N（0，4）为圆心、半径等于2的圆由于两圆的圆心距MN=5=2+3，故
12、MN等于它们的半径之和，故两圆相外切，故选：C7设P是ABC所在平面外一点，H是P在内的射影，且PA，PB，PC与所成的角相等，则H是ABC的（）A内心B外心C垂心D重心【考点】直线与平面所成的角；三角形五心【分析】根据PA，PB，PC与所成的角相等，H是P在内的射影，可得HA=HB=HC，从而可得结论【解答】解：PA，PB，PC与所成的角相等，H是P在内的射影，HA=HB=HCH为三角形的外心故选：B8直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC=90，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A30B45C60D90【考点】异面直线及其所成的角【分析】延长CA到D，根据异面直线
13、所成角的定义可知DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，DA1B=60故选C9由直线y=x+1上的一点向圆（x3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A1B2CD3【考点】圆的切线方程【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值【解答】解：切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d=，圆的半径
14、为1，故切线长的最小值为，故选C10如图，点E为正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（）ABCD【考点】棱柱的结构特征【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图【解答】解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C故选：C11如图，若是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EHA1D1，则下列结论中不正确的是（）AEHFGB四边形EFGH是矩
15、形C是棱柱D是棱台【考点】直线与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平行线等分线段定理【分析】根据直线与平面平行的性质定理可知EHFG，则EHFGB1C1，从而是棱柱，因为A1D1平面ABB1A1，EHA1D1，则EF平面ABB1A1，又EF平面ABB1A1，故EHEF，从而四边形EFGH是矩形【解答】解：因为EHA1D1，A1D1B1C1，所以EHB1C1，又EH平面BCC1B1，平面EFGH平面BCC1B1=FG，所以EH平面BCB1C1，又EH平面EFGH，平面EFGH平面BCB1C1=FG，所以EHFG，故EHFGB1C1，所以选项A、C正确；因为A1
16、D1平面ABB1A1，EHA1D1，所以EH平面ABB1A1，又EF平面ABB1A1，故EHEF，所以选项B也正确，故选D12若关于x的方程kx3+2k=0有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（）ABCD【考点】直线与圆相交的性质；二次函数的图象【分析】先将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况，再用数形结合，先求出相切时的斜率，再得到有两个交点的情况【解答】解：将方程转化为：半圆，与直线y=kx+32k有两个不同交点当直线与半圆相切时，有k=半圆与直线y=kx+32k有两个不同交点时直线y=kx+32k=k（x2）+3，一定过（2，3），由图象知直线过（2，0）时直线的斜率
17、k取最大值为k故选D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是6或2【考点】空间两点间的距离公式【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可【解答】解：因为点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，所以|AB|=2，解得x=6或x=2，则实数x的值是6或2故答案为：6或214两平行直线x+3y4=0与2x+6y9=0的距离是【考点】两条平行直线间的距离【分析】在一条直线上任取一点，求出这点到另一条直线的距离即为两平行线的距离【解答】解：由直线x+3y4=0取一点A，令y=0得到x=4，即A（4，
18、0），则两平行直线的距离等于A到直线2x+6y9=0的距离d=故答案为：15已知线段AB的端点B的坐标是（8，6），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，则线段AB的中点P的轨迹方程为（x）2+（y3）2=1【考点】轨迹方程【分析】设出A和M的坐标，由中点坐标公式把A的坐标用M的坐标表示，然后代入圆的方程即可得到答案【解答】解：设A（x1，y1），线段AB的中点P为（x，y）则x1=2x8，y1=2y6，端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，（2x7）2+（2y6）2=4线段AB的中点M的轨迹方程是：（x）2+（y3）2=1故答案为：（x）2+（y3）2=116自点（3，3）发出的光线射到
19、x轴上，被x轴反射，其反射光线L所在直线与圆x2+y24x4y+7=0相切，则反射光线L所在直线方程为4x3y+3=0或3x4y3=0【考点】待定系数法求直线方程；直线与圆的位置关系【分析】化简圆的方程为标准方程，求出关于x轴对称的圆的方程，设l的斜率为k，利用相切求出k的值即可得反射光线所在的直线方程【解答】解：如图示：根据对称关系，首先求出点A的对称点A的坐标为（3，3），其次设过A的圆C的切线方程为y=k（x+3）3根据d=1，即求出圆C的切线的斜率为k=或k=，进一步求出反射光线所在的直线的方程为：4x3y+3=0或3x4y3=0，故答案为：4x3y+3=0或3x4y3=0三、解答题（
