1、习题课一 匀变速直线运动的三个公式和三个推论 能力形成合作探究一、匀变速直线运动的三个公式(科学思维科学推理)射击时，若把子弹在枪筒中的运动看作匀加速直线运动，设子弹的加速度 a5105 m/s2，枪筒长 x0.64 m。求子弹射出枪口时的速度。提示：以子弹射出枪口时速度 v 方向为正方向由位移公式：xv0t12 at2又由速度公式：vv0at可得：v2v20 2ax代入数据求得：v800 m/s则子弹射出枪口的速度为 800 m/s。匀变速直线运动基本公式比较一般形式特殊形式(v00)不涉及的物理量速度公式vv0atvatx位移公式xv0t12 at2x12 at2v位移速度关系式v2v20
2、 2axv22axt匀变速直线运动基本公式具有矢量性，一般规定初速度的方向为正方向。【典例】短跑运动员完成 100 m 赛跑的过程可简化为匀加速直线运动和匀速直线运动两个阶段。一次比赛中，某运动员用 11.00 s 跑完全程。已知运动员在加速阶段的第 2 s 内通过的距离为 7.5 m，求该运动员的加速度大小及在加速阶段通过的距离。【解题探究】(1)短跑运动员可以分成哪两个运动过程？提示：运动员的匀加速阶段和匀速阶段。(2)本题用到哪些运动学公式？提示：vv0at 和 xv0t12 at2【解析】如图所示，A 点为运动员的加速起点，AB、BC 分别对应运动员的匀加速阶段和匀速阶段，在 C点到达
3、终点。在第 1 s 和第 2 s 内运动员都做匀加速直线运动，设运动员在匀加速阶段的加速度为 a，在第 1 s 和第 2 s 内通过的位移分别为 x1 和 x2，由运动学规律得x112 at20 x1x212 a(2t0)2t01 s解得 a5 m/s2设运动员做匀加速运动的时间为 t1，匀速运动的时间为 t2，匀速运动的速度为 v，跑完全程的时间为 t，全程的距离为 x，依题意及运动学规律得 tt1t2vat1x12 at21 vt2设加速阶段通过的距离为 x，则 x12 at21解得 x10 m答案：5 m/s2 10 m解决匀变速直线运动问题的方法1(2021杭州高一检测)我国新研制的两
4、种型号穿甲弹 A1 和 A2，均能很好地穿透钢板，若它们的出膛初速度分别可达 1.8 km/s 和 1.5 km/s，能穿透同一种钢板厚度的极限值分别为 600 mm 和 450 mm，那它们穿透钢板过程的加速度之比约为()A3625 B910C2725 D2523【解析】选 C。设穿甲弹 A1 和 A2 的加速度为 a1 和 a2，根据公式 v2v20 2ax 可得：0(1.8103 m/s)22a10.6 m0(1.5103 m/s)22a20.45 m解得：a1a2 2725故 A、B、D 错误，C 正确。2某航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统。已知某型号战斗机在跑道上加速时，产生的最
5、大加速度为 5 m/s2，起飞的最小速度是 50 m/s，弹射系统能够使战斗机具有的最大速度为 30 m/s，则：(1)战斗机起飞时在跑道上至少加速多长时间才能起飞？(2)航空母舰的跑道至少应该多长？【解析】(1)战斗机在跑道上运动的过程中，当有最大弹射速度、最大加速度时，起飞所需的时间最短，故有tvv0a50305s4 s，则战斗机起飞时在跑道上的加速时间至少为 4 s。(2)根据速度位移关系式 v2v20 2ax 可得，xv2v202a50230225m160 m，即航空母舰的跑道至少为 160 m。答案：(1)4 s(2)160 m【补偿训练】在交通事故分析中，刹车线的长度是很重要的依据
6、。刹车线是汽车刹车后，停止转动的轮胎在地面上滑动时留下来的痕迹。在某次交通事故中，汽车刹车线的长度为 14 m，假设汽车刹车的加速度大小为 7 m/s2，则汽车开始刹车时的速度为(g 取 10 m/s2)()A7 m/sB14 m/sC10 m/sD20 m/s【解析】选 B。刹车时加速度大小为 7 m/s2，刹车是减速到零的匀变速运动，根据2axv20 可得 v 2ax 14 m/s，B 正确。二、匀变速直线运动的三个推论匀变速直线运动中的平均速度公式(科学思维科学推理)斑马奔跑的速度快而持久，每小时可达到 6080 km。假设斑马沿直线奔跑。(1)若斑马需奔跑 80 km，则斑马奔跑的时间
