1、浙江省丽水四校2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题一、选择题（本大题共12小题）1. 圆x2+y2+2x-4y=0的半径为（）A. 3B. C. D. 52. 椭圆+=1（0m4）的离心率为，则m的值为（）A. 1B. C. 2D. 3. 经过点（1，-3），倾斜角是150的直线方程是（）A. B. C. D. 4. 圆O1：x2+y2=1与圆O2：x2+y2-2x-2y+3=0的位置关系是（）A. 外离B. 相交C. 内切D. 外切5. 若直线和直线平行,则m的值为A. 1B. C. 1或D. 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D. 7.
2、已知抛物线C：y2=4x的焦点为F和准线为l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且=-2，则|AB|=（）A. 3B. 6C. 9D. 128. 已知直线ymx+3m和曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D. 9. 已知实数满足不等式组，且的最大值是最小值的2倍，则（ ）A. B. C. D. 10. 已知双曲线-=1（a0，b0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|=2|PF2|，若sinF1PF2=，则该双曲线的离心率等于（）A. B. 2C. 或2D. 或11. 在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx-y+4=0与直线l
3、2：x+ky-3=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线4x-3y+10=0的距离的最大值为（）A. 2B. C. D. 12. 已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且|F1F2|=4|PF2|，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2-e1的取值范围是（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7小题）13. 双曲线-=1的渐近线方程是_，实轴长为_14. 已知实数x，y满足，则目标函数z=3x+y的最小值是_，最大值是_15. 已知直线l1：2x-y+1=0与l2：x-2y+5=0相交于点P，则点P的坐标为_，经过点P且垂直于直线
4、3x+4y-5=0的直线方程为_16. 当直线l：kx-y+1-3k=0被圆x2+y2=16所截得的弦长最短时，k=_17. 已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线方程为2x3y=0，焦距为2，则双曲线C的标准方程为_18. 在平面直角坐标系xoy中，点A（1，0），B（4，0），若在曲线C：x2-2ax+y2-4ay+5a2-9=0上存在点P使得|PB|=2|PA|，则实数a的取值范围为_19. 过椭圆+=1的右焦点F作斜率为k的直线l与椭圆相交于A，B两点，若=2，则k=_三、解答题（本大题共4小题）20. 已知直线y=ax+1和抛物线y2=4x相交于不同的A，B两点（）若a=-
5、2，求弦长|AB|；（）若以AB为直径的圆经过原点O，求实数a的值21. 已知直线l：y=kx+m与椭圆+=1（ab0）恰有一个公共点P，l与圆x2+y2=a2相交于A，B两点（）求m（用a，b，k表示）；（）当k=-时，AOB的面积的最大值为a2，求椭圆的离心率22. 已知抛物线E：y2=2px（p0），过其焦点F的直线与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，满足，y1y2=-4（1）求抛物线E的方程；（2）已知点C的坐标为（-2，0），记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，求的最小值23. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P（1，）为椭圆上一点（1）求椭圆
6、C的标准方程；（2）如图，过点C（0，1）且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1=2k2，求直线l斜率的值答案和解析1.【答案】C【解析】解：圆x2+y2+2x-4y=0的半径：r=故选：C利用圆的一般方程的性质求解本题考查圆的直径的求法，是基础题，解题时要认真审题2.【答案】C【解析】解：椭圆=1（0m4）的离心率为，可得，解得m=2故选：C利用椭圆方程，结合离心率公式求解即可本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查3.【答案】B【解析】解：直线的倾斜角为150，所求直线的斜率k=tan150=-，又直线过点（1，-3），所求直线
