1、第1章导数及其应用第1课时平均变化率 教学过程一、 问题情境现有某市某年3月和4月某天日最高气温记载如下: 时间3月18日4月18日4月20日 日最高气温3.518.633.4“气温陡增”这一句生活用语,用数学方法如何刻画? 二、 数学建构问题1“气温陡增”是一句生活用语,它的数学意义是什么?(形与数两方面)1问题2如何量化(数学化)曲线上升的陡峭程度?2解通过讨论,给出函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率:.概念理解1. 具体计算函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率可用=,应注意分子、分母的匹配.2. 函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势
2、,从定义看,f(x)在区间上的平均变化率就是直线AB的斜率.巩固概念问题3回到问题情境中,从数和形两方面对平均变化率进行意义建构.解从数的角度:3月18日到4月18日的日平均变化率约为0.5;4月18日到4月20日的日平均变化率为7.4.从形的角度:比较斜率的大小.3三、 数学运用【例1】设函数f(x)=x2-1,当自变量x由1变到1.1时,求:(1) 自变量的增量x;(2) 函数的增量y;(3) 函数的平均变化率.处理建议根据定义来求解.规范板书解(1)x=1.1-1=0.1.(2) y=1.12-1-(12-1)=0.21. (3)=2.1.题后反思求平均变化率时关键在于理解定义,知道x与
3、y分别指的是什么.【例2】(教材第7页例4)已知函数f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间-3,-1,0,5上f(x)及g(x)的平均变化率.(见学生用书P2)处理建议可回顾“必修2”中关于直线斜率的内容,让学生体会的含义.规范板书解函数f(x)在-3,-1上的平均变化率为=2,函数f(x)在0,5上的平均变化率为=2,函数g(x)在-3,-1上的平均变化率为=-2,函数g(x)在0,5上的平均变化率为=-2.题后反思一次函数y=kx+b在区间m,n上的平均变化率就等于k.变式若质点运动规律为S=5t+3,则在时间3,3+t中,相应的平均速度等于5.【例3】如图所示,路灯距地面8
4、m,一身高1.6m的人沿穿过灯下的直路以84m/min的速度行走,求人影长度的变化速率.(结果以m/s为单位)(例3)处理建议首先理解题意,其次分析影子长度在图中变化的关系.规范板书解84m/min=1.4m/s.设人的影长为y,时间为x,根据相似三角形列式=,得y=x,人影长度变化速率为v=.题后反思几何类应用题需观察图形,数形结合地考虑问题.*【例4】已知函数f(x)=2x2+1,分别计算函数f(x)在区间1,4,1,2,1,1.5上的平均变化率.处理建议引导学生利用平均变化率的概念解题.规范板书解在1,4上的平均变化率为=10,在1,2上的平均变化率为=6,在1,1.5上的平均变化率为=
5、5.变式已知函数f(x)=,计算函数f(x)在区间1,2上的平均变化率.规范板书解在1,2上的平均变化率为=-.*【例5】求函数y=x3在x0到x0+x之间的平均变化率.处理建议本题与前面几个例题的区别在于:由字母代替具体区间,但是处理问题仍然只需抓住本质,利用平均变化率的概念解题.规范板书解当自变量从x0到x0+x时,函数的平均变化率为=3+3x0x+x2.变式求函数f(x)=在区间内的平均变化率.规范板书解=.四、 课堂练习1. 黄金周期间,若本市某大型商场的日营业额从1500万元增加到4300万元,则该商场黄金周期间日营业额的平均变化率是400.提示利用平均变化率的概念.2. 函数f(x
6、)=5x+4在区间0,1上的平均变化率是5.提示一次函数在区间上的平均变化率即为斜率.3. 若函数f(x)=x2-1在区间1,m上的平均变化率为3,则m的值为2.提示由=3,得m=2.4. 已知正方形原来的边长为4m,现在边长以2 m/s的速度增加,若设正方形的面积为S(单位:m2),时间为t(单位:s),则由时间t(s)到t+1(s)时正方形的面积增加了(20+8t)m2.提示S=(4+2t)2,则S=(6+2t)2-(4+2t)2=20+8t (m2).五、 课堂小结1. 函数f(x)在区间x1,x2上的平均变化率为.2. 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,是一种粗略的刻画.第2课时曲
7、线上一点处的切线 教学过程一、 问题情境平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势,提出问题:如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?(点P附近的曲线的研究)提出“放大图形”的朴素方法.3展示下图:(图1)(图2)二、 数学建构问题1观察“点P附近的曲线”,随着图形放大,你看到了怎样的现象?解曲线在点P附近看上去几乎成了直线;继续放大,曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l,这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线.问题2“几乎成了一条直线”,这么一条特殊的直线有明确位置么?又为什么说是“几乎”呢?(图3)解点P附近可以用这条直线l代替曲线,用直线l的斜率来刻画曲线经过P点时的变
8、化趋势.问题3怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l呢?以右图为例.解随着点Q沿曲线向点P运动,直线PQ在点P附近越来越逼近曲线.4概念生成动画演示,观察点Q的运动,直线PQ的运动,直线PQ斜率的变化,从而生成概念.(图4)(图5)Q为曲线上不同于点P的一点,这时,直线PQ称为曲线的割线;当点Q无限逼近点P时,直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l,这条直线l就称为曲线在点P处的切线.5问题4对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型,在这里平均变化率表现为什么?我们又用怎样的数学模型来刻画曲线上P点处的变化趋势呢?由切线的概念来求切线斜率,割线斜率无限逼近即成
9、切线斜率.当x无限趋近于0时,无限趋近于点P(x,f(x)处切线的斜率.6三、 数学运用【例1】用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线.(见学生用书P3)(例1(1)(例1(2)(1) 初中平面几何中圆的切线的定义是什么?(2) 图(1)中和图(2)中切线与曲线公共点的个数分别是多少?公共点的个数是否适用于一般曲线的切线的定义的讨论?你能否用函数曲线的切线举出反例?处理建议让学生亲自作图,从图形观察出问题的答案,体现数形结合思想.规范板书解(1) 与圆只有1个公共点的直线称为圆的切线.(2) 图(1)中1个;图(2)中2个;不适用.题后反思强调曲线上一点处切线的斜率的定义,圆上一点处的
10、切线只是曲线上一点处切线的特殊情况.7变式曲线y=x3在点(1,1)处的切线与曲线有几个交点?规范板书解2个.【例2】(教材第9页例1)已知f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率.(见学生用书P4)处理建议为求得在点(2,4)处的切线斜率,我们从经过点(2,4)的任意一条直线(割线)入手.规范板书解设P(2,4),Q(2+x,(2+x)2),则割线PQ的斜率为kPQ=4+x,当x无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(2,4)处的切线斜率为4.题后反思本题教学手法可以多样化,比如作出图象加强直观,还可取x0,且a1);(lox)=logae=(a0且
11、a1);(ex)=ex;(ln x)=;(sinx)=cosx;(cosx)=-sinx.1三、 数学运用【例1】求曲线y=cosx在点处切线的方程.(见学生用书P12)处理建议利用基本初等函数的求导公式求出在该点处的切线斜率,再利用点斜式求出切线方程.规范板书解y=-sinx,所以在点处切线的斜率k=-sin=-,即切线方程为x+2y-1=0.题后反思对于一些常见函数的求导问题,可以直接利用公式解题.变式求曲线y=在点处的切线的方程.规范板书y=-,故点处的切线斜率为-,切线方程为x+4y-4=0.【例2】若直线y=4x+b是函数y=x2图象的一条切线,求b及其切点坐标.(见学生用书P12)
12、处理建议设出切点坐标,利用导数的几何意义解题.规范板书解设切点坐标为(x0,),由f(x0)=2x0=4得出x0=2,所以切点坐标为(2,4),故 b=-4.题后反思本题应抓住切点的双重特性:点既在曲线上,也在切线上.变式若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,求a的值.规范板书解设切点坐标为(x0,a),由f(x0)=3a=3得出a=1,又因为点(x0,a)满足切线方程,所以a=3x0+1,x0=-,则a=4.【例3】在函数y=2x的图象上求一点,使过此点的切线平行于直线xln 4-y+3=0.(见学生用书P12)处理建议利用常见函数的求导公式及导数的几何意义求出切线的斜率,再利用两平行直
13、线之间斜率相等建构等式.规范板书解设切点坐标为(x0,),由f(x0)=ln 2=ln 4得出x0=1,即该点坐标为(1,2).题后反思一般说来,过此点的切线意味着该点不一定是切点.但本题有其特殊性,切线只可能与曲线有一个交点.所以对于本题,该点即为切点.变式在抛物线y=x2上求一点P,使点P到直线x-y-1=0的距离最短,并求出这个最短距离.规范板书解设P(x0,),由f(x0)=2x0=1得出x0=,则曲线在点P处切线方程为4x-4y-1=0,所以它与已知直线的距离d=,所以P,d=.四、 课堂练习1. 给出下面4个命题:曲线y=x3在原点处没有切线;若函数f(x)=,则f(x)=0;速度
14、是动点位移函数S(t)对时间t的导数;函数y=x5的导数值恒非负.其中正确的命题是.(填序号)提示利用导数的概念及常见函数的导数公式.2. 设f(x)=sinx,则f(x)=cosx,f=.提示利用常见函数的导数公式.3. 若质点的运动方程是S=(其中S的单位为m;t的单位为s),则质点在t=3 s时的速度为-m/s.提示因为速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数,所以v(t)=-4t-5,故质点在t=3s时的速度为-m/s.五、 课堂小结1. 熟记常见函数导数公式.2. 灵活应用导数解决相关问题.第7课时函数的和、差、积、商的导数 教学过程一、 问题情境问题1分别求下列函数的导数:(1)
15、y=x2;(2) y=x;(3) y=x2+x.你能从以上计算结果,发现什么结论?解(1) y=2x;(2) y=1;(3) y=2x+1.两个函数的和的导数,等于这两个函数导数的和.问题2你能证明上述结论吗?解因为=2x+x+1,当x0时,2x+1,所以y=2x+1.问题3两个函数的差的导数,等于这两个函数导数的差吗?1二、 数学建构问题4已知f(x),g(x),那么f(x)+g(x)等于什么?2解函数和的求导法则如下:f(x)+g(x)=f(x)+g(x).即两个函数的和的导数,等于这两个函数的导数的和.问题5可以怎样验证大家的结论?3问题6你能证明吗?4问题7已知f(x),g(x),则f
16、(x)-g(x),f(x)g(x),等于什么?法则1两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即f(x)g(x)=f(x)g(x).法则2两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x).法则3两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即=(g(x)0).法则理解(1) 法则适用于两个可导函数的和、差、积、商;两个不可导函数和、差、积、商不一定不可导.(2) Cf(x)=Cf(x)(C为常数).(3) 求导法则的证明不作要求.三、
17、 数学运用【例1】(教材第21页例2)求下列函数的导数:(见学生用书P13)(1) f(x)=x2+sinx;(2) g(x)=x3-x2-6x+2.处理建议先由学生写出解题过程,让其他学生点评;教师在学生的交流中,了解学生的思考过程,投影学生的解题过程,纠正出现的错误,同时强调书写格式的规范.规范板书解(1) f(x)=(x2+sinx)=(x2)+(sinx)=2x+cosx.(2) g(x)=3x2-3x-6.题后反思运用函数的和差法则求导的一般步骤:先用求导法则转化为求基本函数的导数,再用导数公式进行运算.变式求y=2x3-3x2+5x-4的导数.规范板书解y=6x2-6x+5.【例2
18、】(教材第22页例3)求下列函数的导数:(1) h(x)=xsinx;(2) S(t)=.(见学生用书P14)规范板书解(1) h(x)=(xsinx)=(x)sinx+x(sinx)=sinx+xcosx.(2) S(t)=.题后反思例2(2)还有其他解法:S(t)=1-.例2解法二可由学生的探究活动产生,教师作适当的点拨.归纳根据函数的积商的法则求导的一般步骤,同时注意说明解法不唯一;要求学生正确运用公式.变式1用两种方法求y=(2x2+3)(3x-2)的导数.规范板书解法一y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)=4x(3x-2)+(2x2+3)3=18x2-8x+9.
