1、第2章圆锥曲线与方程第1课时圆锥曲线 教学过程一、 问题情境2011年9月29日,中国成功发射了“天宫一号”飞行器,你知道“天宫一号”绕地球运行的轨迹是什么吗?二、 数学建构椭圆是物体运动的一种轨迹,物体运动的轨迹有很多,常见的还有直线、圆、抛物线等.一个平面截一个圆锥面,当平面经过圆锥面的顶点时,可得到两条相交直线;当平面与圆锥面的轴垂直时,截得的图形是一个圆.当我们改变平面的位置时,截得的图形也在发生变化.请观察图1. (图1)对于第一种情形,可在截面的两侧分别放置一个球,使它们都与截面相切(切点分别为F1,F2),且与圆锥面相切,两球与圆锥面的公共点分别构成圆O1和圆O2(如图2). (
2、图2)设M是平面与圆锥面的截线上任一点,过点M作圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P,Q两点,则MP和MF1,MQ和MF2分别是上、下两球的切线.因为过球外一点所作球的切线的长都相等,所以MF1=MP,MF2=MQ,故MF1+MF2=MP+MQ=PQ.因为PQ=VP-VQ,而VP,VQ是常数(分别为两个圆锥的母线的长),所以PQ是一个常数.也就是说,截线上任意一点到两个定点F1,F2的距离的和等于常数.通过分析,给出椭圆的概念:一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.问题1为什么
3、常数要大于F1F2?解因为动点与F1,F2构成三角形,三角形的两边之和大于第三边,所以MF1+MF2F1F2.问题2若MF1+MF2=F1F2,动点M的轨迹是什么?解线段F1F2.问题3若MF1+MF2F1F2,动点M的轨迹不存在.抛物线的概念:一般地,平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.说明:定点F不能在定直线l上,否则所得轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线.椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.三、 数学运用【例1】已知定点P(0,3)和定直线l:y+3=0,动圆M过点P且与直线l相切,求证:圆心
4、M的轨迹是一条抛物线.(见学生用书P15)处理建议让学生仔细审题,作出图形,再引导学生对照抛物线的定义寻找相等关系,使问题得以解决.规范板书证明设圆M的半径为r,点M到直线l的距离为d.动圆M过点P且与l相切,MP=r,d=r,MP=d.而点P不在l上,由抛物线的定义知圆心M的轨迹是一条抛物线.(例2)题后反思本题要紧扣抛物线的定义,主要注意两点:到定点的距离等于到定直线的距离;定点不在定直线上.【例2】(教材第27页习题2.1第3题)如图,圆F1在圆F2的内部,且点F1,F2不重合,求证:与圆F1外切且与圆F2内切的圆的圆心C的轨迹为椭圆.(见学生用书P16)处理建议让学生仔细审题,明确需要
5、解决什么问题,再引导学生根据椭圆的定义寻找“到两定点的距离之和为定值”的关系,使问题得以解决.规范板书证明设圆F1,F2的半径分别为r1,r2,动圆C的半径为t.依题意有CF1=r1+t,CF2=r2-t,消去t得CF1+CF2=r1+r2(一个大于F1F2的常数),所以动圆圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.题后反思要证明某点的运动轨迹,可以先考虑动点是否满足圆锥曲线的定义.本题要紧紧抓住到两定点的距离之和为定值的动点的轨迹是椭圆这一定义.变式1如图,已知动圆C与圆F1,F2均外切(圆F1与圆F2相离),试问:动点C的轨迹是什么曲线?(变式1)处理建议从例2的解法中联想思考,寻找动点满足
6、的几何性质是什么.规范板书解双曲线的一支.证明如下:设圆F1,F2的半径分别为r1,r2(r1r2),动圆C的半径为t.依题意有CF1=r1+t,CF2=r2+t,消去t得CF1-CF2=r1-r2(一个小于F1F2的正数),所以动圆圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的一支.题后反思应引导学生学会利用圆锥曲线的定义直接得出轨迹.本题还有其他方式的变式:当两圆相离时,动圆与两圆均内切或与一圆内切与另一圆外切,其动圆圆心的轨迹均为双曲线的一支.变式2(1)动圆与圆C1:x 2+y 2=1和C2:(x-4) 2+y 2=4都外切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.(2)动圆与圆C1:x 2+y
7、2=1和C2:(x-4) 2+y 2=4都内切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.(3)动圆与圆C1:x 2+y 2=1内切,与圆C2:(x-4) 2+y 2=4外切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.(4)动圆与圆C1:x 2+y 2=1外切,与圆C2:(x-4) 2+y 2=4内切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.*【例3】已知圆F的方程为(x-2) 2+y 2=1,动圆P与圆F外切且和y轴相切.求证:动圆的圆心P在一条抛物线上运动,并请写出这条抛物线的焦点坐标及准线方程.处理建议因为要证明圆心P的轨迹是抛物线,所以可引导学生通过画图找到定点和定直线.规范板书证明设圆P的半径为r,它与y轴相切