7、方程为y+3=（x-1），即故选：B由直线的倾斜角求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程求解本题考查直线的倾斜角与直线的斜率的关系，考查直线的点斜式方程，是基础题4.【答案】D【解析】解：圆O1：x2+y2=1的圆心坐标为（0，0），半径为1；化圆O2：x2+y2-2x-2y+3=0为，则圆O2的圆心坐标为（），半径为1|O1O2|=，等于两圆半径和，两圆的位置关系是外切故选：D化圆O2为标准方程，分别求出两圆的圆心坐标与半径，由圆心距等于半径和得答案本题考查圆与圆的位置关系的判定，是基础题5.【答案】A【解析】【分析】本题考查两直线平行的条件,属于基础题.由两直线平行得m的方程,求出m,然后排
8、除重合的情况即可求解.【解答】解：因为直线x+（1+m）y-2=0和直线mx+2y+4=0平行，所以，解得得m=1或m=-2,当m=1时,两直线方程分别为,两直线平行,符合题意,当m=-2时,两直线方程分别为,两直线重合,不符合题意,故选A6.【答案】C【解析】解：根据三视图知几何体是底面为正方形的长方体，中间挖去一个圆锥体剩余部分，如图所示；则该几何体的表面积是S=222+42-12+1=8+8+故选：C根据三视图知几何体是底面为正方形的长方体，中间挖去一个圆锥体剩余部分，结合图中数据求得该几何体的表面积本题考查了由三视图想象出直观图，以及空间想象力，识图能力及计算能力7.【答案】C【解析】
9、解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0）和准线l：x=-1，设A（-1，a），B（m，n），=-2，可得|FA|：|AB|=2：3，|FD|：|BC|=2：3，|BC|=3，m=2，n2=42，n=2，a=-4，AB=9，故选：C利用=-2，求解AB坐标，利用两点间距离公式求得|AB|本题考查抛物线的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题8.【答案】A【解析】【分析】本题给出直线与半圆有两个公共点，求实数m的取值范围着重考查了直线与圆的位置关系、恒过定点的直线和同角三角函数基本关系等知识，属于基础题由题意，直线y=mx+3m经过定点P（-3，0），以m为斜率同一坐标系内作出
10、直线y=mx+3m和曲线，得到它们相切时直线PA的斜率m的值，由此将直线绕P点旋转并观察交点个数与m的变化，即可得到实数m的取值范围【解答】解：直线y=mx+3m=m（x+3）经过定点P（-3，0），以m为斜率曲线是以原点为圆心，半径r=2的圆的上半圆同一坐标系内作出它们的图象，如图当直线与半圆切于A点时，它们有唯一公共点，此时，直线的倾斜角满足sin=，cos=，可得直线的斜率m=tan=，当直线y=mx+3m的倾斜角由此位置变小时，两图象有两个不同的交点，直线斜率m变成0为止由此可得当0m时，直线y=mx+3m和曲线有两个不同的交点故选：A9.【答案】B【解析】解：实数x，y满足不等式组作
11、图可知，若可行区域存在，则必有a1，故排除CD；由z=2x-y，得y=2x-z，平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z，经过点B（1，1）时，直线y=-3x+z的截距最大，此时z最大最小为zmax=1，平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过点A（a，2-a）时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最小为zmin=3a-2z=2x-y的最大值是最小值的2倍，由6a-4=1，解得a=，故选：B先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值，再列方程求出a即可本题主要考查线性规划的应用，利用数形
12、结合是解决线性规划题目的常用方法10.【答案】C【解析】解：由双曲线定义可知：|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a，|PF1|=4a，由sinF1PF2=可得cosF1PF2=，在PF1F2中，由余弦定理可得：=，解得：=4或=6，e=2或故选：C根据余弦定理列方程得出a，c的关系，再计算离心率本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于基础题11.【答案】B【解析】解：直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0的斜率之积：=-1，直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0垂直，直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0分别过点M（0，4），N（3，0），