19、解法二y=6x3-4x2+9x-6,y=18x2-8x+9.变式2求y=的导数.规范板书解y=.变式3求y=xln x的导数.规范板书解y=ln x+1.变式4求y=在点x=3处的导数.规范板书解y=,所以y=-.*【例3】(教材第22页练习5的变式)已知函数f(x)的导数是f(x),则函数f(x)2的导数为2f(x),结论对吗?处理建议本题由学生口答,暴露问题后集体探究.规范板书解f(x)f(x)=f(x)f(x)+f(x)f(x)=2f(x)f(x).题后反思通过本例让学生初次体会复合函数的求导,学生暴露问题却又不明所以,会激起学生的强烈的好奇心,从而激发学生的学习兴趣,同时也为下一节课学
20、习复合函数的求导公式奠定基础.四、 课堂练习1. 函数y=x2cosx的导数为y=2xcosx-x2sinx.2. 函数y=的导数为y=.3. 若函数y=2ax2+1过点(,3),则此曲线在该点的切线方程是4x-y-1=0.4. 若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则a=1, b=1.五、 课堂小结1. 函数的和、差、积、商的求导法则.2. 法则适用于两个可导函数的和、差、积、商;两个不可导函数和、差、积、商不一定不可导.3. 求导法则的证明不作要求.第8课时简单复合函数的导数 教学过程一、 问题情境问题1(教材第23页)求函数y=(3x-1)2的导数.解一方面
21、,yx=(3x-1)2=(9x2-6x+1)=18x-6=6(3x-1).另一方面,函数y=(3x-1)2可由y=u2,u=3x-1复合而成,y关于u的导数记为yu,yu=2u,将u关于x的导数记为ux,即ux=(3x-1)=3,因而有yx=yuux.问题2(教材第23页)求函数y=sin2x的导数.解一方面,yx=(sin2x)=(2sinxcosx)=2cos2x.另一方面,函数y=sin2x可由y=sinu,u=2x复合而成,y关于u的导数记为yu.yu=cosu,将u关于x的导数记为ux,即ux=(2x)=2,因而有yx=yuux.二、 数学建构问题3举例说明哪些函数是复合函数?2问题
22、4怎样求复合函数的导数?3一般地,若y=f(u),u=ax+b,则yx=yuux=ayu.法则理解1. 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量u的导数,乘以中间变量u对自变量x的导数;2. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导;3. 法则可以推广到两个以上的中间变量,但不要求掌握.三、 数学运用【例1】(教材第24页例2)求下列函数的导数:(1) y=;(2) y=cos(1-2x).(见学生用书P15)处理建议让学生练习对复合函数进行分解,再运用法则求导.规范板书解(1) 函数y=可由y=,u=3x-1复合而成
23、,则yx=yuux=3=-3=-.(2) 函数y=cos(1-2x)可由y=cosu,u=1-2x复合而成,则yx=yuux=(cosu)(-2)=(-sinu)(-2)=2sin(1-2x).题后反思(1) 对于简单复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,适当选取中间变量;(2) 弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导,不要混淆;(3) 求导的次序是由外向内;(4) 复合函数求导的基本步骤是:分解求导相乘回代.变式求函数y=的导数.规范板书解y=(3x-1)-4.设y=u-4,u=3x-1,则yx=yuux=(u-4)(3x-1)=-4u-53=-12u-5=-12(3x-1)-5=.题后
24、反思熟练掌握求导法则后,本例可以直接写成yx=(3x-1)-4=-4(3x-1)-53=-12(3x-1)-5=.【例2】求曲线y=sin2x在点P处的切线方程.(见学生用书P16)处理建议学生讨论、判断,并且由学生给出理由.规范板书解设f(x)=sin2x,则f(x)=2cos2x,故曲线在点P(,0)处的切线方程为2x+y-=0.四、 课堂练习1. 函数y=cos(1-2x)的导数y=2sin(1-2x).2. 若y=e-2x-1,则y=-2e-2x-1.3. 函数y=x的导数y=.4. 若某港口在一天24 h内潮水高度近似地满足关系S(t)=3sin(0t24),则18点时潮水起落的速度
25、为多少?解S(t)=3cos=cos,所以S(18)=cos=,即18点时潮水速度为.五、 课堂小结1. 对于简单复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,关键在于分清函数的复合关系,适当选取中间变量,利用幂函数的求导公式.2. 一些根式函数或分母上是幂函数、分子为常数的分式函数,通常经过变形,转化成幂函数,这样求导起来会比较方便.3. 求导的次序是由外向内.4. 复合函数求导的基本步骤是:分解求导相乘回代.第9课时单调性 教学过程一、 问题情境导数和单调性都是对函数上升和下降的变化趋势的刻画,导数与函数的单调性有什么关系呢?二、 数学建构问题1由函数f(x)在区间(a,b)上是增函数,对于任
26、意x1,x2(a,b),当x10,那么f(x)为该区间上的增函数;如果在某区间上f(x)0或f(x)0(或y0)是函数在区间上单调递增(或递减)的充分不必要条件.三、 数学运用【例1】(教材第29页例3)确定函数f(x)=sinx,x0,2的单调递减区间.(见学生用书P18)规范板书解f(x)=cosx.令f(x)0,即cosx0 x;由f(x)0 0x0),若f(x)的单调递减区间是(0,4).(1) 求k的值;(2) 当xk时,求证:23-.规范板书解(1) f(x)=3kx2-6(k+1)x=3kx,k0. 由题意f(x)=0的两根为0和4,故=4,解得k=1.(2) 令g(x)=2+-
27、3,g(x)=-,当x1时,g(x)0,g(x)=2+-3在(1,+)上递增,又因为g(1)=0,xk=1,所以g(x)0,故23-.四、 课堂练习1. 设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调递增区间是.2. 若函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围为3,+).3. 求函数f(x)=2x2-lnx的单调区间.解增区间为,减区间为.4. 已知a0,函数f(x)=x3-ax在1,+)上是单调递增函数,求实数a的取值范围.解f(x)=3x2-a,函数f(x)=x3-ax在1,+)上是单调递增函数,则当x1,+)时,f(x)0恒成立,即x1,+)时a3x2恒成立
28、,得a3.又 a0,所以00,得函数的单调递增区间;解不等式f(x)0,得函数的单调递减区间.3. 求函数的单调区间,求导的方法不是唯一的方法,也不一定是最好的方法,但它是一种一般性的方法.对于不熟悉的函数,常常利用导数法来研究函数的单调性.第10课时极大值与极小值(1) 教学过程一、 问题情境(图1)观察给定函数图象,在P和Q两侧图象的单调性变化:P点处从左侧到右侧由上升变为下降(函数由单调递增变为单调递减),这时在点P附近,点P的位置最高;Q点处从左侧到右侧由下降变为上升(函数由单调递减变为单调递增),这时在点Q附近,点Q的位置最低.1二、 数学建构问题1上述的结论如果用数学语言该怎样来描
29、述?2解1. 极大值点:已知函数f(x),设x1是定义域内一点,如果在x1附近的所有的x,都有f(x)f(x2),就说函数f(x)在x2处取得极小值,把x2称为f(x)的一个极小值点.2. 极大值:称f(x1)为函数f(x)的一个极大值;极小值:称f(x2)为函数f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称为极值.问题2在定义域内,函数的极大值是唯一的吗?函数的极大值一定大于其极小值吗? 函数的极值点可能在区间的端点产生吗?试作图说明.3问题3极值点处导数有何特点?当f(x0)=0时,能否肯定函数f(x)在x0处取得极值?4问题4函数的极值与函数的导数有怎样的关系?53. 函数极值与导数关系:如果
30、f(x0)=0,且在x0的附近的左侧f(x0)0,右侧f(x0)0,那么f(x0)是极大值;如果f(x0)=0,且在x0的附近的左侧f(x0)0,那么f(x0)是极小值.表1 xx1左侧x1x1右侧 f(x)f(x)0f(x)=0f(x)0 f(x)增极大值f(x1)减表2 xx2左侧x2x2右侧 f(x)f(x)0 f(x)减极小值f(x2)增概念理解1. 取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.2. 极值是一个局部的概念,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.3. 函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区
31、间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.4. 极大值与极小值之间无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于极小值.5. 函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点,而使函数取得最大值、最小值的点既可能在区间的内部,也可能在区间的端点.三、 数学运用【例1】(教材第31页例1)求f(x)=x2-x-2的极值.(见学生用书P19)规范板书解f(x)=2x-1,令f(x)=0,解得x=.列表如下:x 左侧右侧 f(x)-0+ f(x)极小值f所以当x=时,f(x)有极小值f=-.题后反思求极值的具体步骤:(1) 求导数f(x);(2) 求f(x)=0的根;(3) 列表,检查f(x)
32、在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右都是正,或者左右都是负,那么f(x)在这个根处无极值.【例2】(教材第31页例2)求f(x)=x3-4x+的极值.(见学生用书P20)处理建议让学生学会纵向看图,并体会在相应的区间上,导数的正负与函数增减的关系,体现数形结合思想.规范板书解f(x)=x2-4,令f(x)=0,解得x1=-2,x2=2.列表如下:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+) f(x)+0-0+ f(x)极大值f(-2)极小值f(2)所以当x=-2时,f(x)有极大值f(-2)=;当x=2时
33、,f(x)有极小值f(2)=-5.思考:你能画出函数及其导数的图象吗?6题后反思有效利用图形语言,对照在相同的区间上函数及其导函数的图象,体会导数与函数单调性的关系,并强调书写格式.【例3】已知函数f(x)=x3+ax2-(a-1)x+7有极大值和极小值,求a的取值范围.(见学生用书P20)处理建议先由学生思考后交流思路,采用数形结合的方法,帮助学生理解.规范板书解f(x)=3x2+2ax-a+1,函数f(x)=x3+ax2-(a-1)x+7有极大值和极小值,即f(x)=0有两个不同的实数解,则=4a2+12(a-1)0,解得a或a.*【例4】(教材第31页练习3)根据下列条件大致作出函数f(
34、x)的图象.(1) f(4)=3,f(4)=0,当x0,当x4时f(x)0.处理建议先由学生讨论,尝试进行作图;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的作业,由学生纠正出现的错误及处理建议,并且给出理由.7解(1) (2) (例4(1)(例4(2)四、 课堂练习1. 函数f(x)=x3-12x+12的极大值是28,极小值是-4.2. 若函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上无极值点,则实数m的取值范围是-,.3. 已知函数f(x)=x3-3x2+2.(1) 写出函数的单调区间;(2) 讨论函数的极大值和极小值是否存在,如果存在,写出极值.解(1) f(x)=3x2-6x,令f(x)0
35、,则x2或x0;令f(x)0,则0x0,或者g(x)极大值0或16+a16或a-16.(2) a=16.(3) -16a0时,单调递增区间为(-,1),单调递减区间为.当m0)的单调性和极值.规范板书解g(x)=-a,x0.当a0时,g(x)0,单调递增区间为(0,+),函数无极值;当a0时,令g(x)0,即 -a0,解得0x;令g(x)0,即 -a.所以单调递增区间为,单调递减区间为.所以函数极大值为f=.四、 课堂练习1. 设aR,若函数y=ex+ax(xR)有大于0的极值点,则实数a的取值范围为(-,-1).2. 若函数f(x)=-x3+ax2+1(aR)在(-2,3)内有2个不同的极值
36、点,求实数a的取值范围. 解f(x)=-3x2+2ax.由题意知f(x)在(-2,3)上有两个不同的实数解,解得a(-3,0).五、 课堂小结1. 用导数处理函数极值中的参数讨论问题,主要有两类运用:一是对导数等于0的根的讨论,二是关于单调区间的判断的问题.2. 注意领会分类讨论的思想、数形结合的思想、函数和方程的思想在解题中的灵活运用.第12课时函数的单调性和极值的综合 教学过程一、 问题情境(图1) 若函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图1所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有3个极值点.二、 数学建构问题1设函数y=f(x)在定义域内可导,y=f(
37、x)的图象如图2所示,则导函数y=f(x)可能是图3中的.(填序号)(图2)(图3)问题2怎样用数学语言刻画函数的单调性和极值?三、 数学运用【例1】函数y=x3+x2+mx+1.(见学生用书P23)(1) 若函数是R上的单调函数,求实数m的取值范围;(2) 若函数有3个单调区间,求实数m的取值范围;(3) 若函数在1,+)上单调递增,求实数m的取值范围.处理建议学生讨论、判断,并且由学生给出理由或举出实例.规范板书解y=f(x)=3x2+2x+m.(1) 由题意有=4-12m0,即m.(2) 由题意知方程f(x)=0有2个不同的解,即=4-12m0,解得m0时,令f(x)=0,得x1=-,x
38、2=a.x-a(a,+)f(x)-0+0-f(x)极小值极大值所以f(x)在区间,(a,+)上为减函数,在区间上为增函数.函数f(x)在x1=-处取得极小值f,且f=-a2,函数f(x)在x2=a处取得极大值f(a),且f(a)=1.当a0时,令f(x)=0,得x1=a,x2=-, x(-,a)a- f(x)+0-0+ f(x)极大值极小值所以f(x)在区间(-,a),上为增函数,在区间上为减函数.函数f(x)在x1=a处取得极大值f(a),且f(a)=1.函数f(x)在x2=-处取得极小值f,且f=-a2.题后反思用导数处理含参函数的极值,合理分类.四、 课堂练习1. 如果函数y=f(x)的
39、导函数的图象如图所示,给出下列判断:函数y=f(x)在区间内单调递增;函数y=f(x)在区间内单调递减;函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;函数y=f(x)的单调递增区间是-2,24,+).则上述判断中正确的是.(填序号)(第1题)2. 设函数f(x)=x3-3ax+b,a0.(1) 若曲线y=f(x)在点(2,f(2)处与直线y=8相切,求a,b的值;(2) 求函数f(x)的单调区间与极值点.解 f(x)=3(x2-a).(1) 由题意得解得a=4,b=24.(2) 当a0,f(x)在(-,+)上单调递增,此时函数没有极值点.当a0时,由f(x)=0得x=,当x(-,-)时,f(x)
40、0,f(x)单调递增;当x(-,)时,f(x)0,f(x)单调递增.此时,x=-是f(x)的极大值点,x=是f(x)的极小值点.五、 课堂小结1. 求单调区间必须考虑函数的定义域,根据导数的正负来确定函数的单调区间.2. 可导函数极值点的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点,要看该点两侧的导数是否异号.3. 用导数处理含参函数的单调区间和极值时,要对参数进行讨论,注意对导数等于0的根进行讨论,以及单调区间的判断.第13课时最大值与最小值 教学过程一、 问题情境引入即时体验1中的函数y=f(x)的图象,在原有图象上标上相应的纵坐标(由教师随手给出即可)如:(a,1),(x1,2),(x3,4)
41、,(x4,3),.(图1)二、 数学建构问题1图1中函数y=f(x)在区间a,b上的极大值和极小值分别是多少?3解极大值是f(x1)=2,f(x3)=4,极小值是f(x2)=,f(x4)=3.问题2函数y=f(x)在a,b上的最大值是不是就是极大值呢?最小值是不是就是极小值呢?4解函数的最大值是f(b)=,它不是函数的极大值,函数的最小值是f(x2)=,它是函数的极小值.问题3是不是函数的最小值都是极小值呢?5解不一定是,可举出反例,如:y=f(x)=-x2+1(x-1,1)的最小值是f(1)=0,但函数无极小值等.巩固概念问题4函数y=f(x)在区间a,b上的极值是否一定存在?最值是否一定存
42、在呢?它们之间有着怎样的关系呢?6解回顾最值的定义,以及极值的定义:最值:如果函数y=f(x)在定义域I内存在x0,使得对任意的xI,总有f(x)f(x0),那么f(x0)为函数在定义域I上的最大值;同样,如果存在x0I,使得对任意的xI,总有f(x)f(x0),那么f(x0)为函数在定义域I上的最小值.极值:如果函数y=f(x)在点P(x1,f(x1)处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(即先递增后递减),这时点P附近,点P的位置最高,亦即f(x1)比它附近点的函数值都大,则称f(x1)为函数的一个极大值,同样如果点Q(x2,f(x2)处从左侧到右侧是先递减后递增,即Q点附近,点Q的位置最低
43、,f(x2)比它附近的函数值都要小,就称y=f(x2)为函数的一个极小值.总结概括极值只是函数在局部的性质,它不一定存在,而函数y=f(x)在a,b上最值是相对于区间a,b整体而言的,它一定存大最大、最小值,而且唯一存在.但若不是a,b上而是(a,b)上也不一定存在最值了,如:y=tan x,x时,yR.总之:极值不一定是最值,最值也不一定是极值. 问题5结合图1说说函数y=f(x)在a,b上的最值可能出现在哪里.7解可能出现在极值或者区间端点的函数值处.问题6今后我们如何求函数y=f(x)在a,b上的最大、最小值呢?8解求函数y=f(x)在a,b上的最大、最小值可以分为两步:第一步,求f(x
44、)在(a,b)上的极值.第二步,将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较,得到f(x)在a,b上的最大值与最小值.三、 教学运用【例1】求函数f(x)=x3-3x+1在区间-3,0上的最大值与最小值.处理建议引导学生利用导数研究y=f(x)在-3,0上的单调性,并作出图象草图,结合图象来判断函数的最值.规范板书解f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f(x)=0,解得x1=-1,x2=1(舍).列表如下:x-3(-3,-1)-1(-1,0)0f(x)+0-f(x)-1731由上表可知,f(x)max=3,f(x)min=-17.题后反思数形结合是求函数最值的常用方法.9【例2】(
45、教材第33页例2)求f(x)=x+sinx在区间0,2上的最大值与最小值.10(见学生用书P26)处理建议学生讨论后由学生说出答案,教师归纳方法.规范板书f(x)=+cosx,令f(x)=0,得x1=,x2=.列表如下: x02 f(x)+0-0+ f(x)0+-由上表可知,f(x)=x+sinx在0,2上最大值为,最小值为0.题后反思问题1同学们是如何得到上题中x,2时,f(x)0的呢?建议同学们可以直接解f(x)0得到f(x)的递增区间,而在定义域内的补集即为f(x)的递减区间.问题2(教材第33页思考)你能根据上题中的表格大致作出函数y=f(x)的图象吗?只需根据单调性作出大致草图即可.