8、于T,则PF=r+1,PT=r,所以PF=PT+1,作直线l:x=-1,PT的延长线交直线l于A,则PF=PA,故点P到定点F的距离等于它到直线l的距离,所以点P在以F(2,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线上运动.题后反思三种圆锥曲线的概念都与距离有关:椭圆和双曲线的概念描述的都是点到点的距离;抛物线的概念描述的是点到点的距离,同时还有点到线的距离.圆与直线相切,能够联想到抛物线的条件.变式点P到定点F(2,0)的距离比它到y轴的距离大1,求点P的轨迹.处理建议引导学生考虑本题条件与哪种圆锥曲线的定义一致.规范板书解过点P作PTy轴,垂足为T,所以PF=PT+1,作直线l:x=-1,
9、PT的延长线交直线l于A,则PF=PA,故点P到定点F的距离等于它到直线l的距离,所以点P在以F(2,0)为焦点、直线l:x=-1为准线的抛物线上运动.题后反思本题依然是属于动点到定点和到定直线的距离,但不相等的问题,关键是将不等关系转化为相等关系,可以培养学生类比推理、归纳猜想、转化等数学思维能力.2四、 课堂练习1.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-3,0)和F2(3,0),则此双曲线的焦距为6.2.已知点A(0,-2),B(2,0),动点M满足|MA-MB|=2a(a为正常数).若点M的轨迹是以A,B为焦点的双曲线,则常数a的取值范围为(0,).提示因为AB=2,由双曲线的定义知02a2
10、,即0aF1F2,则QF1+QO=PF1+PF2=mF1F2=F1O,所以点Q的轨迹是一个椭圆.五、 课堂小结1.圆锥曲线可通过平面截圆锥面得到.当平面经过圆锥面的顶点时,可得到两条相交直线;当平面与圆锥面的轴垂直时,截得的图形是一个圆;当平面平行于圆锥面的轴时,截得的图形是双曲线;当平面平行于圆锥面的母线时,截得的图形是抛物线;当平面既不平行、不垂直于圆锥面的轴也不平行于圆锥面的母线时,截得的图形是椭圆.2.掌握三种圆锥曲线的定义,并注意:椭圆中常数大于两个定点间距离,双曲线中常数小于两个定点间距离.3.会用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹.第2课时椭圆的标准方程(1) 教学过程一、 问题情境汽
11、车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆,把一个圆压扁了,也像椭圆,它们究竟是不是椭圆呢?是否是椭圆应该看其是否符合椭圆的基本特征(性质),那么又该如何研究椭圆的性质呢?回忆解析几何研究问题的基本方法,研究椭圆,先建立椭圆的方程.二、 数学建构回顾椭圆的概念:一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.特别地:当MF1+MF2=F1F2时,动点M的轨迹是线段F1F2;当MF1+MF22c).以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图1),则F1,F
12、2的坐标分别为(-c,0),(c,0).(图1)设P(x,y)为椭圆上任意一点,根据椭圆的定义知PF1+PF2=2a,即+=2a.2将这个方程移项后两边平方,得(x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y2,即a2-cx=a.两边再平方,得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).因为a2-c20,所以可设a2-c2=b2(b0),于是得b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得+=1(ab0).由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面这个方程,并且满足上面这个方程的点(x,y)都
13、在已知的椭圆上.这样,上面这个方程就是所求椭圆的方程,它的焦点为F1(-c,0),F2(c,0).(图2)问题1如果将椭圆的焦点建立在y轴上,即焦点为F1(0,-c),F2(0,c)(如图2),你能快速得出椭圆的方程吗?解法一两个椭圆关于直线y=x对称,故只需要将方程+=1(ab0)中的x,y互换即可得到方程+=1(ab0).解法二从定义出发,将+=2a变换为+=2a.可化简得到a2x2+(a2-c2)y2=a2(a2-c2).设a2-c2=b2(b0),于是得a2x2+b2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得+=1(ab0).所以,当焦点在y轴上时,我们可以得到焦点为F1(0,-c),F
14、2(0,c)的椭圆的方程为+=1(ab0).以上两种方程都叫做椭圆的标准方程(其中b2=a2-c2).问题2如何判断椭圆标准方程中焦点的位置?解看标准方程形式下x2与y2下方(即分母)哪个大,焦点即在对应的坐标轴上.巩固练习求下列椭圆的焦点坐标:(1) +=1;(2) 16x2+7y2=112.规范板书解(1) c2=25-16=9,所以c=3,故焦点坐标为(-3,0)和(3,0).(2) 方程可化为+=1,所以c2=16-7=9,所以c=3,故焦点坐标为(0,-3)和(0,3).题后反思求椭圆的焦点坐标需将椭圆的方程化为标准形式.三、 数学运用【例1】已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,求