13、直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0的交点P在以MN为直径的圆上，P为以C（，2）为圆心，半径为的圆上，圆心C到直线4x-3y+10=0的距离为d=2，则点P到直线4x-3y+10=0的距离的最大值为d+r=+2=故选：B求得直线l1，直线l2，恒过定点，以及两直线垂直，可得交点P的轨迹，再由直线和圆的位置关系，即可得到所求最大值本题考查直线恒过定点的求法和两直线垂直的条件，以及点到直线的距离公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题12.【答案】B【解析】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定可得m-n=2a2，解得m=a1+a2，
14、n=a1-a2，由|F1F2|=4|PF2|，可得n=c，即a1-a2=c，由e1=，e2=，可得-=，由0e11，可得1，可得，即1e22，则e2-e1=e2-=，可设2+e2=t（3t4），则=t+-4，由f（t）=t+-4在3t4递增，可得f（t）（，1）故选：B运用椭圆和双曲线的定义，以及离心率公式和范围，结合换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的范围，考查换元法和构造函数法，考查运算能力，属于中档题13.【答案】x2y=0 4【解析】解：双曲线，可得a=2，所以双曲线的渐近线方程是：x2y=0，实轴长为：4故答案为：x2y=0
15、；4直接利用双曲线方程求解渐近线方程与实轴长即可本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查14.【答案】6 【解析】解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，解得A（2，0），由解得B（，），化目标函数z=3x+y为y=-3x+z，由图可知，当直线y=-3x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为6当直线y=-3x+z过点B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：故答案为：6；由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15.【答案】（1，3
16、） 4x-3y+5=0【解析】解：联立，解得P点的坐标为（1，3）；设垂直于直线3x+4y-5=0的直线方程为4x-3y+c=0，把（1，3）代入解得c=5经过点P且垂直于直线3x+4y-5=0的直线方程为4x-3y+5=0故答案为：（1，3）；4x-3y+5=0直接联立两直线方程即可求解交点坐标；设出垂直于直线3x+4y-5=0的直线方程为4x-3y+c=0，把（1，3）代入解得c，则直线方程可求本题考查直线方程的求法，考查直线的一般方程与直线垂直的关系，是基础题16.【答案】-3【解析】解：直线l：kx-y+1-3k=0，整理得：y-1=k（x-3），故直线经过定点（3，1），当经过点（3
17、，1）的直线且垂直于直线y=x的直线时，弦长最短为2=2，此时k=-3故答案为：-3首先利用直线的变换，求出直线经过的定点，进一步利用直线与圆的位置关系的应用和垂径定理的应用求出结果本题考查的知识要点：定点直线系的应用，直线与圆的位置关系的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题17.【答案】-=1【解析】解：双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线方程为2x3y=0，焦距为2，设双曲线方程为：（a0，b0），可得，并且c2=13=a2+b2，可得a=3，b=2，所求双曲线的标准方程为：-=1故答案为：-=1利用双曲线的渐近线方程以及焦距列出方程组，然后求解双曲线的标准方程即可本
18、题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力，是基础题18.【答案】-，-，【解析】解：根据题意，设P（x，y），若|PB|=2|PA|，即|PB|2=4|PA|2，则有（x-4）2+y2=4（x-1）2+4y2，变形可得：x2+y2=4，即P的轨迹为以O为圆心，半径为2的圆，曲线Cx2-2ax+y2-4ay+5a2-9=0，即（x-a）2+（y-2a）2=9，则曲线C是以（a，2a）为圆心，半径为3的圆；若曲线C上存在点P使得|PB|=2|PA|，则圆C与圆x2+y2=4有公共点，则有3-22+3，即1|a|5，解可得：-a-或a，即a的取值范围为：-，-，；故答案为：-，-
19、，根据题意，设P（x，y），分析可得若|PB|=2|PA|，则有（x-4）2+y2=4（x-1）2+4y2，变形可得x2+y2=4，进而可得P的轨迹为以O为圆心，半径为2的圆；将曲线C的方程变形为（x-a）2+（y-2a）2=9，可得以（a，2a）为圆心，半径为3的圆；据此分析可得若曲线C上存在点P使得|PB|=2|PA|，则圆C与圆x2+y2=4有公共点，由圆与圆的位置关系可得3-22+3，解可得a的取值范围，即可得答案本题考查圆的方程应用以及轨迹方程的计算，关键求出P的轨迹方程19.【答案】【解析】解：由椭圆方程可得a=3，b=，c=2，F（2，0），设直线l；y=k（x-2），A（x1，