46、四、 课堂练习1. (教材第33页练习2)如果函数f(x)有最小值f(a),最大值f(b),那么f(a)一定小于f(b)吗?解不一定,可能相等.因为f(x)minf(x)max.2. 求下列函数在所给区间上的最大值和最小值:(1) f(x)=3x+2,x-1,3;(2) f(x)=x2-3x,x-1,3;(3) f(x)=x+,x.解(1) f(x)max=f(3)=11,f(x)min=f(-1)=-1.(2) f(x)max=f(-1)=4,f(x)min=f=-.(3) f(x)max=f=f(3)=,f(x)min=f(1)=2.3. 求y=x-x3,x0,2的值域.解y=1-3x2,
47、令y=0,则x=,x0,2,由题可知x=为极大值点,且f=.又f(0)=0,f(2)=-6.故函数的值域为.五、 课堂小结1. 函数的极值是函数的局部性质,它不一定存在,而函数的最值是函数在整体定义域上的性质,可以借助导数求解.2. 掌握函数y=f(x)在区间a,b上最值的求法:第一步,求f(x)在区间(a,b)上的极值;第二步,将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较,得到f(x)在区间a,b上的最大、最小值.第14课时导数在实际生活中的应用(1) 教学过程一、 问题情境(教材第38页练习2)把长为100 cm的铁丝分成两段,各围成正方形,怎样分法,能使两个正方形的面积之和最小?(图1)
48、二、 数学建构问题1我们在实际生活中经常会碰到和上面相类似的问题,我们常常把它归结为最值问题,请同学们思考一下如何解决.3学生甲解设一段长为x cm,则另一段长为(100-x) cm,故S=S1+S2=+=(x2-100x+5000).对称轴为x=50,开口向上,故当x=50时S有最小值.问题2学生甲提供的解法是一种什么方法?解目标函数法.问题3“目标函数法”是处理最值问题的常规方法,采用此法的处理步骤是什么?4解1. 一般引入一个变量,将所求目标用函数形式建构函数表达式.2. 根据题意写出引入变量的准确范围(即为定义域).3. 在所写定义域范围内求出函数的最值.问题4请同学们看看学生甲提供的
49、解法是否完善.5解缺少定义域x(0,100).问题5如果本题改成将分成的两段分别围成正方形和正三角形,那么目标函数表达式是什么?解S=S1+S2=+,x(0,100).问题6本引例构建了一个二次目标函数最值问题,借助二次函数图象可以迎刃而解,但如果构建的函数是高次函数或其他函数时,我们可以怎样来求最值呢?解应用导数法.导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数法可以解决用料最省、利润最大、效率最高等最值问题.本节课我们就来学习导数在实际生活中的应用.三、 教学运用【例1】如图,在半径为30cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A,B在直径上,点C,D在圆周上.若将所截得的
50、矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形罐子的体积最大?最大体积是多少?(1)(2)(例1)处理建议设圆柱的高为x,或者连结OC并设BOC=,分别建立目标函数.规范板书解解法1:设圆柱底面半径为r,高为x,体积为V.由AB=2=2r,得r=,所以V=r2h=(900x-x3),其中0x30.由V=(900-3x2)=0,得x=10,因此V=(900x-x3)在(0,10)上是增函数,在(10,30)上是减函数.所以当x=10时V取得最大值,V的最大值为.故取BC为10cm时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为cm3.解法2:连
51、结OC.设BOC=,圆柱底面半径为r,高为h,体积为V,则圆柱的底面半径为r=,高h=30sin,其中00).则P=,令P=0,所以R=r.当R0;当Rr时,P0.所以当R=r时,P取极大值,且是最大值,所以Pmax=.答当外电阻R等于内电阻r时,电功率最大,最大电功率为.6题后反思应用导数法解决实际生活中的最值问题的解题步骤:第一步,引入变量将所求问题转化为目标函数;第二步,写出目标函数的定义域;第三步,在定义域范围内利用导数法求出函数最值;第四步,作“答”.四、 课堂练习1. (教材第35页例1)如图所示,在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做
52、成一个无盖的方底铁皮箱,当箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?(第1题)解设箱底边长为x(cm),则箱高为h=(0x60),箱子的容积为V(x)=x2h=30x2-x3(0x0;当x(40,60)时,V(x)0.所以函数V(x)在x=40处取得极大值,这个极大值就是函数V(x)的最大值,即V(40)=30402-403=16 000(cm3).答当箱底边长为40 cm时,箱子容积最大,最大值为16 000 cm3.2. 设底为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长是多少?解设正三角形的边长为a,直棱柱高为h,则V=a2h,所以h=,则S=a2+3a=a2+,S=a
53、-,由S=0a=.当0a,S时,S0.所以当a=时,S取得最小值.五、 课堂小结1. 我们可用导数法解决用料最省(即表面积最小)、功率最大、容积最大等实际问题.2. 应用导数法解决实际问题的解题步骤:第一步,引入变量将所求问题转化为目标函数;第二步,写出目标函数的定义域;第三步,在定义域范围内利用导数法求出函数最值.第15课时导数在实际生活中的应用(2) 教学过程一、 问题情境(教材第37页例题5)在经济学中,生产x单位产品的成本称为成本函数,记为C(x),出售x单位产品的收益称为收益函数,记为R(x),R(x)-C(x)称为利润函数,记为P(x).(1) 如果C(x)=10-6x3-0.00
54、3x2+5x+1000,那么生产多少单位产品时,边际成本C(x)最低?(2) 如果C(x)=50x+10000,产品的单价p(x)=100-0.01x,那么怎样定价可使利润最大?二、 数学建构问题1我们在前面学过边际成本函数、边际收益函数和边际利润函数,它们分别是什么含义?3问题2问题情境中(1)的边际成本函数是什么?4解C(x)=310-6x2-0.006x+5.问题3如何求边际成本的最小值呢?5解令C(x)=g(x),则g(x)=610-6x-0.006=0,解得 x=1000.当x1000时,g(x)1000时,g(x)0,所以g(x)单调递增,所以x=1000时,C(x)最小,即边际成
55、本最低.问题4如何定价能使问题情境中(2)的利润最大呢?6解 由p(x)=100-0.01x,则R(x)=x(100-0.01x),P(x)=R(x)-C(x)=x(100-0.01x)-(50x+10000)=-0.01x2+50x-1000.由P(x)=-0.02x+50=0,解得x=2500,故当x=2500时,利润最大,即P(x)max=P(2500)=75.答生产1000个单位产品时,边际成本最低;当产品的单价为75时,利润最大.三、 教学应用【例1】(教材第36页例4)强度分别为a,b的两个光源A,B间的距离为d,试问:在连结两光源的线段AB上,何处照度最小?试就a=8,b=1,d
56、=3时回答上述问题.(照度与光的强度成正比,与光源距离的平方成反比)(见学生用书P29)处理建议由学生思考交流后给出解决问题的详细答案.规范板书解如图,设P在线段AB上,且P距光源A为x,则P距光源B为3-x(0x3).(例1)P点受A光源的照度为,即;P点受B光源的照度为,即,其中k为比例常数.从而,P点的总照度为I(x)=+(0x3).由I(x)=-+=0,得x=2.当0x2时,I(x)0;当2x0.因此,x=2时I取极小值,且是最小值.答在连结两光源的线段AB上,距光源A为2处的照度最小.【例2】设某银行中的总存款与银行支付给存户的利率的平方成正比,若银行以10%的年利率把总存款的90%
57、贷出,问:给存户支付的年利率定为多少时,才能获得最大利润?(见学生用书P30)处理建议学生思考后请一位学生板书.规范板书解设总存款a元,利率为r,利润为y,则a=kr2(k为比例系数),y=90%a10%-ar=0.09a-ar=0.09kr2-kr3(0r1),y=0.18kr-3kr2=0,所以r=0.06.当0r0;当0.06r1时,y0,当x50时,y0.故x=50时,y取极大值,且是最大值.答组150人的团时旅行社收费最多.2. 如图,一矩形铁皮的长为8cm,宽为5cm,在4个角上截去4个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问:截去的小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?(第2题)
58、解设小正方形的边长为xcm,则盒子底面长为(8-2x)cm,宽为(5-2x)cm,高为xcm.则V=(8-2x)(5-2x)x=4x3-26x2+40x,所以V=12x2-52x+40,令V=0,得x=1或x=(舍去).当0x0;当1x时,V0.所以函数在x=1处取得极大值,即最大值为V(1)=18(cm3).答当截去的小正方形的边长为1cm时,盒子的容积最大.五、 课堂小结1. 本节课我们用导数法解决了边际成本、运输成本、照度问题、银行存款利率等最优化问题.2. 在这两节课所学内容基础上,我们总结概括一下导数解决最优化问题的基本思路,如下图所示.(图1)第16课时本章复习 教学过程一、 数学
59、运用【例1】求下列函数的导数:(1) y=(2x-1)2;(2) y=xlnx+cosx;(3) y=3xex-2x+e;(4) y=.(见学生用书P32)处理建议由4个学生板演.规范板书解(1) y=8x-4.(2) y=1+ln x-sinx.(3) y=(ln 3+1)3xex-2xln 2.(4) y=. 变式求下列函数的导数:(1) y=;(2) y=;(3) y=(x+1)(x+2)(x+3);(4) y=+ .处理建议由学生分组完成后汇总给出答案,讲解时侧重求导方法.规范板书解(1) y=.(2) y=-x-+3x2-2x-3sinx+x-2cosx.(3) y=3x2+12x+
60、11.(4) y=.【例2】(1) 若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,求a,b的值.(见学生用书P32)(2) 已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有公切线,求f(x),g(x)的解析式.处理建议学生口答,教师板书.规范板书解(1) 由题意知点(0,b)在曲线f(x)=y=x2+ax+b上,又因为y=2x+a,所以f(0)=a=k=1,又(0,b)在x-y+1=0上,所以b=1,所以a=1,b=1.(2) f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.【例3】设函数f(x)=ax+(a,bZ),曲线y=f(
61、x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=3.(1) 求y=f(x)的解析式;(2) 求证:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=1、直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.1(见学生用书P32)规范板书解(1) f(x)=a-,依题意知所以由得=3-2a,代入化为4a2-13a+9=0,所以a=1或a=.又因为aZ,所以a=1,所以b=-1,所以f(x)=x+.(2) 设y=f(x)上任意一点为P(x0,f(x0),则P点处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0),又f(x0)=x0+,f(x0)=1-,所以y-x0-=(x-x0).令x=1,则y=1+,故一个交点为1,
62、1+.令y=x,则交点为(2x0-1,2x0-1),另一个交点为(1,1).所以S=|2x0-1-1|=2.二、 课堂练习1. 若曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=-2.提示y=,所以=,所以a=-2.2. 若f(x)=ax4+bx2+c满足f(1)=2,则f(-1)=-2.3. 已知点P在曲线y=上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是.4. 已知f1(x)=sinx+cosx,记f2(x)=f1(x),f3(x)=f2(x),fn(x)=fn-1(x)(nN*且n2),则f1+f2+f2012=0.提示T=4,f1+f2+f3+f4=0,则f1+f2+
63、f2 012=0.三、 课堂小结1. 函数f(x)在点(x0,f(x0)处的导数f(x0)即为曲线y=f(x)在(x0,f(x0)处的切线的斜率.2. 导数的物理意义为:位移S(t)的导数S(t)即为瞬时速度,速度v(t)的导数v(t)即为瞬时加速度.3. 常见函数的求导公式及导数运算法则公式在知识梳理部分已经复习,希望同学们熟记.第2章推理与证明第1课时合情推理归纳推理 教学过程一、 问题情境学生讨论:上述案例中的推理各有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.二、 数学建构问题1什么是推理?解从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.问题2一般的推理由几个部分组成?解任何一个
64、推理都包含前提和结论两个部分.前提是推理所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提推导得出的命题,它告诉我们推理的结论是什么.问题3推理的结论对吗?解推理的结论可能正确,也可能是错误的.问题4上述的推理有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.通过讨论,得出归纳推理的相关概念1. 归纳推理:从个别事实中推演出一般性结论,像这样的推理通常称为归纳推理.2. 归纳推理的思维规程大致为:实验、观察概括、推广猜测一般性结论概念理解归纳推理的特点:(1) 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围;(2) 由归纳推理得到的结论具有猜
65、测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,它不能作为数学证明的工具;(3) 归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.归纳推理基于观察和实验,和“瑞雪兆丰年”等谚语一样,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.三、 数学运用【例1】蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物,由此我们猜想:.3(见学生用书P33)处理建议题目简单,让学生自己解答.规范板书解所有的爬行动物都是用肺呼吸的.【例2】 三角形的内角和是180,凸四边形的内角和是360,凸五边形
66、的内角和是540,由此我们猜想:(n-2)180.4(见学生用书P33)处理建议先由学生讨论,说出推理的理由.规范板书解对于凸n边形,n=3时,内角和180=1801;n=4时,内角和360=1802;n=5时,内角和540=1803;由此我们猜想:凸n边形的内角和是(n-2)180.(2) ,由此我们猜想:(a,b,m均为正实数).5处理建议先由学生讨论,说出推理的理由.规范板书解由此我们猜想:(a,b,m均是正实数).或者:0).题后反思根据已知条件猜想的结论可能不止一个,只要猜想合理就可以.【例3】观察下列的图形中小正方形的个数,则第n个图中有个小正方形.6(见学生用书P33)(例3)处
67、理建议先由学生讨论,说出推理的理由.提示当n=1时,小正方形个数为1+2=3,当n=2时,小正方形个数为1+2+3=6,当n=3时,小正方形个数为1+2+3+4=10,当n=4时,小正方形个数为1+2+3+4+5=15,当n=5时,小正方形个数为1+2+3+4+5+6=21,由此我们猜想:第n个图中小正方形个数为1+2+3+(n+1)=.题后反思根据几个已知条件或现象探寻一般规律的方法通常可以从下面几个方面进行思考:(1) 寻找它们的共同特征,如例1;(2) 寻找它们的变化规律,如例2,边数每增加1个,内角和增加180;(3) 结合图形,观察图形的关系或变化特征,运用直观的方法去探求规律.归纳
68、推理的一般模式:S1具有性质P,S2具有性质P,S3具有性质P,Sn具有性质P(S1,S2,S3,Sn是A类事物的具体对象).所以,A类事物具有性质P.【例4】已知数列的每一项都是正数,a1=1,=+1(n=1,2,3,),试归纳出数列an的一个通项公式.(见学生用书P34)处理建议先由学生讨论,说出推理的理由,体会从特殊到一般的归纳过程.规范板书解当n=1时,a1=1=;当n=2时,a2=;当n=3时,a3=;由此我们猜想an的一个通项公式为an=.四、 课堂练习1. (1) 一元一次方程有1个实数根,一元二次方程最多有2个实数根,一元三次方程最多有3个实数根,由此我们猜想:一元n次方程最多
