1、海原一中20192020学年第二学期期末考试高一数学试卷一、单选题（从题目给出的四个选项中选出正确答案）1.已知角的终边过点，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的定义即可求解.【详解】由角的终边过点，所以.故选：D【点睛】本题考查了三角函数的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.2.某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高一年级全体名学生中抽名学生做学习状况问卷调查.现将名学生从到进行编号在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是号，则第组中应取的号码是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由系统抽样方法可知编号后分为组，每组人，每组中抽人，号
2、码间隔为，第一组中随机抽取到号，则第组中应取号码为故本题答案选3.在正多边形中，只有三种形状能用来铺满一个平面图形而中间没有空隙，分别是正三角形、正方形、正六边形，称之为“正多边形的镶嵌规律”已知如图所示的多边形镶嵌的图形，在内随机取一点，则此点取自正方形的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出整个的面积以及符合条件的面积，代入几何概型计算公式即可.【详解】解：设小三角形的边长为，每个小三角形的面积为，个小三角形的面积之和为，又因长方形的长为，所以个正方形的面积为，所以此点取自正方形的概率是故选：B.【点睛】本题考查几何概型概率计算问题，属于基础题.4.在中，D在边
3、上，且，E为的中点，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得，从而根据平面向量的线性运算求解即可【详解】解：，为的中点，故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题5.下表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产产品过程记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据.根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为( )34562.544.5A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由表中数据求出，代入线性回归方程即得.【详解】因为线性回归直线过样本中心点，由表中数据求得，代入线性回归方程得.故选：.【点睛】本题考查线性回归方
4、程，属于基础题.6.平面向量与的夹角为60，则等于( )A. B. C. 4D. 12【答案】B【解析】【分析】根据平面向量数量积运算律及数量积定义，即可求得.【详解】平面向量与夹角为，所以，由平面向量运算律及数量积定义可知故选：B.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算律与数量积定义，平面向量模的求法，属于基础题.7.为比较甲、乙两名蓝球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有下列结论：甲乙985289213012甲最近五场比赛得分中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数.甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数.从最近五场比赛的得分看，乙比
5、甲更稳定.从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.其中所有正确结论的编号为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图得到甲、乙的得分，求出中位数、平均数、方差，即可判断；【详解】解：甲的得分为25,28,29,31,32；乙的得分为28,29,30,31,32；因为，故甲、乙得分中位数分别为29、30；平均数分别为29、30；方差分别为、；故正确的有；故选：C【点睛】本题考查由茎叶图求几个数的平均数、方差及中位数，属于基础题.8.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直
6、接用表示出，进而可得出.【详解】由题中所给图像可得：，又 ，所以.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.9.计算：的结果是（ ）A. -4B. -2C. 2D. 4【答案】A【解析】【分析】由已知可得原式等于，利用二倍角正弦公式及两角差的正弦公式化简可得结果详解】 4故选A【点睛】本题考查诱导公式和两角和与差的正弦函数的应用，属于基础题10.在棱长为2的正方体内随机取一点，则使得点到各顶点距离均大于1的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合几何概型，计算正方体的体积和使得点到各顶点距离小于等于1的的概率即可得解
7、.【详解】在棱长为2的正方体体积为8，在棱长为2的正方体内随机取一点，到各顶点距离小于等于1的点位于以8个顶点为球心以1为半径的球内，其体积和为，点到顶点距离小于等于1的概率为，所以使得点到各顶点距离均大于1的概率为.故选：C【点睛】此题考查计算几何概型，属于体积型，根据题意将问题转化为求正方体体积和球的体积关系.11.从区间随机抽取个数,，构成n个数对，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】此题为几何概型数对落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为，所以故选C12.下列关于函数的
8、说法正确的是（ ）A. 在区间上单调递增B. 最小正周期是C. 图象关于点成中心对称D. 图象关于直线成轴对称【答案】C【解析】【分析】，然后运算正切函数的知识可逐一判断.【详解】函数无单调递增区间和对称轴，A、D错误其最小正周期是，故B错误在处无意义，故其图象关于点成中心对称，故C正确故选：C【点睛】本题考查的是正切型函数的图象及其性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.二、填空题13.甲、乙两人比赛下中国象棋，若甲不输的概率是，下成和棋的概率是，则甲获胜的概率是_【答案】【解析】【分析】利用互斥事件概率计算即可求出甲获胜的概率.【详解】因为甲不输的概率是，下成和棋的概率是，所以甲获胜
9、的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率计算，属于基础题.14.某电视台每天11:3012:00播放“中国梦”主题的纪录片，在此期间会随机播放一次4分钟完整的有关中国梦的歌曲，小张从11:43开始观看该电视台的这档节目，则他听到完整的有关中国梦歌曲的概率为_.【答案】【解析】【分析】直接利用测度比为长度比求解【详解】由题意：要使每天11:3012:00播放纪录片时，能播放一次4分钟完整的有关中国梦的歌曲，则开始播放歌曲的时间应在11:3011:56的任意时刻，共26分钟，小张从11:43开始观看，若他听到完整的歌曲，则开始播放歌曲的时间应在11:4311:56的任意时刻，共13