15、k的取值范围.(见学生用书P17)处理建议引导学生思考焦点在x轴上的椭圆的标准方程满足的条件.规范板书解因为椭圆焦点在x轴上,故所以7k10.题后反思学生可能会忽视前两个条件(不等式),题目解答完毕注意总结此时应需要3个条件(不等式).变式若上述方程表示一个椭圆,求k的取值范围.处理建议让学生思考条件改变时,解题过程中哪个环节会发生变化.规范板书解由题意可得所以4k0,10-k0,k-4=10-k,则方程表示的曲线是什么?答:圆.3【例2】(根据教材第30页练习第2题改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1) a=4,b=3,焦点在x轴上;(2) b=1,c=;(3) 两个焦点分别是F1(-
16、2,0),F2(2,0),且过点P(2,-3).(见学生用书P18)处理建议引导学生首先分析焦点的位置,然后再找出标准方程中a,b的值.规范板书解(1) 因为焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为+=1.(2) 因为b=1,c=,所以a2=b2+c2=16,当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为+y2=1;当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为+x2=1.(3) 由题意知椭圆的焦点在x轴上,故可设椭圆的标准方程为+=1(ab0),所以解得所以椭圆的标准方程为+=1.题后反思椭圆的标准方程中只有两个参量,因此只需要两个条件就可以求出椭圆的标准方程,而a,b,c三个量之间的关系是知二求一.4【例3】
17、(教材第29页例2)将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所得曲线的方程,并说明它是什么曲线.(见学生用书P18)处理建议先让学生直观感受变换后的曲线形状,再探究如何解决问题.规范板书解设所得曲线上任一点的坐标为(x,y),圆x2+y2=4上的对应点的坐标为(x,y),由题意可得因为x2+y2=4,所以x2+4y2=4,即+y2=1.这就是变换后所得曲线的方程,它表示一个椭圆.题后反思学生很容易得到变换后的曲线是椭圆,但无法从定义给出证明,引导学生从方程的角度考虑问题,从而进一步说明解析几何研究问题的方法是从方程的角度来研究的.本例求变换后所得曲线方程采用的方法是“
18、坐标转移法”,即利用中间变量求曲线方程.*【例4】(教材第31页例1)已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m,求这个椭圆的标准方程.处理建议引导学生先建立合适的直角坐标系,设出椭圆的标准方程,根据题意得到椭圆方程中的基本量.规范板书解以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图).(例4)设这个椭圆的标准方程为+=1(ab0).根据题意知2a=3,2c=2.4,即a=1.5,c=1.2,所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81.因此,这个椭圆的标准方程为+=1.题后反思本题是为了巩固
19、对椭圆的标准方程的理解.在没有已知坐标系的情况下,需要建立合适的坐标系.四、 课堂练习1.求下列椭圆的焦点坐标:(1) +=1;(2) 3x2+4y2=12.解(1) 焦点坐标分别为(0,-3)和(0,3).(2) 焦点坐标分别为(-1,0)和(1,0).2. 若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(4,5).提示因为椭圆的焦点在y轴上,所以解得4kb0),且c=2.所以解得所以椭圆的标准方程为+=1.五、 课堂小结1. 椭圆的标准方程有两种形式:焦点在x轴上:+=1(ab0);焦点在y轴上:+=1(ab0).2. 注意椭圆的标准方程中“标准”的含义:椭圆的中心在坐标原点;椭
20、圆的焦点在坐标轴上(两个焦点均在x轴上或均在y轴上);椭圆的标准方程有两种形式,即焦点在x轴上的方程以及焦点在y轴上的方程.第3课时椭圆的标准方程(2) 教学过程一、 数学运用【例1】求经过点(-,1),(-,-)的椭圆的标准方程.(见学生用书P19)处理建议可分两种情况分别设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程和焦点在y轴上的椭圆的标准方程,代入点坐标求出a,b的值;在不明确焦点位置的情况下,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A0,B0,且AB).规范板书解法一当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(ab0),则解得所以所求椭圆的标准方程是+=1.当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准
21、方程为+=1(ab0),则解得不满足ab0,故舍去.所以所求椭圆的标准方程是+=1.解法二设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A0,B0,且AB),则解得所以所求椭圆的标准方程是+=1.题后反思解决此类问题最基本的方法是分类讨论.实际上解法二是对解法一中x2及y2的系数进行换元得到的.1【例2】已知椭圆+=1的左、右焦点分别是F1,F2,PQ是过F1的一条弦,求PQF2的周长.(见学生用书P20)处理建议请学生思考PQF2的周长中包含哪些线段,这些线段与椭圆定义中的几何条件有哪些联系.规范板书解由题意知a=5,c=3.P,Q是椭圆上的点,则PF1+PF2=2a=10,QF1+QF2=2a=10.