69、有n个实数根.(2) 先看下面的例子,试写出一般性结论.1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,1+3+5+(2n-1)=n2.2. 对大于或等于2的自然数m的n次方幂,有如下分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.根据上述分解规律,有53=21+23+25+27+29;若m3(mN*)的分解中最小的数是73,则m的值为9. 3. 应用归纳推理猜测(nN*)的值.解当n=1时,=3,当n=2时,=33,当n=3时,=333,归纳发现:=.五、 课堂小结1. 归纳推理是从特殊到一般的推理,要会从几个
70、特殊的个例中学会观察,有时候没有个例,要自己去寻找或设计个例.2. 归纳推理基于观察和实验,一些创造发明往往来自于这些看似简单的活动,如“瑞雪兆丰年”等谚语,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.要在平常的生活中养成观察和思考的习惯,培养创新思维能力.第2课时合情推理类比推理 教学过程一、 问题情境模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,哪些知识板块可以放在一起进行类比呢? 学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可
71、以进行类比,以及具体怎样类比.1. 试根据等式的性质猜想不等式的性质.2等式的性质:猜想不等式的性质:等式不等式(1) 加法法则:a=ba+c=b+c(2) 减法法则:a=ba-c=b-c(3) 乘法法则:a=bac=bc(4) 除法法则:a=bac=bc(c0)(5) 平方法则:a=ba2=b2教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.问题1等式与不等式之间为什么可以进行类比呢?它们在什么方面是相似的?教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“43”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.问题2如何开展类比呢?学生活动模仿就可以.问题3大家通过等式的运算律猜想了不等式的
72、运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢?说明什么?学生活动说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.2. 试将平面上的圆与空间的球进行类比.3处理建议结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.解圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆球弦截面圆直径大圆周长表面积圆面积球体积圆的性质球的性质 圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆 与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等
73、;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大 圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心 以点(x0,y0)为圆心、以r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2以点(x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2在教学的过程中,模仿第1题的方式.问题1平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的?学生活动它们的定义是相似的:圆的定义:平
74、面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.问题2如何展开类比?学生活动因为圆绕着一条直径旋转一周就形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.问题3类比的前提是什么?它的一般步骤是什么?4解进行类比推理时,首先,要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜
75、想;最后,检验这个猜想.二、 数学建构概念理解由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2) 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3) 检验猜想.即观察、比较联想、类推猜测新的结论三、 数学运用【例1】类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.5(见学生用书P35)处理建议可以先启发学生讨论
76、交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.规范板书解在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:加(+) 乘()加数、被加数 乘数、被乘数和 积等等,它们具有下列类似的性质 加法的性质乘法的性质 a+b=b+aab=ba (a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc) a+(-a)=0a=1 a+0=aa0=0题后反思为什么实数的加法和乘法之间有这么多相似之处?当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗?类比推理的一般模式:A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与a,b,c相似或相同)所以B类事
77、物具有性质d.【例2】试找出等差与等比数列的类比知识.6(见学生用书P36)处理建议以学生活动为主,合作交流,将全班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.规范板书解(1) 定义:an+1-an=d =q.(2) 通项公式:an=a1+(n-1)d bn=b1qn-1;an=am+(n-m)d bn=bmqn-m.(3) 等差中项:2an+1=an+an+2 =bnbn+2.(4) 若m+n=p+q,且m,n,p,qN*,则am+an=ap+aq bmbn=bpbq.变式在等差数列an中,若a10=0,则有等式a1+
78、a2+an=a1+a2+a19-n(n19,nN*)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列中,若b9=1,则有等式b1b2bn=b1b2b17-n(n17,nN*)成立.提示本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是:等差数列用减法定义性质用加法表述.例如,若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq;等比数列用除法定义性质用乘法表述.例如,若m,n,p,qN*,且m+n=p+q,则aman=apaq. 由此,猜测本题的答案为:b1b2bn=b1b2b17-n(n17,nN*).题后反思(1) 等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式是an
79、=a1qn-1.两组公式形式上的变化主要体现在“a1+”换成了“a1”,“(n-1)d”换成了“qn-1”,即出现了四则运算中“加法升级为乘法、乘法升级为乘方”这样的对应的升级运算.而这也恰好体现在了等差数列与等比数列这两个数列的名称(或定义)之中:差(-)比().(2) 解题的过程中一些基本的方法是:+,-,乘法乘方,除法开方,但这不是绝对的.(3) 类比推理不能仅把类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结论的运算、推理过程等内在联系进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关系.四、 课堂练习1. (1) 已知正方形面积为边长的平方,那么在立体几何中,与之类
80、比图形是什么?结论是什么?(2) 圆有切线,切线与圆切于1点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论,如何类比到球?(3) 平面内不共线的3点确定1个圆.由此结论,如何类比得到空间的结论?解(1) 类比图形是正方体,结论是正方体的体积为棱长的立方.(2) 球有切面,切面与球切于1点,切点到球心的距离等于球的半径.(3) 空间不共面的4点确定一个球.2. 已知梯形的上底边长为a,下底边长为b,中位线长为m,则m=.若棱台的上底面积为,下底面积为S2,中截面面积为S0,类比梯形的中位线结论,猜想棱台中截面面积满足什么关系.解若棱台的上底面积为,下底面积为S2,则中截面面积S0=.3. 等差数列an中,
81、a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,成等差数列,类比等差数列的结论,猜想等比数列有怎样的结论?结论正确吗?解等比数列an中,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,成等比数列,结论正确.五、 课堂小结1. 类比推理的步骤与方法:第一步,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);第二步,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;第三步,用特例验证猜想或证明猜想.2. 数学中常见的一些类比推理问题:(1) 立体几何与平面几何问题(类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.数学家G.波利亚);(2) 等差数列与等比数列问题;(3)
82、加、减、乘、除运算问题;(4) 进制问题等.第3课时演绎推理 教学过程一、 问题情境问题1类比上面的推理方法,写出你的结论.(1) 所有的金属都能导电,铜是金属,所以,.(2) 在学习整数时,有下面的推理:个位数字是0或5的正整数必是5的倍数,2375的个位数是5,所以.二、 数学建构问题2说说上述推理的特点.解由两个前提和一个结论组成.问题3上述推理的结论对吗?解只要两个前提是正确的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.通过讨论,给出演绎推理的定义.在数学学习中,除了归纳推理、类比推理,我们更多使用的是一种由一般的命题推演出特殊命题的推理方法,例如上述推理“铜能导电”“2375是5的
83、倍数”,像这样的推理通常称为演绎推理.三段论式推理是演绎推理的主要形式,常用的格式为:MP(M是P)SM(S是M)SP(S是P)概念理解(1) 在演绎推理过程中,M起着联系S和P的中介作用,因而M也称为中项.(2) 三段论中包含了3个命题,第一个命题称为大前提,它提供了一个一般性的原理;第二个命题称为小前提,它指出了一个特殊对象,这两个判断结合起来,揭示了一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到第三个命题结论.(3) 为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提或小前提的表述方式.如前面的两个推理,可以分别写成“因为铜是金属,所以铜能导电”,“因为2375的个位数字是5,所以2375是5的倍
84、数”.对于复杂的论证,常常采用一连串的三段论,并把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提.三、 数学运用【例1】(教材第71页例1)如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,BFD=A,DEBA,求证:ED=AF.2(见学生用书P37)(例1)处理建议先让学生证明,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.规范板书证明(1) 同位角相等,两直线平行,(大前提)BFD与A是同位角,且BFD= A,(小前提)所以,DFEA.(结论)(2) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DEBA且DFEA,(小前提)所以,四边形AFDE是平行四边形.(结论)(3) 平行四边形的对边相等,
85、(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以,ED=AF.(结论)题后反思在初中阶段证明平面几何问题时,要在括号内注明理由,这是为什么?【例2】(教材第71页例2)已知a,b,m均为正实数,ba,求证:.3(见学生用书P37)处理建议先让学生证明,再用三段论形式来分析表示,以加深对演绎推理的理解.规范板书证明(1) 不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b0,(小前提)所以mbma.(结论)(2) 不等式两边加上同一个数,不等式仍成立,(大前提)mbma,ab=ab,(小前提)所以ab+mbab+ma,即b(a+m)a(b+m).(结论)(3) 不等式两边除以同一个正数,
86、不等式仍成立,(大前提)b(a+m)0,(小前提)所以,即.(结论)例2的证明通常简略地表述为:mbmaab+mbab+ma0),(大前提)lg8=lg23,(小前提)所以lg8=3lg2.(结论)(2) lg=lga-lgb(a0,b0),(大前提)lg0.8=lg,(小前提)所以lg0.8=lg8-1=3lg2-1=3m-1.(结论)四、 课堂练习1. “若四边形ABCD是矩形,则四边形ABCD的对角线相等”,此推理的大前提是矩形的对角线相等.2. (教材第72页练习第3题)把下列推理恢复成完整的三段论:(1) 因为ABC三边长依次为3,4,5,所以ABC是直角三角形;(2) 函数y=2x
87、+5的图象是一条直线.解(1) 如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,(大前提)ABC三边长为3,4,5,满足32+42=52,(小前提)ABC是直角三角形.(结论)(2) 一次函数的图象是一条直线,(大前提)函数y=2x+5是一次函数,(小前提)函数y=2x+5的图象是一条直线.(结论)3. (教材第72页练习第4题)指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.(1) 整数是自然数,-3是整数,-3是自然数.(2) 无理数是无限小数,是无限小数,是无理数.解(1) 大前提错误.(2) 不符合三段论推理的形式.4. 有下列说法:演绎推理是由一般到特殊的推理
88、;演绎推理得到的结论一定是正确的;演绎推理一般模式是“三段论”形式;演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.上面说法正确的有.(填序号)五、 课堂小结1. 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推导过程.2. 演绎推理具有如下特点:(1) 演绎的前提是一般性原理,演绎所得到的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2) 在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是事实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的,因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3) 演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺
89、少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.3. 演绎推理不仅仅在证明题中常用,在计算题、解答题甚至日常说话中也是经常使用的.这是一种严谨的逻辑思维形式,我们要养成一种认真、严谨的好习惯.第4课时推理案例赏析 教学过程一、 问题情境在前两节中,我们分别对合情推理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察.那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异?合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的?二、 数学建构正整数平方和公式的推导.3处理建议本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生发言、交流各自思路,尝试不同方法,体验归纳推理的过程,教师在这个过程
90、中注意调控和引导,避免学生走一些不必要的弯路.提出问题我们已经知道前n个正整数的和为S1(n)=1+2+3+n=n(n+1),那么,前n个正整数的平方和S2(n)=12+22+32+n2=?问题1如何用你已经掌握的方法来求S2(n)呢?先由学生讨论教师引导思路1(归纳的方案)如下表1所示,列举出S2(n)的前几项,希望从中归纳出一般的结论.表1 n123456 S2(n)1514305591但是,从表1的数据中并没有发现明显的关系.这时我们可能会产生一个念头:S1(n) 与S2(n)会不会有某种联系?如下表2所示,进一步列举出S1(n)的值,比较S1(n)与S2(n),希望能有所发现.表2 n