7、长短取决于什么因素？(2)做匀变速直线运动的物体的平均速度与初、末速度有什么关系？提示：(1)平均速度。(2)v v0v21平均速度公式：v vt2 v0v2，即做匀变速直线运动的物体在任意一段时间 t 内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半。2推导：设物体做匀变速直线运动的初速度为 v0，加速度为 a，t 时刻的速度为 v由 xv0t12 at2 得，平均速度 v xt v012 at由 vv0at 知，当 tt2 时有 vt2 v0at2 由得 v vt2又 vvt2 at2 由解得 vt2 v0v2综上所述有 v vt2v0v2。提醒：公式 v
8、 vt2 v0v2只适用于匀变速直线运动，v xt 适用于所有运动。【典例 1】某汽车从车站由静止开出，做匀加速直线运动，运动了 12 s 时，发现还有乘客没上来，于是汽车立即做匀减速运动至停下，共历时 20 s，运动了 50 m，求汽车在上述运动中的最大速度。【解析】法一：基本公式法设最大速度为 vmax，由题意得 xx1x212 a1t21 vmaxt212 a2t22，tt1t2，vmaxa1t1，0vmaxa2t2，解得 vmax 2xt1t225020m/s5 m/s。法二：平均速度法由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动，故前、后两阶段的平均速度均为最大速度 vmax 的一半，即
9、 v 0vmax2vmax2，由 x v t 得 vmax2xt5 m/s。答案：5 m/s中点位置的瞬时速度公式的理解及应用(科学思维科学推理)1中点位置的瞬时速度公式：vx2 v20 v22，即在匀变速直线运动中，某段位移的中点位置的瞬时速度等于这段位移的初、末速度的“方、均、根”值。2推导：如图所示，前一段位移 v2x2 v20 2ax2，后一段位移 v2v2x2 2ax2，所以有 v2x2 12(v20 v2)，即有 vx2 12（v20 v2）。公式 vx2 v20 v22只适用于匀变速直线运动。对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度和
10、中间时刻的瞬时速度哪个较大？提示：对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度都大于中间时刻的瞬时速度，即 vx2 vt2。【典例 2】(多选)一个做匀变速直线运动的物体先后经过 A、B 两点的速度分别为 v1 和 v2，AB 位移中点速度为 v3，AB 时间中点速度为 v4，全程平均速度为 v5，则下列结论中正确的有()A物体经过 AB 位移中点的速度大小为v1v22B物体经过 AB 位移中点的速度大小为v21 v222C若为匀减速直线运动，则 v3v2v1D在匀变速直线运动中一定有 v3v4v5【解析】选 B、D。由题意可知，在匀变速直线运动中，物
11、体经过 AB 位移中点的速度为 v3v21 v222，时间中点的速度为 v4v1v22，A 错误，B 正确；全程的平均速度为 v5v1v22，不论物体做匀加速还是匀减速直线运动都有 v3v4v5，若物体做匀加速直线运动，则 v1v2，故 D 正确，C 错误。逐差相等公式的理解及应用(科学思维科学推理)1逐差相等公式：xxxxxaT2，即做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间 T 内的位移分别为 x、x、x、xN，则匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。2推导：x1v0T12 aT2，x2v02T42 aT2，x3v03T92 aT2所以 xx1v0T12 aT2，
12、xx2x1v0T32 aT2，xx3x2v0T52 aT2故 xxaT2，xxaT2，所以 xxxxxaT2。提醒：该推论只适用于匀变速直线运动，对于不相邻的任意两段位移：xmxn(mn)aT2。【典例 3】一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内通过的位移分别是 24 m 和 64 m，每一个时间间隔为 4 s，求物体的初速度、末速度及加速度大小。【解析】画出该物体的运动过程如图所示，物体由 A 经 B 到 C，其中 B 是中间时刻。根据题目要求可选用不同方法进行求解。法一：基本公式法由位移公式得 x1vAT12 aT2，x2vA2T12 a(2T)2(vAT12 aT2)，vCv