22、因此,PQF2的周长为PQ+PF2+QF2=PF1+PF2+QF1+QF2=4a=20.题后反思抓住椭圆的定义,因为定义中的几何条件就是椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2a.若PQ是椭圆上不过焦点F1的一条弦,试问:PQF2的周长是定值吗?变式1若P是椭圆+=1上一点,F1,F2是它的两个焦点,Q(5,2),求PQF2的周长l的取值范围.处理建议将PQF2的周长的最值转化为PQ+PF2的最值.规范板书解因为PQF2的周长l=PQ+PF2+QF2,又F2(3,0),所以QF2=2,所以PQF2的周长取最小值时PQ+PF2也取最小值,易得PQ+PF2QF2=2,所以l4.因为在椭圆中PF1+PF2
23、=2a,所以PF2=2a-PF1,所以PQ+PF2=PQ+2a-PF1=PQ-PF1+2a,所以PQ+PF2取最大值时PQ-PF1也取最大值,易得PQ+PF2=PQ-PF1+2aQF1+2a=2+10.所以l2+2+10.综上,4lb0)的焦点为F1与F2,点P在椭圆上,F1PF2=.求证:PF1F2的面积S=b2tan.(变式)处理建议由特殊到一般,问题的处理方式基本相同.规范板书证明设PF1=r1,PF2=r2,则S=r1r2sin,又F1F2=2c,由余弦定理有(2c)2=+-2r1r2cos=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cos=(2a)2-2r1r2(1+cos),于是2r
24、1r2(1+cos)=4a2-4c2=4b2,所以r1r2=.这样即有S=sin=b2=b2tan.题后反思解与PF1F2(P为椭圆上一点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并结合PF1+PF2=2a来解决.有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题,设PF1=r1,PF2=r2,则S=r1r2sin.若能消去r1r2,问题即可解决.*【例4】已知P是椭圆+y2=1上的任意一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点.(1) 求PF1PF2的最大值;(2) 求PF+PF的最小值;(3) 求F1PF2的最大值.处理建议让学生思考:已知的几何条件是什么?要求的是两焦半径之积的最值,两者如何建立联系?
25、规范板书解由题意知a=2,b=1,所以c=,PF1+PF2=2a=4.(1) PF1PF2=4;(2) PF+P=8;(3) 因为cosF1PF2=-1,由(1)知PF1PF24,所以cosF1PF2-1=-,当且仅当PF1=PF2时“=”成立,即P为椭圆短轴的一个端点.又因为F1PF20,),所以F1PF2的最大值为120.题后反思运用余弦定理处理焦点三角形也是焦半径问题中常用的方法之一,结合基本不等式可以得到关于焦半径表达式的取值范围,同时也为后面求离心率的取值范围作铺垫.强调F1PF2取最大值时点P的位置在椭圆短轴的端点处.变式已知椭圆+y2=1(a1)的焦点是F1,F2,若椭圆上存在一
26、点P,满足PF1PF2,求a的取值范围.规范板书解设PF1=m,PF2=n,则m+n=2a,m2+n2=4c2=4(a2-1).又m2+n2,所以4(a2-1)2a2,所以a22,所以a的取值范围是,+).题后反思训练学生利用基本不等式寻求椭圆基本量的不等关系,从而得到a的取值范围.二、 课堂练习1.根据下列条件求椭圆的标准方程:(1) 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点;(2) 经过点A(0,2)和B.解(1) 设椭圆的标准方程是+=1或+=1(ab0).由题意知2a=PF1+PF2=2,所以a=.在方程+=1中令x=c,得
27、|y|=;在方程+=1中令y=c,得|x|=.依题意并结合图形知=,所以b2=,即椭圆的标准方程为+=1或+=1.(2) 设经过点A(0,2),B的椭圆的方程为mx2+ny2=1,则解得所以椭圆的标准方程为 x2+=1.2.已知ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边BC上,则ABC的周长是4.提示设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义知BA+BF=2,且CF+AC=2,所以ABC的周长为BA+BF+CF+AC=4.3.已知P是椭圆+=1上一点,F1,F2是其焦点.若F1PF2=60,则F1PF2的面积为.提示设PF1=m,PF2=n,则cos
28、60=,所以=.又m+n=2a=20,c=6,所以mn=,所以S=mnsin60=.三、 课堂小结1.待定系数法求椭圆的标准方程,注意系数的设法.2.灵活运用椭圆的定义PF1+PF2=2a求焦点三角形的周长及面积,注意在焦点三角形中灵活使用余弦定理及基本不等式.第4课时椭圆的几何性质(1) 教学过程一、 问题情境问题1方程+=1表示什么样的曲线?你能利用以前学过的知识画出它的图形吗?解方案1列表、描点、连线进行作图,在取点的过程中想到了椭圆的范围问题.方案2求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点,联想椭圆曲线的形状得到图形.方案3只作第一象限内的图形,联想椭圆形状,利用对称性得到其他象限内的图形.1问