91、123456 S1(n)136101521 S2(n)1514305591问题2观察S1(n)与S2(n)的相应数据,并没有发现明显的联系.怎么办呢?教师引导尝试计算.终于在计算S1(n)和S2(n)的比时,发现“规律”了.表3 n123456 S1(n)136101521 S2(n)1514305591 从表3中发现=,于是猜想S2(n)=.公式的正确性还需要证明.题后反思上面的数学活动是由那些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?思路2(演绎的方案)尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和.(1) 把正整数的平方表示出来,
92、有12=1,22=(1+1)2=12+21+1,32=(2+1)2=22+22+1,42=(3+1)2=32+23+1,n2=(n-1)2+2(n-1)+1,左右两边相加,得S2(n)=S2(n)-n2+2S1(n)-2n+n,等号两边的S2(n)被消去了,所以无法从中求出S2(n)的值,尝试失败了!(2) 从失败中汲取有用信息,进行新的尝试.前面的失败尝试还是有意义的,因为尽管我们没有求出S2(n),但是却求出了S1(n)的表达式,即S1(n)=n(n+1),它启示我们:既然能用上面方法求出S1(n),那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n).(3) 尝试把两项和的平方公式改为两项和的立
93、方公式.具体方法如下:13=1,23=(1+1)3=13+312+31+1,33=(2+1)3=23+322+32+1,n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1.左右两边分别相加,得S3(n)=S3(n)-n3+3S2(n)-n2+3S1(n)-n+n.由此知S2(n)=,终于导出了公式.题后反思上面的数学活动是由哪些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?三、 数学运用【例1】(教材第77页例2)棱台体积公式的推导.4(见学生用书P39)处理建议本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生讨论、交
94、流各自思路,尝试不同方法,体验类比推理的过程,教师在这过程中注意调控和引导.提出问题问题1怎样求棱台的体积?联系所学推理方法,有什么启发?问题2能通过类比推导出棱台的体积公式吗?问题3什么知识可以和棱台进行类比?问题4怎样对梯形和四棱台作比较?思路以四棱台为例,通过和梯形的类比推导公式. (1) 确定类比对象,对梯形和四棱台作比较,列表找出相似之处.梯形棱台(四棱台)上、下底平行上、下底面平行另外两边不平行另外4个面不平行两腰延长后交于一点4个侧面伸展后交于一点中位线平行于上、下底中截面平行于上、下底面 (2) 对类比对象的进一步分析.梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得
95、到的,而棱台则可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的.据此,应该有如下的对应关系:直线 平面三角形 棱锥梯形 棱台进而有梯形底边长 棱台底面积三角形面积 棱锥体积梯形面积 棱台体积(3) 通过类比推理,建立猜想.求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.已知梯形的面积公式为S梯形=h(a+b),其中 a,b 分别表示梯形上、下底的长度,h 表示高.猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式:V棱台=h(S上+S下),其中S上,S下分别表示棱台的上、下底面积,h表示棱台的高.(4) 验证猜想.式的正确性要通过严格的证明来确认.在作出正式的证明之
96、前,可以先通过具体的例子来加以验证.把棱锥看成棱台的特例,此时,公式中的S上=0,因此有V棱台=hS下,这与实际结果hS下不符,这表明,猜想是错误的,需要修正.于是设想公式具有V棱台=h(S上+S0+S下)的形式,其中S0应该是表示面积的量,它究竟是多少还有待进一步确定.与式相比,公式的分母从2变为3,相应的分子由2项变成3项,这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异.因此,公式从整体结构上就给人一种协调的美感.应该说,公式比公式更合理.既然式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中S0的意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体积公式可知,当S上=0时,S0=0,因此,S0应含
97、有S上的因子.第二,棱台的上底和下底具有同等地位,因此,S上和S下在公式中应该具有同等地位,据此,我们可以猜想S0具有k的形式.第三,进一步确定k的值.仍然使用特殊化的方法,当S上=S下时,棱台变为棱柱,则V棱台=h(S上+k+S下)=hS0.此时S上=S下=S0,所以有k=1,因此,S0=,式即为V棱台=h(S上+S下).四、 课堂练习1. 在数学考试中,甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似,于是他就用相同的方法来解决考试题目,他的想法用的是类比推理.2. 数列an的前4项分别是,3,有些同学说,数列an的通项公式an=,他们的说法用的是归纳推理.3. 已知数列,由此猜想第n个数为.4. “
98、开心辞典”中有这样的问题:给出一组数,要你根据规律填出后面的第几个数.现给出一级数,-,-,则它的第8个数可能是-.五、 课堂小结合情推理和演绎推理的区别和联系.本课的案例说明:(1) 数学发现活动是一个探索创造的过程.这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程.合情推理和演绎推理相辅相成,相互为用,共同推动着发现活动的进程.(2) 合情推理是富于创造性的或然推理.在数学发现活动中,它为演绎推理确定了目标和方向,具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用.(3) 演绎推理是形式化程度较高的必然推理.在数学发现活动中,它具有类似于“实验”的功能,它不仅为合情推理提供了前提,而且可以对猜想作出“判决”和证
99、明,从而为调控探索活动提供依据.对这两种推理在数学活动中的作用,著名的数学家G.波利亚作了精辟的论述:“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个数学定理之前,先得猜测这个定理的内容;在完成详细的证明之前,先得推测证明的思路.创造过程是一个艰苦曲折的过程.数学家创造性的工作是论证推理,即证明.但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的.”第5课时直接证明(1) 教学过程一、 问题情境问题1在数学5(必修)中,我们是如何证明基本不等式(a0,b0)的?3证法一对于正数a,b,有(-)20a+b-20a+b2.证法二要证,只要证2a+b,只要证0a-2+b,只要证0(-)2.因为最后一
100、个不等式恒成立,所以成立.方法3:左边-右边=(比较法)二、 数学建构问题2即时体验题1的证明方法是什么方法?解综合法.问题3问题1的证明方法是什么方法?解证法1是综合法,证法2是分析法.问题4如何用综合法进行证明?解从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止.问题5如何用分析法进行证明?解从问题的结论出发,倒推寻找结论成立的条件,逐步倒推,直到找到使结论成立的条件和已知条件或已知事实相符合.通过讨论,回顾综合法和分析法的定义和特点.从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止.这种证明方法常称为综合法.从问题的结论
101、出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.综合法与分析法的推证过程如下:综合法已知条件结论;分析法结论已知条件.上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的,这种证明通常称为直接证明,直接证明的一般形式为:本题结论综合法和分析法都是直接证法.三、 数学运用【例1】(教材第83页例1)已知AB,CD相交于点O,ACOBDO,AE=BF,求证:CE=DF.4(见学生用书P41)(例1)处理建议先让学生证明,再用分析法倒推分析,体会分析法思路.规范板书证法一(分析法)要证明CE=DF,只需证明ECOFDO,为此只需证明 为了
102、证明CO=DO,只需证明ACOBDO.为了证明EO=FO,只需证明AO=BO,也只需证ACOBDO.由于ACOBDO是已知的,又因为EOC与FOD是对顶角,所以它们相等,从而ECOFDO成立,因此命题成立.题后反思用分析法证明命题,(1) 要注意书写的格式,通常“要证明就要证明”是必不可少的;(2) 要注意条件的关系,后面的条件应该是前面结论成立的充分条件.证法二(综合法)因为ACOBDO,所以CO=DO,AO=BO.因为AE=BF,所以EO=FO.在ECO和FDO中, 所以ECOFDO,所以CE=DF.题后反思综合法的书写比较简洁,但不是简单的把分析法的思路倒过来抄一遍,还要求学会合理组织文
103、字进行表达.【例2】已知a,b,c,dR,分别用分析法和综合法证明:ac+bd.5(见学生用书P42)处理建议先让学生思考,再用分析法倒推寻找证明的思路,然后用综合法书写.规范板书证法一(分析法)当ac+bd0时,显然成立.当ac+bd0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2),即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即证2abcdb2c2+a2d2,即证0(bc-ad)2,因为a,b,c,dR,所以上式恒成立,故原不等式成立,综合知,命题得证.题后反思在上述证明过程中,缺少式环节,直接两边平方的证明思路是不对的.证法二(分析法
104、) 欲证ac+bd,由于ac+bd|ac+bd|对a,b,c,dR恒成立,只需证|ac+bd|,又只要证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2),即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即证2abcdb2c2+a2d2,即证0(bc-ad)2,因为a,b,c,dR,所以上式恒成立,故原不等式成立,命题得证.题后反思运用性质x|x|(即ac+bd|ac+bd|)来过渡的方法是很巧妙的.证法三(综合法)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+2abcd+b2d2+b2c2-2bcad+a2d2=(ac+bd)2+(bc-
105、ad)2(ac+bd)2,所以|ac+bd|ac+bd.题后反思从上面例题可以看出,分析法解题方向较为明确,利于寻找解题思路;综合法条理清晰,宜于表达.因此,在实际解题时,通常先以分析法寻求解题思路,再用综合法有条理地表述解题过程.四、 课堂练习1. 在ABCD中,AEBD,垂足为E;CFBD,垂足为F.求证:AE=CF.证明因为四边形ABCD是平行四边形,所以ABCD且AB=CD,因为ABCD,所以ABD=CDB,因为AEBD,CFBD,所以AEB=CFD=90,所以ABECDF,所以AE=CF.2. 设a,b是两个相异的正数,求证:关于x的一元二次方程(a2+b2)x2+4abx+2ab=
106、0没有实数根.证明因为a,b是两个相异的正数,所以a2+b20且=(4ab)2-4(a2+b2)2ab=8ab(2ab-a2-b2)=-8ab(a-b)2,因为ab,所以(a-b)20,所以=-8ab(a-b)2-.证明要证明-,只需证明+,只需证明(+)2(+)2,展开得8+28+2,即要证 .而显然成立,所以-成立,即原命题得证.4. 设a,b为两个不相等的正数,且a+b=1,分别用分析法、综合法证明:+4.证法一(分析法)因为a0,b0,a+b=1,要证 +4成立,只需证4成立,即需证4成立.即需证ab2,即21,所以ab0,b0,a+b=1,所以1=a+b2,所以21,所以ab4,所以
107、4.即+4,由此命题得证.五、 课堂小结1. 分析法:解题方向比较明确,利于寻找解题思路;综合法:条理清晰,易于表述.通常以分析法寻求思路,再用综合法有条理地表述解题过程.2. 证题过程中注意综合法与分析法结合.在分析法和综合法的思考过程中,“变形”是解题的关键,是最重一步.因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.第6课时直接证明(2) 教学过程一、 问题情境复习回顾:1. 直接证明的一般形式为:本题结论2. (1) 综合法与分析法要点对照表综合法分析法定义从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件
108、,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止思维过程原因结果,又名“顺推证法”,“由因导果法”由结果追溯原因,又名“追溯证法”,“执果索因法”思维特点从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其推理实际上是寻找必要条件从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其推理实际上是寻求充分条件步骤已知条件结论结论已知条件(2) 对分析法证题的说明“若A成立,则B成立”,此命题用分析法证明的一般步骤如下:要证明(或为了证明)B成立,只需证明A1成立(A1是B成立的充分条件),要证A1成立,只需证明A2成立(A2是A1成立的充分条件)要证明Ak成立,只需证明A成立(A是Ak成立的充分条件),因
109、为A成立,所以B成立.注: 每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件,但绝不能是必要不充分条件; 在寻求充分条件时,要联系已知条件,即在一系列可以证明结论的条件中,与题设条件较为接近的条件,才是我们所需要的; “只需证明”“为了证明”“因为A成立,所以B成立”类似这些语言必须有,而且要用它们把每一步连结起来.二、 数学运用【例1】已知abc,求证:+0.1(见学生用书P43)处理建议本题用综合法不容易找到证题思路,因此用分析法探路.规范板书要证原不等式成立,由abc,得a-b0,b-c0,a-c0,因此移项,只需证+.通分,得,即证.只需证(a-c)24(a-b)(b-c)成立.因为4(a-b)
110、(b-c)(a-b)+(b-c)2=(a-c)2,所以,即-0,所以+0.题后反思(1) 分析法和综合法是两种常用的解题方法,但有时候我们常常把这两种方法结合起来使用效果更好.(2) 用分析法寻找思路,用综合法表述过程.分析法解题方向较为明确,有利于寻找解题思路;综合法条理清晰,宜于表述.因此,在实际解题时,通常以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述过程.变式1若a,b,c是不全相等的正数,求证:lg+lg+lglga+lgb+lgc.规范板书证法一(分析法)要证lg+lg+lglga+lgb+lgc,只需证lglg(abc),只需证abc.又0,0,0.且上述三式中的等号不全成立,
111、所以abc.因此lg+lg+lglga+lgb+lgc.注:这个证明中的前半部分用的是分析法,后半部分用的是综合法.证法二(综合法)因为a,b,c是不全相等的正数,所以0,0,0.所以abc,所以lglg(abc),所以lg+lg+lglga+lgb+lgc.变式2设a,b是两个正实数,且ab,求证:a3+b3a2b+ab2.规范板书证法一(分析法)要证a3+b3a2b+ab2成立,只需证(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立,即需证a2-ab+b2ab成立,(因为a+b0)只需证a2-2ab+b20成立,即需证(a-b)20成立.而由已知条件可知,ab,有a-b0,所以(a-b)2
112、0显然成立.所以原不等式成立.证法二(综合法)因为ab,所以a-b0,所以(a-b)20,所以a2-2ab+b20,所以a2-ab+b2ab.因为a+b0,所以(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b),所以a3+b3a2b+ab2.题后反思还有其他证明方法吗?此题可以用作差比较法进行证明.【例2】若实数x1,求证:3(1+x2+x4)(1+x+x2)2.2(见学生用书P43)处理建议在不等式问题的证明方法中,比较法是一种常用的、简单的、主要的方法,有些不等式在用分析法倒推寻找思路时不一定能行,可以用比较法来证明.规范板书证明(差值比较法)3(1+x2+x4)-(1+x+x2)2=3+3x2