20、本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：（）A1C平面BDE；（）平面A1AC平面BDE【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（）连接AC交BD于O，连接EO，A1AC中利用中位线，得EOA1C再结合线面平行的判定定理，可得A1C平面BDE；（II）根据正方体的侧棱垂直于底面，结合线面垂直的定义，得到AA1BD再结合正方形的对角线互相垂直，得到ACBD，从而得到BD平面A1AC，最后利用面面垂直的判定定理，可以证出平面A1AC平面BDE【解答】证明：（）连接AC交BD于O，连接EO
21、，E为AA1的中点，O为AC的中点EO为A1AC的中位线EOA1C又EO平面BDE，A1C平面BDEA1C平面BDE；（）AA1平面ABCD，BD平面ABCDAA1BD又四边形ABCD是正方形ACBD，AA1AC=A，AA1、AC平面A1ACBD平面A1AC又BD平面BDE平面A1AC平面BDE18ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y4=0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y3=0（1）求直线AB的方程，并把它化为一般式；（2）求直线BC的方程，并把它化为一般式【考点】待定系数法求直线方程；直线的一般式方程【分析】（1）利用点斜式，求直线AB的方程，并把它化
22、为一般式；（2）求出B，C的坐标，利用两点式求直线BC的方程，并把它化为一般式【解答】解：（1）由已知得直线AB的斜率为2，AB边所在的直线方程为y1=2（x0），即2xy+1=0（2）由得x=，y=2，即直线AB与直线BE的交点为B（，2）设C（m，n），则由已知条件得，解得m=2，n=1，C（2，1）BC的方程为：2x+3y7=019如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，AB=AC，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，并说明理由；（2）证明：直线l平面ADD1A1【考点】直线与平
23、面垂直的判定；棱柱的结构特征【分析】（1）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行利用线面平行的判定定理即可证明（2）在ABC中，由AB=AC，D是线段AC的中点，可得ADBC，lAD又AA1底面ABC，可得AA1l即可证明【解答】（1）解：在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行理由如下：由于直线l不在平面A1BC内，lBC，BC平面A1BC，故直线l与平面A1BC平行（2）证明：在ABC中，AB=AC，D是线段AC的中点，ADBC，又lBC，lAD又AA1底面ABC，AA1l而AA1AD=A，直线l平面ADD1A120圆C：（x1）2+（y2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y
24、7m4=0（mR）（1）证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）判断直线l是否过定点，可将（2m+1）x+（m+1）y7m4=0，mR转化为（x+y4）+m（2x+y7）=0，利用，即可确定所过的定点A（3，1）；再计算|AC|，与圆的半径R=比较，判断l与圆的位置关系；（2）弦长最小时，lAC，由kAC=，得直线l的斜率，从而由点斜式可求得l的方程【解答】（1）证明：由（2m+1）x+（m+1）y7m4=0，mR得：（x+y4）+m（2x+y7）=0，mR，得x=3，y=1，故l恒过定点A（
25、3，1）；又圆心C（1，2），|AC|=5（半径）点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交（2）解：弦长的一半、该弦弦心距、圆的半径构成一个直角三角形，当lAC（此时该弦弦心距最大），直线l被圆C截得的弦长最小，kAC=，直线l的斜率kl=2，由点斜式可得l的方程为2xy5=021如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC底面ABCD，且PB=PC=（）求证：ABCP；（）求点B到平面PAD的距离；（）设面PAD与面PBC的交线为l，求二面角AlB的大小【考点】用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法【分析】（）利用面面垂直的性质证明A
26、B平面PBC，从而可证ABCP；（）取BC中点O，再取AD中点M，过点O作OHPM，则OH面ADP，利用等面积，即可求点B到平面PAD的距离；（）证明MPO就是二面角AlB的平面角，从而可求二面角AlB的大小【解答】（）证明：底面ABCD是正方形，ABBC，又平面PBC底面ABCD，平面PBC平面ABCD=BCAB平面PBC又PC平面PBCABCP （）解：BCAD，BC面PAD，AD面PAD，BC面PAD取BC中点O，再取AD中点MADMO，ADMP，MOMP=MAD面MOP，AD面ADP面ADP面MOP过点O作OHPM，则OH面ADP在RtMPO中，由OHPM=POMO，可得OH=点B到平
27、面PAD的距离为 （）解：BCAD，BC面PAD，AD面PAD，BC面PAD面PAD面PBC=l，BC面PBCBClOPl，MPlMPO就是二面角AlB的平面角tanMPO=1MPO=45二面角AlB的大小为4522圆M：x2+y24x2y+4=0（1）若圆M的切线在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍，求切线的方程；（2）从圆外一点P（a，b），向该圆引切线PA，切点为A，且PA=PO，O为坐标原点，求证：以PM为直径的圆过异于M的定点，并求该定点的坐标【考点】直线和圆的方程的应用；圆的切线方程【分析】首先对切线分两种情况讨论，过原点时与不过原点时然后分别设出直线，根据切线在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍建立等式，分别求出切线方程根据PA2=PO2，得到a，b的关系式2a+b=2，然后表示出以PM为直径的圆方程通过对该圆的方程的分析，求出其通过的定点即可【解答】解：（1）当切线过原点时，设切线为y=kx，由得（舍）当切线不过原点时，设切线为即x+2y=2a，由得6，所以所求的切线方程为（2）由条件PA2=PO2，得（a2）2+（b1）21=a2+b2得2a+b=2以PM为直径的圆方程为x2+y2（2+a）x（b+1）y+b+2a=012x2+y2（2+a）x（32a）y+2=0所以异于M的定点为2017年3月5日