29、题2与直线方程和圆的方程相对比,椭圆的标准方程+=1(ab0)有什么特点?2解椭圆方程是关于x,y的二元二次方程;方程的左边是平方和的形式,右边是常数1;方程中x2和y2的系数不相等.二、 数学建构1.结合椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆曲线的范围.方案1+=1变形为=1-1,即x2a2,所以-axa.同理可得-byb.方案2椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1,那么这两个数都不大于1,所以1,所以-axa.同理可以得到y的范围是-byb.(图1)方案3还可以用三角换元,设=cos,=sin,利用三角函数的有界性,也可以得到x,y的范围.这说明椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形内(如图
30、1).2.继续观察椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆的对称性.3在椭圆的标准方程中,把x换成-x,方程并不改变,这说明当点P(x,y)在椭圆上时,它关于y轴的对称点P(-x,y)也在椭圆上,所以椭圆关于y轴对称.同理,把y换成-y,或同时把x,y分别换成-x,-y时,方程都不变,所以椭圆关于x轴和原点都是对称的.因此,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3.再次观察椭圆标准方程的特点,利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中,令x=0,得y=b,这说明点B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.同理,点A1(-a,0),A
31、2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点,这四个点是对称轴与椭圆的交点,称为椭圆的顶点.线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.在椭圆的定义中,2c表示焦距,这样,椭圆方程中的a,b,c就有了明显的几何意义.问题3在椭圆标准方程的推导过程中令a2-c2=b2能使方程简单整齐,其几何意义是什么?解c表示半焦距,b表示短半轴长,因此,连结顶点B2和焦点F2,可以构造一个直角三角形OB2F2,在RtOB2F2内,O+O=B2,即c2+b2=a2.OB2F2称为椭圆的特征三角形.4.圆的形状都是相同的,而椭圆却有些比较“扁”,有些比
32、较“圆”,椭圆的“圆扁”取决于哪些因素?用什么样的量来刻画椭圆的“圆扁”程度比较合适?方案1用几何画板演示.方案2可以用比值来刻画,当越大,椭圆越圆;当越小,椭圆越扁.方案3还可以用比值来刻画,当越大,椭圆越扁;当越小,椭圆越圆.一般地,我们用比值来刻画椭圆的“圆扁”程度.离心率:焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,记为e,即e=.因为ac0,所以0eb0)+=1(ab0)范围|x|a,|y|b|x|b,|y|a对称性关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称顶点坐标(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(b,0),(-b,0),(0,a),
33、(0,-a)焦点坐标(c,0),(-c,0)(0,c),(0,-c)半轴长长半轴长为a,短半轴长为b,ab长半轴长为a,短半轴长为b,ab离心率e=e=a,b,c的关系a2=b2+c2a2=b2+c2三、 数学运用【例1】(教材第33页例1)求椭圆+=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆.4(见学生用书P21)处理建议由椭圆的方程确定a,b,c的值,从而使问题得以解决.交待清楚作图的几种方法.规范板书解根据椭圆的方程+=1,得a=5,b=3,c=4,所以椭圆的长轴长2a=10,短轴长2b=6,离心率e=,焦点为F1(-4,0)和F2(4,0),顶点为A1(-5,0
34、),A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3).将方程变形为y=,根据y=算出椭圆第一象限内的几个点的坐标,如下表所示.x012345y32.942.752.41.80先描点画出第一象限的图形,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如图). (例1)题后反思本例是对椭圆几何性质的一般检测性训练.一般地,椭圆的画法只需要描出几个点,然后用光滑曲线连结即可,必要时将焦点位置标出.强调快速、较准确地画出椭圆图象是今后学习的一个必要的基本技能.【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1) 经过点P(-3,0),Q(0,-2);(2) 焦点在x轴上,长轴长等于20,离心率等于;(3) 焦点在y轴上,长
35、轴长是短轴长的3倍,且椭圆经过点P(3,0).(见学生用书P22)处理建议根据条件,寻找椭圆方程中的基本量.规范板书解(1) 由题意知a=3,b=2,长轴在x轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.(2) 由题意知2a=20,e=.所以a=10,c=8,所以b=6.又因为焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.(3) 由题意知焦点在y轴上,所以b=3.又因为长轴长是短轴长的3倍,所以a=9,所以椭圆的标准方程为+=1.题后反思运用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,要熟记离心率公式.变式在(2)、(3)问中将焦点位置的条件去掉,结论如何?5处理建议当焦点位置不确定时,应引导学生分焦点在x轴上或在y轴