113、+3x4-1-x2-x4-2x-2x2-2x3=2(x4-x3-x+1)=2(x-1)2(x2+x+1)=2(x-1)2.因为x1,从而(x-1)20,且+0,所以2(x-1)20,所以3(1+x2+x4)(1+x+x2)2.题后反思(1) 比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法.(2) 用比较法证明不等式的主要步骤是:作差(或作商)、变形、判断符号.(3) 若题设中去掉x1这一限制条件,要求证的结论如何变化?变式已知a,b均为正实数,求证:aabbabba.规范板书证法一(差值比较法)不妨设ab0.因为a-b0,所以abbb0,aa-b-ba-b0.所以aabb-abba=abbb(a
114、a-b-ba-b)0,从而原不等式得证.证法二(商值比较法)设ab0,因为1,a-b0,所以=1.故原不等式得证.题后反思在证明不等式命题的过程中,“变形”是解题的关键.应用因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.三、 课堂练习1. 已知a,b0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.证明因为b2+c22bc,a0,所以a(b2+c2)2abc,因为c2+a22ac,b0,所以b(c2+a2)2abc.因此,a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.2. 已知a,b,c都是正数,且a,b,c成等比数列,求证:a2+b2+c2(a-b+c)2.证明左边-右边=2(a
115、b+bc-ac),因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.又因为a,b,c都是正数,所以0b=b,所以2(ab+bc-ac)=2(ab+bc-b2)=2b(a+c-b)0,所以a2+b2+c2(a-b+c)2.四、 课堂小结1. 对于那些较为复杂的数学命题,不论是从“已知”推向“未知”,或者是由“未知”靠拢“已知”,都有一个比较长的思考过程,只靠分析法或综合法有时较为困难.为保证探索方向准确及过程快捷,人们常常把分析法与综合法两者结合起来使用,即常采取同时从已知和结论出发,寻找问题的一个中间目标.从已知到中间目标运用综合法思索,而由结论到中间目标运用分析法思索,以中间目标为桥梁沟通已知与结论
116、,构建出证明的有效路径.这种思考模式可以概括如下图所示.(图1)综合法与分析法是逻辑推理的重要方法,它对于培养思维的严谨性极为有用.把分析法与综合法结合并列起来进行思考,寻求问题的解答途径,就是人们通常所说的分析-综合法.2. 在不等式的证明中,比较法是一种常用而且有效的方法,也是直接证明不等式的重要方法.第7课时间接证明 教学过程一、 问题情境问题1如何证明命题“在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB与A1C是异面直线”?(图1)证明假设AB与A1C共面.由于经过点C和直线AB的平面只能有1个(即底面ABCD),所以直线A1C和AB都应在底面ABCD内,于是A1在底面ABCD内,这与点A
117、1在底面ABCD外矛盾.因此,直线AB与A1C是异面直线.二、 数学建构1. 反证法一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.2. 反证法的3个步骤:(1) 反设假设命题的结论不正确,即假定原结论的反面为真;(2) 归谬从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;(3) 存真由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.3. 间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立(如反证法),这种不是直接证明的方法称为间接证明,反证法是间接证明的一种常用方法.概念理解1.
118、 反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的.例如:是不是;存在不存在;平行于不平行于;垂直于不垂直于;等于不等于;大(小)于不大(小)于;都是不都是;至少有1个1个也没有;至少有n个至多有(n-1)个;至多有1个至少有2个;唯一至少有2个.2. 归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木,推理必须严谨.3. 导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾.三、 数学运用【例1】(教材第86页例2)求证:不是有理数.2(见学生用书P45)处理建议
119、直接证明一个数是无理数比较困难,我们采用反证法.假设不是无理数,那么它就是有理数.是有理数,我们能得到什么结论?我们知道,任一有理数都可以写成形如(m,n互质,mZ,nN*)的形式.上述分析若学生不会,可以由老师讲解,再让学生模仿,以了解和掌握无理数的证明.规范板书证明假设是有理数,于是,存在互质的正整数m,n,使得=,从而有m=n,因此,m2=2n2,所以 m 为偶数.于是可设m=2k (k 是正整数),从而有4k2=2n2,即n2=2k2,所以n也为偶数,所以m,n有公约数2.这与 m,n 互质矛盾,由上述矛盾可知假设错误,从而是无理数.解题反思(1) 反证法的巧妙之处在于说不清楚的问题,
120、反过来说明,让人看得明明白白.(2) 正是的发现,使人们认识到在有理数之外,还有一类数与1是不可公度的,这就是无理数,从而引发了数学史上的第一次危机,大大推动了数学前进的步伐.【例2】(教材第85页例1)求证:正弦函数没有比2小的正周期.3(见学生用书P45)处理建议对于一些平时不多见的命题证明,要启发学生从数学定义入手,这是一个最简单、最重要的方法,而它往往会被忽视.规范板书证明假设T是正弦函数的周期,且0T2,则对任意实数x都有sin(x+T)=sinx成立,令x=0,得T=k,kZ.又0T1,(2-b)a1,(2-c)b1,则(2-a)c(2-b)a(2-c)b1,又因为a,b,c(0,
121、2),所以(2-a)a=1,同理 (2-b)b1,(2-c) c1,所以(2-a)c(2-b)a(2-c)b=(2-a)a(2-b)b(2-c)c1,所以(2-a)c(2-b)a (2-c)b1,与矛盾,所以假设不成立,所以(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b不可能同时大于1.题后反思本题的关键是归谬找到矛盾,其思路不止一条,要会应用a,b,c的对称关系来消元.举例如下:假设(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b都大于1, 即(2-a)c1,(2-b)a1,(2-c)b1,又因为a,b,c(0,2),所以1,所以1,同理1,1,相加得3+=3,即3b,那么a3b3”,假设的内容是.(填序
122、号) a3=b3;a3b3;a3=b3且a3b3;a3=b3或a3n2.证明当n=1时,2112,不等式显然成立.假设当n=k时不等式成立,即2kk2,那么当n=k+1时,有2k+1=22k=2k+2kk2+k2k2+2k+1=(k+1)2.这就是说,当n=k+1时,不等式也成立.根据,可知对任何nN*不等式都成立.解(1) 缺少第一步,实际上当n=1时,等式不成立.(2) 第二步证明有错.一般地,对自然数k,当k3时,k22k+1才成立.五、 课堂小结数学归纳法:数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理,它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程,是处理有关自然数问题的
123、有力工具.注意的问题:1. 数学归纳法公理:(1) (递推奠基):当n取第一个值n0结论正确;(2) (递推归纳):假设当n=k(kN*,且kn0)时结论正确;(归纳假设)证明当n=k+1时结论也正确.(归纳证明)由(1)(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.2. 注意从n=k到n=k+1时添加项的变化.利用归纳假设创造递推条件,寻求f(k+1)与f(k)的递推关系.3. 要认真书写数学归纳法的证明过程.第9课时数学归纳法(2) 教学过程一、 问题情境数学归纳法是直接证明的一种重要方法,应用十分广泛,主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题,以及探求数列的通项
124、及前n项和等问题.二、 数学运用【例1】设nN*,f(n)=5n+23n-1+1.(1) 当n=1,2,3,4时,计算f(n)的值;(2) 你对f(n)的值有何感想?用数学归纳法证明你的猜想.1(见学生用书P49)处理建议提出问题,学生先独立思考、分析,经过比较归纳,猜想结论(可能不止一个),让学生证明.通过(1)的结果,运用归纳推理,猜想f(n)的规律:8,32,144,680都是偶数,都是4的倍数,都是8的倍数等等,这些结论都是合情的猜想,要学会从中找一个最为适当的猜想.规范板书解(1) 当n=1时,f(1)=51+231-1+1=8=81;当n=2时,f(2)=52+232-1+1=32
125、=84;当n=3时,f(3)=53+233-1+1=144=818;当n=4时,f(4)=54+234-1+1=680=885.(2) 猜想:当nN*时,f(n)=5n+23n-1+1能被8整除.当n=1时,有f(1)=51+231-1+1=8能被8整除,命题成立.假设当n=k时,命题成立,即f(k)能被8整除,那么当n=k+1时,有f(k+1)=5k+1+23(k+1)-1+1=55k+63k-1+1=(5k+23k-1+1)+4(5k+3k-1)=f(k)+4(5k+3k-1).这里,5k和3k-1均为奇数,它们的和(5k+3k-1)必为偶数,从而4(5k+3k-1)能被8整除.又由归纳假
126、设,f(k)能被8整除,所以f(k+1)能被8整除.这就是说,当n=k+1时,命题也成立.根据(1)和(2)可知,命题对任何nN*都成立.解题反思(1) 数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件,否则就可能出现错误;(2) 对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值算出几个特殊值,通过观察找出规律,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立,这就是“归纳猜想证明”的方法,这是我们认识事物、研究事物的一种方法,它既是一种创造性的思维,又是一种严密的逻辑推理.变式n3+5n(nN*)能被哪些自然数整除?规
127、范板书n3+5n(nN*)最大能被6整除. 当n=1时,n3+5n=6,显然成立. 当n=k时,假设n3+5n能被6整除,则n=k+1时,n3+5n=(k+1)3+5(k+1)=n3+3n2+8n+6=n3+5n+3n(n+1)+6,显然也能被6整除.故n3+5n能被1,2,3,6整除.【例2】在平面上画n条直线,且任何2条直线都相交,其中任何3条直线不共点.问:这n条直线将平面分成多少个部分?2(见学生用书P50)处理建议提出问题,学生先独立思考、分析,经过比较归纳,猜想结论(可能不止1个),让学生证明.规范板书解记n条直线把平面分成rn个部分,我们通过n=1,2,3,4,5,画出图形观察r
128、n的情况:(例2)从图中可以看出,r1=2=1+1,r2=4=r1+2=1+1+2,r3=7=r2+3=1+1+2+3,r4=11=r3+4=1+1+2+3+4,r5=16=r4+5=1+1+2+3+4+5.由此猜想rn=1+1+2+3+4+n.接下来用数学归纳法证明这个猜想.(1) 当n=1,2时,结论均成立;(2) 假设当n=k时结论成立,即rk=1+1+2+3+4+k,当n=k+1时第k+1条直线与前面的k条直线都相交,有k个交点,这k个交点将这条直线分成k+1段,且每一段将原有的平面部分分成两个部分,所以rk+1=rk+(k+1)=1+1+2+3+4+k+(k+1),结论也成立.根据(
129、1)和(2),可知对nN*,均有rn=1+1+2+3+4+n,即rn=1+.题后反思一些几何问题规律的发现,需要我们从简到繁,一个一个地画出图形,尝试探索,从而发现规律,证明结论.【例3】已知Sn=1+,求证:1+(n2,nN*).3(见学生用书P50)处理建议应用数学归纳法证明不等式与证明等式的步骤相同,关键是“递推步”的不等式的变形,先让学生证明练习,发现问题,再讨论解决、提炼方法.规范板书证明(1) 当n=2时,=1+=1+,即n=2时命题成立.(2) 假设当n=k时命题成立,即=1+1+,当n=k+1时,=1+1+1+=1+=1+,故当n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,对n
130、N*,n2,1+都成立.题后反思不等式证明中,“递推步”的证明在应用“归纳假设”后,如果一时寻找不到解题思路,可以应用“分析法”的思路倒推分析,再应用综合法进行证明.三、 课堂练习1. 求证:当n取正奇数时,xn+yn能被x+y整除.证明(1) n=1时,x1+y1=x+y,能被x+y整除,命题成立.(2) 假设n=k (k为正奇数)时,有xk+yk能被x+y整除,当n=k+2时,xk+2+yk+2=xkx2+yky2=xkx2+ykx2-ykx2+yky2=(xk+yk)x2-yk(x2-y2)=(xk+yk)x2-yk(x+y)(x-y),因为以上两项均能被x+y整除,所以xk+2+yk+
131、2能被x+y整除,即当n=k+2时命题仍成立. 由(1)和(2)可知,对一切正奇数n,都有xn+yn能被x+y整除.2. 已知数列,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明.解S1=,S2=S1+=,S3=S2+=,S4=S3+=.猜想Sn=,证明: 当n=1时,结论显然成立. 假设当n=k(k1)时结论成立,即Sk=,则当n=k+1时,Sk+1=Sk+=+=, 故当n=k+1时结论也成立.由可知,对于任意的nN*,Sn=.四、 课堂小结归纳是从由特殊到一般的思维,是数学发现的重要方法,有完全归纳法和不完全归纳法之分;数学归纳法既克服了完全归纳法的繁杂、不
132、可行的缺点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足,是一种科学方法;数学归纳法的核心是在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法,实现了从有限到无限的飞跃,使我们认识事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷.第10课时本章复习 教学过程一、 数学运用【例1】已知a,b,c是互不相等的非零实数.求证:3个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有1个方程有2个相异实根.1(见学生用书P51)处理建议与基础训练一同先让学生练习,再作重点点评.规范板
133、书证明假设3个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0都没有2个相异实根,即3个方程没有实数根或者有2个相等的实数根.则所以所以a2+b2+c2-ab-bc-ca0,所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca0,所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20,所以a=b且b=c且c=a,即a=b=c.这与a,b,c是互不相等的非零实数矛盾,所以假设不成立,所以3个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有1个方程有2个相异实根.题后反思对于一些否定性、至多或至少、存在性、唯一性的命题的证明,常常考虑应用反证法进行
134、证明.【例2】用数学归纳法证明:对于任意自然数n,数11n+2+122n+1是133的倍数.2(见学生用书P52)处理建议以学生解答为主,教师把握重点进行讲解:(1)自然数问题,初值n=0;(2)应用归纳假设的结论进行的变形.规范板书证明(1) 当n=0时,11n+2+122n+1=112+121=121+12=133,故n=0时命题成立.(2) 假设当n=k时命题成立,即11k+2+122k+1能被133整除.当n=k+1时,11(k+1)+2+122(k+1)+1=1111k+2+122122k+1=11(11k+2+122k+1)+122122k+1-11122k+1=11(11k+2+
135、122k+1)+122k+1(144-11)=11(11k+2+122k+1)+122k+1133.由归纳假设知11k+2+122k+1及133都能被133整除,所以11(k+1)+2+122(k+1)+1能被133整除,即n=k+1时命题也成立.根据(1)(2)可知,命题对一切自然数n都成立.题后反思(1) 第一步的初始值,可能会:当n=1时,11n+2+122n+1=113+123=(11+12)(112-1112+122)=23(121+144-132)=23133.所以23133能被133整除,即n=1时命题成立.但这是错误的,因为自然数中包括0,所以第一步应验证n=0,而不是n=1.