20、y1），B（x2，y2），由=2，y1=-2y2，所以（*）联立解方程组，得到关于y的方程（9k2+5）y2+20ky-25k2=0，得，带入（*）化简得，得9k2=32-5=27，所以k2=3，故答案为：设直线y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），由（*），联立解方程组，利用韦达定理代入即可考查向量与圆锥曲线的综合题，韦达定理的应用，中档题20.【答案】解：（）将直线y=-2x+1和抛物线y2=4x联立，可得4x2-8x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=2，x1x2=，即有|AB|=|x1-x2|=；（）将直线y=ax+1和抛物线y2=4x联立，
21、可得a2x2+（2a-4）x+1=0，a0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得=（2a-4）2-4a2=16-16a0，即a1，x1+x2=，x1x2=，y1y2=（ax1+1）（ax2+1）=a2x1x2+a（x1+x2）+1，以AB为直径的圆经过原点O，可得OAOB，可得x1x2+y1y2=0，即有（1+a2）x1x2+a（x1+x2）+1=（1+a2）+a+1=0，解得a=-，满足0，故a=-【解析】（）将直线y=-2x+1和抛物线y2=4x联立，消去y可得x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值；（）将直线y=ax+1和抛物线y2=4x联立，消去y可得x的二次方程，
22、运用判别式大于0和韦达定理，由题意可得OAOB，可得x1x2+y1y2=0，结合A，B均在直线y=ax+1上，可得a的方程，解方程即可得到所求值本题考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，以及向量数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题21.【答案】解：（）根据题意，直线l与椭圆恰有一个公共点P，即相切；则有，得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2（m2-b2）=0，则=（2a2km）2-4（a2k2+b2）a2（m2-b2）=0，化简整理，得m2=a2k2+b2；m=，（）因为当时，OAB的面积取到最大值，此时OAOB，从而原点O到直线l
23、的距离，又，故；再由（I），得，则又，故，即，从而，即【解析】（）根据题意，联立直线与椭圆的方程，变形可得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2（m2-b2）=0，由直线与椭圆的位置关系可得=（2a2km）2-4（a2k2+b2）a2（m2-b2）=0，整理变形可得答案；（）根据题意，求出原点O到直线l的距离，变形可得，结合椭圆的离心率公式分析可得答案本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题22.【答案】（本小题满分12分）解：（1）因为直线过焦点，所以有y1y2=-p2=-4，解得p=2，所以抛物线E的方程为y2=4x（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为F（l，0），设直
24、线AB的方程为x=my+1，联立抛物线的方程y2-4my-4=0，所以y1+y2=4m，y1y2=-4，则有，=，因此=所以当且仅当m=0时，有最小值【解析】（1）利用已知条件求出p，即可得到抛物线方程（2）设出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理，转化求解直线的斜率关系的表达式，然后求解最小值本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力23.【答案】解：（1）根据题意，椭圆的离心率为，即e=2，则a=2c又a2=b2+c2，椭圆的标准方程为：又点P（1，）为椭圆上一点，解得：c=1椭圆的标准方程为：（2）由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程
25、为y=kx+1设M（x1，y1），N（x2，y2）联列方程组：，消去y可得：（3+4k2）x2+8kx-8=0由韦达定理可知：，且k1=2k2，即又M（x1，y1），N（x2，y2）在椭圆上，将代入可得：，即3x1x2+10（x1+x2）+12=0，即12k2-20k+3=0解得：或又由k1，则【解析】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程，属于综合题（1）根据题意，由椭圆离心率可得a=2c，进而可得，则椭圆的标准方程为，将P的坐标代入计算可得c的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线l的方程为y=kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），将直线的方程与椭圆联立，可得（3+4k2）x2+8kx-8=0，由根与系数的关系分析，：，结合椭圆的方程与直线的斜率公式可得，即12k2-20k+3=0，解可得k的值，即可得答案