36、上两种情况讨论.规范板书解(2) 由题意知2a=20,e=,所以a=10,c=8,所以b=6.所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.(3) 当焦点在x轴上时,a=3,又因为长轴长是短轴长的3倍,所以b=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1;当焦点在y轴上时,b=3,又因为长轴长是短轴长的3倍,所以a=9,所以椭圆的标准方程为+=1.因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.题后反思焦点位置发生变化时,a,b对应的值也就不一样了,椭圆的某些几何性质也发生了变化,尤其要紧扣其定义,比如离心率是焦距与长轴长的比值.*【例3】已知椭圆x2+my2=1的离心率为,求m的值.处理建议首先应将椭圆方程化为标
37、准方程形式,然后根据方程的特征求解.规范板书解将椭圆方程化为x2+=1.若焦点在x轴上,则a2=1,b2=,=1-,得m=4;若焦点在y轴上,则b2=1,a2=,=m=1-=,得m=.综上,m=4或.题后反思已知离心率求参数的值是椭圆几何性质的简单运用,含参问题求离心率应考虑焦点的位置.四、 课堂练习1.求下列椭圆的长轴长和短轴长、焦距、离心率、顶点和焦点坐标:(1) 25x2+4y2-100=0;(2) x2+4y2-4=0.解(1) 椭圆方程可化为+=1,所以a=5,b=2,c=.所以长轴长为10,短轴长为4,焦距为2,离心率e=,顶点坐标为(2,0)和(0,5),焦点坐标为(0,).(2
38、) 椭圆方程可化为+y2=1,所以a=2,b=1,c=.所以长轴长为4,短轴长为2,焦距为2,离心率e=,顶点坐标为(2,0)和(0,1),焦点坐标为(,0).2.下列各组椭圆中,哪一个更接近于圆?(1) +=1与25x2+16y2=400;(2) 3x2+4y2=12与+=1.解(1) 椭圆+=1的离心率为,椭圆25x2+16y2=400的离心率为,故第二个椭圆更接近于圆.(2) 椭圆3x2+4y2=12的离心率为,椭圆+=1的离心率为,故第一个椭圆更接近于圆.3.若椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率是.提示=1-e2,所以e=.4.根据下列条件,求椭圆的标准方程:(1) 中心在原点
39、,焦点在x轴上,长轴长、短轴长分别为10和8;(2) 中心在原点,一个焦点坐标为(0,4),长轴长为10;(3) 对称轴都在坐标轴上,短半轴长为8,离心率为.解(1) +=1;(2) +=1;(3) +=1或+=1.五、 课堂小结1.椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率等).2.通常用椭圆的离心率e刻画椭圆的“圆扁”程度,其中0eb0).(例1(2)由题意知AC=439,BD=2 384,F2C=F2D=6371.a-c=OA-OF2=F2A=6 371+439=6 810,a+c=OB+OF2=F2B=6 371+2 384=8 755,解得a=7 782.5,c=972.5.所以b=
40、7 721.因此,卫星运行的轨道方程为+=1.题后反思椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c,最小值为a-c.利用a,b,c之间的关系,求出a,b的值得到椭圆的方程.本题旨在培养学生的阅读理解能力和仔细审题的意识.【例2】已知F1,F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,若ABF2为正三角形,求椭圆的离心率.(见学生用书P24)处理建议引导学生根据题意画出图形,将“ABF2为正三角形”转化为关于a,b,c的关系式,从而得到关于离心率e的方程.(例2)规范板书解设F1(-c,0),则A,所以AF1=.因为ABF2为正三角形,所以2c=,即b2=2a
41、c,所以(a2-c2)=2ac,两边同时除以a2,整理得e2+2e-=0,解得e=或-(舍去).所以e=.题后反思求离心率的关键是能得到关于a,b,c之间的一组关系,通过化简变形得到关于的方程,将换成e解关于e的方程即可.变式1已知F1,F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,B是椭圆的上顶点.若F1BF2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率.处理建议同例2的解题思路,强化求离心率的关键点.规范板书解根据题意可得b=c,即b2=c2,所以a2-c2=c2,即a2=2c2,所以e=.题后反思本题主要训练学生求离心率的思路和方法,并为下一个变式求离心率的范围作铺垫.变式2已知F1,F2分别是椭圆+
42、=1(ab0)的左、右焦点,B是椭圆上一点.若F1BF2为直角,求椭圆的离心率的范围.处理建议让学生思考,比较变式2与变式1的异同,加深对离心率的值和离心率的范围的认识.规范板书解法一设BF1=m,BF2=n,则m+n=2a,m2+n2=4c2.又m2+n2,所以4c22a2,所以e2,所以e.又0e2)的左、右焦点,如果在椭圆上存在一点P,使F1PF2=120,求a的取值范围.处理建议本题和变式2的解决方法完全相同,在时间允许的情况下可以让学生动手独立用两种方法完成,也可以作为课后练习.规范板书解法一设PF1=m,PF2=n,则m+n=2a.因为F1PF2=120,所以=-,即=-,4a2-