136、(2) 本题第一步若证明n=1时命题成立,一者计算量较大,二者也不符合自然数集的新定义.证n=0,既方便减少计算量又科学更严密.一般情况,有时为了简化计算常将证明n=1改成证n=0或n=-1,这种技巧称之“提前起点”,提前起点的前提是n为整数,否则递推无法进行.(3) 利用数学归纳法证明整除问题,由归纳假设P(k)能被p整除,证P(k+1)能被p整除,也可运用结论:“P(k+1)-P(k)能被p整除P(k+1)能被p整除.”【例3】设数列an的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,.求:(1) a1,a2;(2) an的通项公式.3(见学生用书P52)处
137、理建议学生参与,教师讲解,课后练习巩固.规范板书解(1) 当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=.当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-,于是-a2-a2=0,解得a2=.(2) 由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,-2Sn+1-anSn=0.当n2时,an=Sn-Sn-1,代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0.由(1)知S1=a1=,S2=a1+a2=+=.由可得S3=,由此猜想Sn=,n=1,2,3,下面用数学归纳法证明这个结论.当n=1时已知结论成立;假设n=k时结论成立
138、,即Sk=,当n=k+1时,由得Sk+1=,即Sk+1=,故n=k+1时结论也成立.综上,由可知Sn=对所有正整数n都成立,于是当n2时,an=Sn-Sn-1=-=,又n=1时,a1=,符合上式.所以an的通项公式an=,n=1,2,3,.二、 课堂练习1. 证明下列等式,并从中归纳出一个一般性的结论:2cos=,2cos=,2cos=,解因为cos=,所以2cos=.因为4cos2-2=2cos=,所以4cos2=2+.又因为cos0,所以2cos=.因为4cos2-2=2cos=,所以4cos2=2+.因为cos0,所以2cos=.一般性的结论:2cos=.2. 求证:方程 x2+2x+2
139、k=0没有有理根.证明原方程可变为(x+1)2=1-2k,解得x=-1.若k是奇数,可设 k=2m-1(m为整数),则1-2k=3-4m,是4的倍数加3;但是,奇数的平方 (2n+1)2=4n(n+1)+1是4的倍数加1,所以,1-2k不是完全平方数;所以,是无理数,所以方程 x2+2x+2k=0没有有理根.3. 设k是奇数,求证:方程x2+2x+2k=0没有有理根.证明假设方程存在有理根x=,其中a,b为互素的整数,则代入方程得 +2+2k=0,即a2+2ab+2kb2=0,解得a=bb ,因为a是整数,所以是整数,所以1-2k是平方数,因为k是奇数,所以可以设为k=2n+1,n是整数,1-
140、2k=1-2(2n+1)=-4n-10,所以n-,n-1,因此-4n-1可以表示为4m+3的正整数(m是自然数). 但是,任意一个正整数,如果是偶数,可以表示为(2n)2=4n2是4的倍数;如果是奇数,可以表示为(2n+1)2=4n2+4n+1=4(n2+n)+1,也就是除以4余1.因此4m+3不可能是平方数,因此原假设错误,方程没有有理根.四、 课堂小结1. 合情推理的结果不唯一,关键是要把握“合情”二字.2. “三段论”是构成严格证明和推理的基础,要学会用“三段论”的形式去判断自己的证明过程是否正确.3. 数学归纳法只能证明与整数相关的一些命题,即命题中的n为大于或等于n0(n00)的所有
141、自然数,否则,运用数学归纳法证明是没有意义的.第3章数系的扩充与复数的引入第1课时数系的扩充 教学过程随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.一、 问题情境怎样将实数集进行扩充,使得x2=-1之类方程在新的数集中有解呢?二、 数学建构问题1怎样解决-1也能开平方的问题?解引入虚数单位i,规定: i2=-1; 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.i是-1的一个平方根.问题2根据
142、虚数单位的规定,得到形如a+bi(a,bR)的数,这样的新数由两部分组成,用怎样的名词定义这样的新数?解 复数的定义:形如a+bi(a,bR)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示. 复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,bR),把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式.问题3复数与实数有什么关系?解对于复数a+bi(a,bR),当且仅当b=0时,复数a+bi(a,bR)是实数a;当b0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0.(图1)学生分组活动活动1复数集
143、C和实数集R之间有什么关系?活动2如何对复数a+bi(a,bR)进行分类?活动3复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗?问题4a=0是z=a+bi为纯虚数的充分条件吗?解是必要不充分条件.问题5两个复数相等的充要条件是什么?解两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,如果a,b,c,dR,那么a+bi=c+dia=c,b=d.问题6:任何两个复数都能比较大小吗?解如果两个复数都是实数,就可以比较大小;当两个复数不全是实数时,不能比较大小.三、 数学运用【例1】(教材第110页例1)写出复数4,2-3i,0,-+i,5+i,6i
144、的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.1(见学生用书P54) 处理建议让学生口答,根据复数的定义,学生一般能回答这个问题,指出复数由两部分组成.规范板书解4,2-3i,0,-+i,5+i,6i的实部分别是4,2,0,-,5,0;虚部分别是0,-3,0,6.4,0是实数;2-3i,-+i,5+i,6i是虚数,其中6i是纯虚数.题后反思对于复数z=a+bi(a,bR),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的重要思路之一.变式实数0是复数吗?i2的实部与虚部分别是什么?规范板书解0是复数;由i2=-1知,i2实
145、部为-1,虚部为0.【例2】(教材第110页例2)实数m取什么值时,复数z=m(m-1)+i(m-1)是:(见学生用书P54)(1) 实数?(2) 虚数?(3) 纯虚数?2处理建议先分析,注意字母的取值范围.由mR可知(m-1),m(m-1)都是实数,根据复数的分类分别确定m的值.然后让学生上黑板板书,看学生是否是先列式后求解.尤其观察学生有没有对纯虚数分实部、虚部两个方面列式.规范板书解(1) 当m-1=0,即m=1时,复数z是实数.(2) 当m-10,即m1时,复数z是虚数.(3) 当m(m-1)=0,且m-10,即m=0时,复数z是纯虚数.题后反思判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数
146、、虚数、纯虚数,首先要观察参数的取值范围,然后正确列式、解方程或不等式.变式m取何实数时,复数z=+(m2-2m-15)i 是:(1) 实数?(2) 虚数?(3) 纯虚数?规范板书解(1) 由解得所以当m=5时,z是实数.(2) 由得所以当m5且m-3时,z是虚数.(3) 由得所以当m=3或m=-2时,z是纯虚数.题后反思判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值有意义,如果忽略了实部是含参数的分式中的分母m+30,就会酿成根本性的错误;其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关键,多与少都是不对的,解答后进行验算是很有必要的.【例3】(教材第111页例3)
147、已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,求实数x,y的值.3(见学生用书P54)处理建议要让学生规范表达和书写,把复数相等转化为求实数方程组的解.规范板书解根据两个复数相等的充要条件,可得 解得 题后反思复数问题实数化.变式已知M=1,(m2-2m)+(m2+m-2)i,P=-1,1,4i,若MP=P,求实数m的值.规范板书解因为MP=P,所以MP. 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解得m=2.综上可知m=1或m=2.题后反思(1) 复数相等的条件,是求复数值及在复数集内解方程的重要依据.(2) 根据
148、复数相等的定义可知,在a=c,b=d中,只要有一个不成立,那么a+bic+di.所以,一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如,1+i和3+5i不能比较大小.*【例4】已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(kR),且z0,求k的值.4处理建议分析条件,由z0知zR且实部为负数.规范板书解因为z0,kR,所以所以k=2.题后反思只有两个复数都是实数时,才能比较大小.一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如,2i和3i不能比较大小.四、 课堂练习1. 设C=x|x为复数,A=x|x为实数,B=x|x为纯虚数,全集U=C,那么下列结论正确的是.(填序号)AB=
149、C;UA=B;AUB=;BUB=C.2. 已知a,bR,则a=b是(a-b)+(a+b)i为纯虚数的必要不充分条件.3. 已知复数z=m2 (1+i)-(m+i)(mR),若z是实数,则m的值为1;若z是虚数,则m的取值范围是(-,-1)(-1,1)(1,+);若z是纯虚数,则m的值为0.提示z=(m2-m)+(m2-1)i.当m2-1=0,即m=1时,复数z是实数.当m2-10,即m1时,复数z是虚数.当m2-m=0,且m2-10,即m=0时,复数z是纯虚数.4. 若实数x,y满足(x+y)+(x-y)i=2,则xy的值是1.提示由(x+y)+(x-y)i=2(x,yR)得所以所以xy=1.