13、Aa2T，将 x124 m，x264 m，T4 s，代入以上各式，联立解得 a2.5 m/s2，vA1 m/s，vC21 m/s。法二：平均速度法连续两段时间 T 内的平均速度分别为v1x1T 244m/s6 m/s，v2x2T 644m/s16 m/s。由于 B 是 A、C 的中间时刻，则 vBx1x22T246424m/s11 m/s，又 v1vAvB2，v2vBvC2。解得 vA1 m/s，vC21 m/s，其加速度 avCvA2T21124m/s22.5 m/s2。法三：位移差法由 xaT2 可得 axT2 642442m/s22.5 m/s2；又 x1vAT12 aT2，vCvAa2
14、T，解得 vA1 m/s，vC21 m/s。答案：1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2“一题多解、优中选优”运动学问题一般具有多种分析方法，在解题时应培养自己用多种方法进行分析及解答问题的能力，找出最优解法，以便快速解题。(1)如果题目中无位移 x，也无需求位移，一般选用速度公式 vv0at。(2)如果题目中无末速度 v，也无需求末速度，一般选用位移公式 xv0t12 at2。(3)如果题目中无运动时间 t，也无需求运动时间，一般选用推导公式 v2v20 2ax。(4)如果题目中无加速度 a，也不涉及加速度的问题，一般选用平均速度公式 v xt v0v2。(5)如果题目中出现连续相等的时
15、间，一般选用逐差公式 xaT2。1一质点做匀变速直线运动，经直线上的 A、B、C 三点，已知 ABBC4 m，质点在 AB 间运动的平均速度为 6 m/s，在 BC 间运动的平均速度为 3 m/s，则质点的加速度大小为()A1.5 m/s2B4 m/s2C3 m/s2D2 m/s2【解析】选 C。根据匀变速直线运动一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，可得av2v1x2v1 x2v23 m/s2，即质点的加速度大小为 3 m/s2，C 正确。2由静止开始做匀加速直线运动的物体，已知经过位移 x 时的速度是 v，那么经过位移 2x 时的速度是()Av B 2 vC2v D4v【解析
16、】选 B。由推论公式 vx2 v20 v22，即 v0v22，得 v 2 v，B 正确。3(2021温州高一检测)一小球沿斜面以恒定加速度滚下，依次通过 A、B、C 三点，已知 AB12 m，BC20 m，小球通过 AB、BC 所用时间均为 2 s，则小球通过 A、B、C 三点的速度分别为()A6 m/s 8 m/s 10 m/sB0 m/s 4 m/s 8 m/sC2 m/s 4 m/s 6 m/sD4 m/s 8 m/s 12 m/s【解析】选 D。由 xat2 得：axt2 20124m/s22 m/s2。B 点的速度等于 AC 段的平均速度，则有：vBxAC2t12204m/s8 m/
17、s。由 vBvAat 得：vAvBat(822)m/s4 m/s。由 vCvBat 得：vC(822)m/s12 m/s故 D 正确，A、B、C 错误。4.某物体做直线运动，其 v-t 图像如图所示，则 0t1 时间内物体的平均速度()A等于v0v12B大于v0v12C小于v0v12D条件不足，无法比较【解析】选 B。若物体在 0t1 时间内做匀加速直线运动，作出其 v-t 图线如图所示，由 v-t 图线与时间轴围成的面积表示位移可知，物体实际运动位移大小大于物体做匀加速直线运动的位移大小，运动时间相同，则物体实际运动的平均速度大于物体做匀加速直线运动的平均速度，即 v2 v1v0v12，故选
18、项 B 正确。【补偿训练】光滑斜面的长度为 L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为 t，则下列说法不正确的是()A物体运动全过程中的平均速度是LtB物体在t2 时的瞬时速度是2LtC物体运动到斜面中点时瞬时速度是 2LtD物体从顶端运动到斜面中点所需的时间是 2t2【解析】选 B。物体运动全过程的平均速度 v xt Lt，A 正确；t2 时，物体的速度等于全程的平均速度Lt，B 错误；若末速度为 v，则v2 Lt，v2Lt，物体运动到斜面中点的瞬时速度 vL2 02v22（2Lt）22 2Lt，C 正确；设物体加速度为 a，到达斜面中点用时 t，则 L12 at2，L2 1