43、2mn-4c2=-mn,所以mn=4b2.因为(m+n)24mn,则4a216b2,所以2a4b,即a2b,所以a4,即a4,+).解法二设B为椭圆短轴的一个端点,根据F1BF2120,于是有a2b=4,即a4,+).题后反思本题旨在帮助学生进一步掌握对焦半径的处理方式以及椭圆上的点对两焦点的张角的最大值的理解和应用.特别强调是对两焦点的张角而不是对长轴两端点的张角.*【例3】已知P为椭圆+=1(ab0)上任意一点(异于顶点),椭圆短轴的两个端点分别是B1,B2.若直线PB1,PB2分别与x轴交于点M,N,求证:OMON为定值.处理建议本题有一定难度,旨在让学生接触解析几何中的定值问题,课堂中
44、能将上述2例讲清并给足学生充足时间做好课堂练习,教学目标就已经完成.规范板书证明设点P的坐标为(x0,y0),由题意不妨设B1(0,-b),B2(0,b),则直线PB1的方程为(y0+b)(x-x0)-x0(y-y0)=0,直线PB2的方程为(y0-b)(x-x0)-x0(y-y0)=0.因为y0b,分别令y=0,得xM=,xN=-.所以OMON=|xMxN|=.因为+=1,所以b2=a2(b2-),故OMON=a2为定值.题后反思本例属于椭圆中的定值问题,根据椭圆的几何性质,充分利用点在椭圆上及椭圆的方程来解决问题,进一步理解用方程解决几何问题的思想.二、 课堂练习1.若椭圆的焦距、短轴长、
45、长轴长组成一个等比数列,则椭圆的离心率为.提示由题意得ac=b2,所以ac=a2-c2,所以=1-,解得e=.2.已知椭圆的焦距为2,离心率不小于,则它的长轴长的取值范围是(2,4.提示由题意得c=1,e=,所以a2.又ac=1,所以2a(2,4.3.已知F1,F2分别是椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点.若以AB为直径的圆恰好过点F2,求椭圆的离心率.(第3题)解如图,设F1(-c,0),则A,所以AF1=.因为以AB为直径的圆恰好过点F2,所以2c=,即b2=2ac,所以a2-c2=2ac,两边同时除以a2,整理得e2+2e-1=0,解得e=-1
46、.4.已知F2是椭圆+=1(ab0)的右焦点,O为坐标原点,椭圆上存在一点P,使PF2=OF2,则椭圆的离心率的取值范围是.提示由题意知ca-c,所以a2c,所以e=.又ea0).类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系.以直线F1F2为x轴,线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系,则F1(-c,0),F2(c,0).设P(x,y)为双曲线上任意一点,由双曲线定义知|PF1-PF2|=2a,即|-|=2a.1在化简到(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)时,结合双曲线定义中2a0,b0,c2=a2+b2).若焦点在y轴上,则焦点是F1(0,-c),F2(0,c),由双曲线定义
47、得|-|=2a,与焦点在x轴上的双曲线方程|-|=2a比较,它们的结构有什么异同点?解结构相同,只是字母x,y交换了位置.故求焦点在y轴上的双曲线方程时,只需把焦点在x轴上的双曲线标准方中x,y互换即可,易得-=1(其中a0,b0,c2=a2+b2).2.双曲线标准方程的特点(1)双曲线的标准方程分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种:当焦点在x轴上时,双曲线的标准方程为-=1(a0,b0);当焦点在y轴上时,双曲线的标准方程为-=1(a0,b0).(2)a,b,c有关系式c2=a2+b2成立,且a0,b0,c0,其中a与b的大小关系可以为a=b,ab.3.根据双曲线的标准方程判断焦点的位置从椭圆的
48、标准方程不难看出,椭圆的焦点位置可由方程中含字母x2,y2项的分母的大小来确定,分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴,而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置,即x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.三、 数学运用【例1】求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)经过点A(0,2),B(2,-5);(2)a=2,且经过点P(2,-5).2(见学生用书P25)处理建议类比椭圆标准方程的求法,用待定系数法可分别设出焦点在x轴上和焦点在y轴上的椭圆的标准方程;也可直接设其方程为mx2+ny2=1(mn0).3规范板书(1)解法一设双曲线的方程为mx2+
49、ny2=1(mn0,所以x0.故所求曲线的方程为-=1(x0).题后反思解此类实际问题的关键是“能根据条件联想、构造出合适的数学模型”,这种构造转化是以熟练掌握基础知识为前提的.对圆锥曲线而言,必须熟悉其相关定义.定义既是建构数学知识的基石,也是解答数学问题的重要工具.因此,在研究某些几何或实际问题时,若能活用双曲线的定义,则不仅可深化学生对双曲线概念的理解,还能提高其分析问题、解决问题的能力.本例亦可扩展为“确定爆炸点的位置”,参见本课时学生用书(课后练习本)第12题.四、 课堂练习1.写出下列曲线的焦点坐标:(1)-=1;(2)3x2-y2=1;(3)-=-1;(4)+=1;(5)3x2+