150、五、 课堂小结1. 本节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部及有关分类问题,复数相等的充要条件等概念.2. 基本思想是:利用复数的概念,联系以前学过的实数的性质,对复数的知识形成较完整的认识,以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题.第2课时复数的四则运算(1) 教学过程一、 问题情境由(2+3x)+(1-4x)=3-x类比猜想,能否按同样的法则实施复数的加法呢?例如,(2+3i)+(1-4i)=3-i是否合理?二、 数学建构问题1在复数集中两个复数如何进行加法运算?解在引入虚数单位i的过程中,规定i与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算.在对复数的加法进行运算
151、时,又作一次新的规定:规定:若z1=a+bi,z2=c+di,则z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.问题2在实数范围内,两个数的加法满足哪些运算律?在复数范围内,能否也成立?问题3怎样理解复数的减法法则?解复数减法是复数加法的逆运算.设(a+bi)-(c+di)=x+yi(x,yR),即复数x+yi为复数a+bi减去复数c+di的差.由规定,得(x+yi)+(c+di)=a+bi,依据加法法则,得(x+c)+(y+d)i=a+bi,依据复数相等定义,得 即 故(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.从而记z1=a+bi,z2=c+di,得z1-z2=
152、(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.问题4初中学习了多项式乘以多项式,你们能化简(a+b)(c+d)吗(a,b,c,d是有理数)?积还是无理数吗?若将“”换为“i”,其中i是虚数单位,能化简吗?(a,b,c,d都是实数)解 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd=(ac+2bd)+(ad+bc) .因为a,b,c,dQ,所以ac,2bd,ad,bc都是有理数.所以ac+2bdQ,ad+bcQ.而是无理数,当ad+bc0时,(a+b)(c+d)是无理数.又(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(因为i2=-1,所以才能
153、合并) 因为a,b,c,dR,所以ac-bdR,ad+bcR.所以(ac-bd)+(ad+bc)i是复数.这就是两个复数的代数形式的乘法运算法则,于是规定复数的乘法按照以下的法则进行:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.问题5实数的乘法满足哪些运算律?复数中能类比吗?解实数中的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律.这些在复数集中的乘法运算也是成立的,即z1,z2,z
154、3C,有(1) z1z2=z2z1;(2) (z1z2)z3=z1(z2z3);(3) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.复数的代数式相乘,可按多项式类似的办法进行,只是在运算过程中把i2换成-1,然后把实部与虚部分别合并,不必去记公式.问题6复数z=a+bi的共轭复数是什么?特别地,实数a的共轭复数是什么?解=a-bi;实数的共轭复数是它本身.三、 数学运用【例1】(教材第114页例1)计算:(1-3i)-(2+5i)+(-4+9i).1(见学生用书P55)处理建议类比多项式合并同类项法则,把实部与虚部分别相加减.规范板书解原式=(1-2-4)+(-3-5+9)i=-5+i.题后反思不
155、要省略步骤,提高运算的正确率.变式计算(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+(-2002+2003i)+(2003-2004i).规范板书解法一原式=(1-2+3-4+-2002+2003)+(-2+3-4+5+2003-2004)i=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i.解法二因为(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,(2001-2002i)+(-2002+2003i)=-1+i,相加得(共有1001个式子):原式=1001(-1+i)+(2003-2004i)=(2003-1001)+(100
156、1-2004)i=1002-1003i.【例2】(教材第114页例2)计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i).2(见学生用书P56)处理建议3个复数相乘,先计算其中两个复数的积,再与第3个复数相乘.规范板书解原式=(-8+i)(-1+3i)=5-25i. 题后反思也可以计算后两个复数的积,再与第1个复数相乘,从而验证复数乘法满足结合律.【例3】(教材第114页例3)计算(a+bi)(a-bi).3(见学生用书P56)处理建议类比多项式平方差公式,要记得把i2换成-1.规范板书解原式=a2-(bi)2=a2+b2.题后反思在复数集内,两个实数的平方和也能分解因式.变式在复数范围内分解因式:(
157、1) x2+4;(2) x4-4.规范板书解(1) x2+4=(x+2i)(x-2i).(2) x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x+i)(x-i)(x+)(x-).*【例4】已知z=(3i-1)i,则 =-3+i.4处理建议先进行乘法运算,然后根据共轭复数的定义求出结果.规范板书解z=(3i-1)i=-3-i,所以=-3+i.题后反思认清符号表示z的共轭复数.*【例5】已知z-3i=1+3i,求复数z.5处理建议这是一道复数方程,利用复数相等的充要条件把复数方程转化为实数方程组.规范板书解设z=a+bi(a,bR),则a2+b2-3i(a-bi)=1+3i,所以有a2+b2-3b=1且-
158、3a=3,解得a=-1,b=0或b=3,故z=-1或z=-1+3i.题后反思待定系数法解复数方程.四、 课堂练习1. 计算:(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=4+8i.提示(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=(6+3-5)+(6-1+3)i=4+8i.2. 复数z=i2(1+i)的虚部为-1.提示z=i2(1+i)=(-1)(1+i)=-1-i,所以虚部为-1.3. 若复数z=-1+2i,则复数的虚部是-2.提示因为z=-1+2i,所以=-1-2i,所以虚部为-2.4. 把复数z的共轭复数记作,i为虚数单位,若z=1+i,则(1+z)=3-i.提示(1+z)=(2+i)(1-i)=3
159、-i.5. (教材第115页练习6)求满足下列条件的复数z:(1) z+i-3=3-i;(2) +(3-4i)=1;(3) (3-i)z=4+2i;(4) (-i)z=+i.解(1) z=6-2i.(2) =-2+4i,z=-2-4i.(3) z=1+i.(4) z=+i.五、 课堂小结1. 这节课我们学习了复数代数形式的加、减法运算及乘法运算.2. 基本思想是:类比多项式的运算,理解复数的相关运算.6第3课时复数的四则运算(2) 教学过程一、 问题情境在实数中,除法运算是乘法的逆运算.类似地,可以怎样定义复数的除法运算?二、 数学建构问题1复数的除法法则是什么?解设复数a+bi(a,bR)除
160、以c+di(c,dR),其商为x+yi(x,yR),其中c+di0,即(a+bi)(c+di)=x+yi.因为(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i,所以(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.由复数相等的定义可知 解这个方程组,得于是有(a+bi)(c+di)=+i.由于c+di0,所以c2+d20,可见两个复数的商仍是一个复数.利用待定系数法和等价转化的思想来推导除法法则,最后再利用两个复数相等的定义解.问题2初中我们学习的化简无理分式时,采用的分母有理化的思想方法,而c+di的共轭复数是c-di,能否模仿分母有理化的方法对复数商的形式进行分母实数化?解=+i.所以
161、(a+bi)(c+di)=+i.三、 数学运用【例1】i+i2+i3+i2 010+i2 011+i2 012.1(见学生用书P57)处理建议in是周期出现的,in+in+1+in+2+in+3=0(nN*).规范板书解原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+(i2 009+i2 010+i2 011+i2 012)=0.题后反思可能有学生考虑用等比数列求和公式.原式=0,这个方法也很好.变式计算i+2i2+3i3+1 997i1 997.规范板书解原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+(1993i-1994-1995i+1996
162、)+1 997i=499(2-2i)+1 997i=998+999i.【例2】(教材第116页例4)设=-+i,求证:(1) 1+2=0; (2) 3=1;(3) 2=,=.2(见学生用书P57)处理建议先计算2,再做加法.规范板书证明(1) 1+2=1+=+i+-2i+=+i+-i-=0. (2) 3=+3i+3+=-+i+-i=+i=1.(3) =1,由(2)知2=,同理=.题后反思对于第(2)小题,也可以这样做,要证3=1,只要证3-1=0即可.由3-1=(-1)(2+1)=(-1)0=0,由此可知,1有3个立方根:1,.变式设z=+i,求证:(1) 1-z+z2=0;(2) z3=1;
163、(3) z2=-. 规范板书解由例2知 z=+i=-,所以=-.(1) 1-z+z2=1+(-)2=1+=0.(2) z3=(-)3=1.(3) z2=(-)2=-.【例3】计算:(1+2i)(3-4i).3(见学生用书P58)处理建议用两种方法做复数的除法运算.规范板书解法一设(1+2i)(3-4i)=x+yi,所以1+2i=(3-4i)(x+yi),1+2i=(3x+4y)+(3y-4x)i.所以3x+4y=1且3y-4x=2.所以x=-,y=.所以(1+2i)(3-4i)=-+i.解法二(1+2i)(3-4i)=-+i.题后反思解法一根据复数相等的充要条件应用待定系数法求复数,是常用的方
164、法之一;解法二体现了复数问题实数化的基本思想.变式计算.解原式=1-i. *【例4】计算+.4处理建议先计算=-i,再利用in的周期性;对于,不易发现分子与分母的关系,可先启发寻找a+bi与b-ai之间的关系.规范板书解原式=+=-i+(-i)1997=-2i.题后反思在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度.又如(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,=i.变式计算:i2 007+(+i)8-+.解原式=i4501+3+2(1+i)24-+=i3+(4i)4-+i=-i+256+i=256+=256-i.*【例5】已知z2=8+6i,求复数f(z)=z3-1
165、6z-的值.5处理建议利用待定系数法,求出z,再代入求f(z).规范板书解设z=x+yi(x,yR),所以由得y=,代入得x2-=8,所以x4-8x2-9=0,所以x2=9或x2=-1(舍去).所以x=3.当x=3时,y=1;当x=-3时,y=-1.所以z=(3+i).当z=3+i时,f(3+i)=(3+i)3-16(3+i)- =33+332i+33i2+i3-48-16i-=27+27i-9-i-48-16i-30+10i=-60+20i.当z=-3-i时,f(-3-i)=(-3-i)3-16(-3-i)- =-(27+27i-9-i)+48+16i+=60-20i.题后反思通过此例,会求
166、任意一个复数的平方根,会在复数范围内求函数式的值.四、 课堂练习1. 复数-i+=-2i .提示-i+=-i-i=-2i.2. 计算: (1) ;(2) .解(1) =-i.(2) 解法一=i.解法二=i.3. =-i.解=i2 011=i3=-i.4. 在复数范围内写出方程x4=1的根.解x4-1=(x2-1)(x2+1)=(x+1)(x-1)(x+i)(x-i),所以方程x4=1的根为1,-1,i,-i.五、 课堂小结1. 在进行复数四则运算时,我们既要做到会做,会解,更要做到快速解答.在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度,例如:(1+i)2=2i,(1-i)2
167、=-2i,=i,=-i;若=-+i,则1+2=0,3=1;=i.2. 在进行复数的四则运算时,容易出现的错误有:(1) 由于对i的性质掌握不准确致误. 如“i2=1”“i4=-1”等在计算中是常见的错误.事实上,i2=-1,i4=1. (2) 在计算除法运算时出错. 因为复数的除法运算是四则运算中最麻烦的一种,常会出现一些计算上的错误.第4课时复数的几何意义 教学过程一、 问题情境实数可以用数轴上的点来表示.实数 数轴上的点.类比实数的表示,复数能否也用点来表示?二、 数学建构问题1怎样用平面内的点表示复数?怎样理解复平面、实轴、虚轴?解复数z=a+bi(a,bR)与有序实数对(a,b)是一一
168、对应关系,而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点Z(a,b)是一一对应的,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.复数z=a+bi(a,bR)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数. 因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.问题2复数与从原点出发的向量是如何对应的?解复数z=a+bi(a,bR)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.问题3我们知道任何一个实数都有绝对值,它表示数轴上与
169、这个实数对应的点到原点的距离;那么我们可以给出复数的绝对值的概念吗?复数可以用向量表示,任何一个向量都有模(或绝对值),它表示向量的长度,那么复数的模与向量的模有什么联系?复数的模的几何意义是什么?解|z|= |,表示复平面内该点到原点的距离.问题4既然复数可以用向量表示,那么复数的加法有什么几何意义呢?1 问题5复数减法是复数加法的逆运算,怎样利用向量减法的几何意义来认识复数减法的几何意义?两个复数差的模有什么几何意义?2解|z1-z2|表示复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.通过该部分内容的学习,认识到复数加、减法的法则与平面向量加、减法的坐标形式是完全一致的,将数学不同知识之间建立起
170、了联系.三、 数学运用【例1】(教材第121页例1)在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.3(见学生用书P59)处理建议让学生上黑板画图,体会复数z=a+bi(a,bR)可用点Z(a,b)表示,也可以用原点O为起点的向量表示.规范板书如图,点A,B,C,D,E分别表示复数4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.(例1)与之对应的向量可用,来表示.题后反思了解复数的两种几何表示,常把复数z=a+bi说成点Z或向量.变式1在复平面内分别用点表示复数2-3i,5i,-3,-5+3i及其共轭复数.规范板书解复数2-3i,5i,-3,-5+3i表示的点分别为A,
171、B,C,D,其对应的共轭复数表示的点分别为A,B,C,D.作图如下:(变式)题后反思z,在复平面内对应的点关于x轴对称.变式2已知z=(x+1)+(y-1)i 在复平面所对应的点在第二象限,求x与y的取值范围.规范板书解由题得所以【例2】(教材第121页例2)已知复数z1=3+4i,z2=-1+5i,试比较它们模的大小.4(见学生用书P60)处理建议要求学生口答复数模的计算公式.思考:z1,z2不能比较大小,为什么它们的模可以比较大小?规范板书解因为|z1|=5,|z2|=,所以|z1|z2|.题后反思正确记忆复数模的计算公式,防止出现|z|=a2+b2;任意两个复数,它们的模都可以比较大小,
172、但是两个复数,只要其中有一个不是实数,它们就不能比较大小.从自然数集逐步扩展到实数集,顺序性始终都是保持着的,但是在复数集中这一性质失去了.变式1已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,那么实数x的取值范围是.提示由题意知(x-1)2+(2x-1)210,解得-x2.变式2已知复数z1=a+bi,z2=1+ai(a,bR),若|z1|z2,则b的取值范围是(-1,1).提示因为|z1|z2,所以z2为实数,故a=0,所以1,即|b|1,-1b1,所以b的取值范围是(-1,1).【例3】(教材第121页例3)设zC,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?5(1) |z|=2;(2) 2|z
173、|3.(见学生用书P60)处理建议区分关于复数模的等式与不等式的几何意义.规范板书(1) 因为|z|=2,即|=2,所以满足|z|=2的点Z的集合是以原点为圆心、以2为半径的圆,如图(1).(例3(1)(例3(2)(2) 不等式2|z|2的解集是圆|z|=2外部所有点组成的集合,不等式|z|3的解集是圆|z|=3内部所有点组成的集合,这两个集合的交集就是上述不等式组的解集.因此,满是条件2|z|3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界,如图(2).题后反思了解复数模的几何意义,|z|表示复平面内该点到原点的距离.关于复数模的不等式组的几何意义是圆环
174、(要区分是否包括边界).变式已知复数z满足条件z=x+yi,x0,且x2+y29,求此复数在复平面内表示的图形.规范板书解如图所示,所求图形是以原点O为圆心的半径为3个单位长度的扇形OAB的内部,不包括边界和半径OA,OB.(变式) *【例4】设全集U=C,A=z|z|-1|=1-|z|,zC,B=z|z|1,zC,若zA(UB),求复数z在复平面内对应的点的轨迹.6处理建议求复数z在复平面内对应的点的轨迹,由复数模的几何意义可知,只需求出|z|所满足的条件即可.而这由zA(UB)及集合的运算即可得出.规范板书解因为zC,所以|z|R,所以1-|z|R,由|z|-1|=1-|z|,得1-|z|
175、0,即|z|1,所以A=z|z|1,zC.又因为B=z|z|2i;|2+3i|1-4i|;|2-i|2i4; i2-i. 提示由两个复数如果不都是实数就不能比较大小可知错误.又因为|2+3i|=,|1-4i|=,所以|2+3i|2i4=2,故正确.2. 复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为第四象限.提示因为z=-i,所以复数z对应的点的坐标为,在第四象限.3. 若复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为5. 提示复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点分别为(3,-5),(1,-1),(-2,a),所以由三点共线的条件可得=,
176、解得a=5.4. 已知z1,z2为复数,且|z1|=1,若z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是4.提示由z1+z2=2i得z1=2i-z2,代入|z1|=1得|2i-z2|=1,所以|z2-2i|=1,即z2轨迹是以(0,2)为圆心、以1为半径的圆(如图).又z1轨迹为以原点为圆心、以1为半径的圆,故|z1-z2|为两圆上点的距离,最大值为4.(第4题)五、 课堂小结1. 复数z=a+bi(a,bR)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi).2. 复数z=a+bi(a,bR)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.3. |z|=|.4. 复数z=a+bi、点Z(a,b)和向量之间的关系如下图所示.正因如此,常把复数z=a+bi说成点Z或向量.这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),这增加了解决复数问题的途径.(图1)