19、2 at2，所以 t 22t，D 正确。【拓展例题】考查内容：逐差相等公式的理解及应用【典例】一质点沿直线 AD 做匀加速运动，如图所示，测得它通过 AB、BC、CD三段的时间均为 t，且位移 ACL1，BDL2，求质点的加速度。【解析】设 ABx1、BCx2、CDx3则 x2x1at2x3x2at2两式相加得 x3x12at2由题图可知L2L1(x3x2)(x2x1)x3x1解得 aL2L12t2。答案：L2L12t2学情诊断课堂测评1(水平 1)某物体做匀变速直线运动，其位移与时间的关系为 x0.5tt2(m)，则当物体速度为 3 m/s 时，物体已运动的时间为()A1.25 sB2.5
20、sC3 sD6 s【解析】选 A。比较位移公式 xv0t12 at2 与 x0.5tt2 得 v00.5 m/s，a2 m/s2。由于 vv0at，所以 tvv0a30.52s1.25 s，A 正确。2(水平 1)“枭龙”号战斗机为某次军演执行任务，从某空军基地起飞，由静止开始做匀加速直线运动，经过时间 t 达到起飞速度 v 的一半，在跑道上滑过距离 x，则直到起飞前，飞机还需运动的距离为()A4x B2x C0.75vt D3vt【解析】选 C。战斗机做匀加速直线运动，经过时间 t 速度由 0 达到v2，则战斗机速度从v2 加速到 v 时间也为 t。根据匀变速直线运动的规律：平均速度等于初末
21、速度平均值。对于战斗机速度从 0 到v2 的过程，有 x v t0v22tvt4；对于战斗机速度从v2 加速到 v 的过程，有 x v tv2v2t3vt40.75vt3x，故 C正确，A、B、D 错误。3(水平 2)一物体以一定的初速度在水平地面上匀减速滑动，若已知物体在第 1 s内位移为 8.0 m，在第 3 s 内位移为 0.5 m。则下列说法正确的是()A物体的加速度大小一定为 3.75 m/s2B物体的加速度大小可能为 3.75 m/s2C物体在第 0.5 s 末速度一定为 4.0 m/sD物体在第 2.5 s 末速度一定为 0.5 m/s【解析】选 B。根据匀变速直线运动的规律 x
22、aT2 可得：x3x12aT2，a0.58212m/s23.75 m/s2，因为物体做匀减速运动最终会停下来，且不可返回，假设它在第 2 s 到第3 s 之间的某一时刻就已经停下来了，加速度大小就不再等于 3.75 m/s2，A 错误，B 正确；第 0.5 s 末速度为第 1 s 内的中间时刻速度，根据 vt2 xt 81m/s8 m/s，C 错误；如果在第 3 s 末前就已经停止运动，则物体在第 2.5 s 末速度不等于第 3 s 内的平均速度，D错误。4(水平 2)物体以某一速度冲上一光滑斜面(足够长)，加速度恒定。前 4 s 内位移是 1.6 m，随后 4 s 内位移是零，则下列说法中不
23、正确的是()A物体的初速度大小为 0.6 m/sB物体的加速度大小为 6 m/s2C物体向上运动的最大距离为 1.8 mD物体回到斜面底端，总共需时 12 s【解析】选 B。由 xaT2，所以物体上滑的加速度：axT2 01.642m/s20.1 m/s2，B 错误；由位移时间关系 xv0t12 at2 得物体的初速度为：v0 x12at2t1.612（0.1）424m/s0.6 m/s，A 正确；物体向上运动的最大距离为：xm0v202a00.622（0.1）m18 m，C 正确；据 xv0t12 at2，物体回到出发点，位移为 0，所需时间为 12 s，D 正确。5(水平 2)新型飞机“歼
24、20”试飞后返回机场，降落在跑道上的减速过程简化为两个匀减速直线运动过程。飞机以速度 v0 着陆后立即打开减速阻力伞，加速度大小为 a1，运动时间为 t1；随后在无阻力伞情况下匀减速直至停下。在平直跑道上减速滑行总路程为 x。求第二个减速阶段飞机运动的加速度大小和时间。【解析】如图所示，A 为飞机着陆点，AB、BC 分别对应两个匀减速直线运动过程，C 点飞机停下。A 到 B 过程，依据运动学规律有x1v0t112 a1t21，vBv0a1t1B 到 C 过程，依据运动学规律有x2vBt212 a2t22，0vBa2t2A 到 C 过程，有 xx1x2联立解得 a2（v0a1t1）22xa1t21 2v0t1t22xa1t21 2v0t1v0a1t1答案：（v0a1t1）22xa1t21 2v0t1 2xa1t21 2v0t1v0a1t1