10、分钟，由几何概型概率可得概率为故答案为【点睛】本题考查几何概型概率的求法及应用，是基础的计算题15.函数的图像向左平移个单位，再将图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，那么所得图像的函数解析式为_【答案】【解析】【分析】利用三角函数图像的平移伸缩变换原则即可求解.【详解】将函数的图像向左平移个单位，可得，然后图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得.故答案为：【点睛】本题考查了三角函数图像的平移伸缩变换，掌握平移伸缩变换的原则是解题的关键，属于基础题.16.已知向量，若，则与的夹角为_【答案】【解析】【分析】由可得出的值，求出的坐标，根据向量夹角公式即可得结果.【详解】，设与的夹
11、角为，解得，由于，可得，故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，考查向量夹角余弦值的求法，属于基础题.三、解答题（要求写出主要演算步骤和推理过程，本题共70分）17.一个正四面体玩具的四个表面分别标有数字1，2，3，4，将玩具连续抛掷两次（1）着地的两个底面的数字之和为5的概率是多少？（2）着地的两个底面的数字之和不小于7的概率是多少？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题知，将玩具连续抛掷两次共有16个不同结果，而着地的两个底面的数字之和为5的结果有4个，故可得其概率；（2）着地的两个底面的数字之和不小于7的结果共有13个，故可得其概率.【详解】（1）由题知，将玩具连续
12、抛掷两次共有16个不同结果，分别为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），所以着地的两个底面的数字之和为5的结果为：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），故其概率为；（2）着地的两个底面的数字之和不小于7的结果共有3个，所以其概率为.【点睛】本题主要考查了古典概率的计算，属于基础题.18.随着我国经济的发展，居民收入逐年增长.某地区2014年至2018年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：年份2014201520162
13、0172018年份代号12345人均纯收入547810（1）求关于的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测2019年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】（1） （2）2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加千元；千元【解析】【分析】（1）根据所给数据利用公式计算，然后代入，求解，再写出回归方程.（2）根据（1）的结果，由的正负来判断，将，代入回归方程，预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入.【详解】（1）由所给数据计算得，
14、所求回归方程为.（2）由（1）知，故2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加千元.2019年时，故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入约为千元.【点睛】本题主要考查线性回归分析，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示从左至右五个小组的频率之比依次是（1）如果视力达到以上算正常，用样本估计总体，求全市高一学生中视力正常的学生有多少人？（2）试估计全市高一学生的视力平均值【答案】（1）
15、；（2）.【解析】【分析】（1）根据第五组数据先求出第五组的频率，再根据频率之比得第四组的频率，即可得视力达到以上的频率，即可计算视力正常的学生人数；（2）根据第五组的数据分别算出前四组的频率，再根据频率分布直方图中平均数的计算方法计算即可.【详解】解：（1）由图可知，第五小组的频率为，又因为从左至右五个小组的频率之比依次是，所以第四组的频率为，所以视力达到以上的频率为，故根据样本估计总体，全市高一学生中视力正常的学生有.（2）第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为，第四组的频率为，第五组的频率为，所以平均值为【点睛】本题考查频率分布直方图的相关知识，考查数据分析能力与计算能力，是基础
16、题.20.已知函数的图象如图所示（1）求函数的解析式；（2）若角满足，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据图象可得振幅、周期，由周期求出，图像过点，代入解析式求出即可；（2）由题意得，根据角的变换及同角三角函数的基本关系，化简求值即可.【详解】（1）由图象知，最小正周期，即，所以，故因为的图象经过点，所以，故所以，解得又因为，所以，所以（2）由得，即因为，所以，故，所以，因此，【点睛】本题主要考查正弦函数图象与性质，由“五点法”求函数解析式，三角恒等变换，角的变换，属于中档题.21.已知函数.（1）若，都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；（2
17、）若，都是从区间上任取的一个数，求成立的概率.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)基本事件总数为个.函数有零点的条件为.，则函数有零点的概率为.(2)由几何概型的计算公式可得事件“”的概率为.试题解析：解：（1），都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，则基本事件总数为个.函数有零点的条件为，即.因为事件“”包含，所以事件“”的概率为，即函数有零点的概率为.（2），都是从区间上任取的一个数，即，此为几何模型，如图可知，事件“”的概率为.点睛：“几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的古典概型计算三步曲：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本
18、事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关.22.己知函数（1）求函数的最小正周期及单调增区间；（2）若，求函数的值域【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式对原式进行化简，进而求出最小正周期和单调增区间（2）由范围，求出的范围，利用正弦函数的性质求出值域即可.【详解】（1）令即单调增区间为（2），则，所以的值域为【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式和辅助角公式、正弦型函数的最小正周期、单调区间和值域等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