50、y2=12.解(1)(,0);(2);(3)(0,4);(4)(1,0);(5)(0,2).2.根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2);(2)过点P1(3,-4)和P2 ,且中心在坐标原点,焦点在坐标轴上.解法一(1)设双曲线的方程为-=1(a0,b0),则解得 所以双曲线的标准方程为-=1.(2)若双曲线的焦点在y轴上,设其标准方程为-=1(a0,b0).因为点P1,P2在双曲线上,所以 解得 所以所求双曲线的标准方程为-=1.若双曲线的焦点在x轴上,设其标准方程为-=1(a0,b0).依题意得此时无解.综上,双曲线的标准方程为-=1.解法二(1)
51、 设双曲线的方程为-=1(16-k0,4+k0),所以-=1,解得k=4.所以双曲线的标准方程为-=1.(2) 设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn0).依题意得解得 故所求双曲线的标准方程为-=1.3.已知关于x,y的二次方程(4-m)x2+(16-m)y2=m2-14m+48表示双曲线,则m的取值范围是m|4m6或6m8或8m16.提示由题意知解得 所以4m6或6m8或8mb0)的具体几何性质是什么?问题3现在能根据双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质吗?二、 数学建构类比椭圆+=1(ab0)的几何性质,探讨双曲线-=1(a0,b0)的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率.(程序是:学
52、生:自我思考得出初步结论小组讨论得出满意结论回答所得结论(与大家交流);教师:启发诱导点拨释疑补充完善)(1)范围:观察双曲线的草图,可以直观看出曲线在坐标系中的范围.双曲线在两条直线x=a的外侧.注意:从双曲线的方程如何验证?从标准方程-=1可知-1=,由此双曲线上点的坐标都适合不等式1,即x2a2,|x|a,即双曲线在两条直线x=a的外侧.(2)对称性:双曲线-=1关于每个坐标轴和原点都是对称的,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线-=1的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.(3)顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.在双曲线-=1的方程中,对称轴是x轴、y轴,所以令y=0得
53、x=a,因此双曲线和x轴有两个交点A1(-a,0),A2(a,0),它们是双曲线-=1的顶点,线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长为2a,a叫做双曲线的实半轴长.令x=0,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点.我们定义点(0,b)为虚轴的端点B1,B2,它们的连线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的性质:渐近线方程为y=x;渐近线互相垂直;离心率e=.等轴双曲线可以设为x2-y2=(0),当0时焦点在x轴上,当b0)-=1(a0,b0)范围-axa,-bybxa或x-a,yR对称性关于坐标轴、原点都是对称的(对称轴、
54、对称中心)关于坐标轴、原点都是对称的(对称轴、对称中心)顶点四个,A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)两个,A1(-a,0),A2(a,0)离心率e=1注意:在作图时,我们常常把虚轴的两个端点画上(为确定渐近线),但要注意它们并非是双曲线的顶点.(图1)(4)渐近线的发现与论证:根据双曲线的上述性质,能较为准确地把双曲线-=1画出来吗?(能)通过列表描点,能把双曲线的顶点及附近的点,比较精确地画出来,但双曲线向何处伸展就不很清楚.我们能较为准确地画出曲线y=,这是为什么?(因为当双曲线伸向远处时,它与x轴、y轴无限接近)此时,x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线.(图2
55、)对渐近线并不陌生,例如:直线x=k+(kZ)是正切函数y=tanx图象的渐近线.双曲线有没有渐近线呢?如果有,又该是怎样的直线呢?引导猜想:在研究双曲线范围时,由双曲线的标准方程-=1可解出y=x.当x无限增大时,就无限趋近于零,也就是说,这时双曲线y=x与直线y=x无限接近.1这使我们有理由猜想直线y=x为双曲线的渐近线.直线y=x恰好是过实轴端点A1,A2,虚轴端点B1,B2,作平行于坐标轴的直线x=a,y=b所成的矩形的两条对角线,那么,如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时,与渐近线越来越接近呢?显然,根据双曲线的对称性,只要考虑双曲线在第一象限就可以了.学生探讨证明方法,教师可给予
56、适当提示,寻找不同的证明方法,找学生板演其推理过程,对于基础好一点的学生,可能会得到如下三种证法.2证法一如图2,设M(x0,y0)为第一象限内双曲线-=1上的任一点,则y0=,M(x0,y0)到渐近线ay-bx=0的距离为d=(x0-)=.点M向远处运动,随着x0增大,d就逐渐减小,点M就无限接近于直线y=x.证法二如图3,设Q为渐近线上与M(x0,y0)有相同横坐标的点,于是yQ=x0.MQ=yQ-y0=(x0-)=.点M沿曲线向远处运动,随着x0增大,MQ逐渐减小. (图3)证法三如图3,设P为渐近线上与M(x0,y0)有相同纵坐标的点,于是xP=y0,x0=a=,MP=x0-xP=(-
57、y0)=.点M沿曲线向远处运动,随着x0增大,MP逐渐减小.解决了双曲线向远处伸展时的趋向问题,从而可较准确地画出双曲线,比如画双曲线-=1,先作双曲线矩形,画出其渐近线,就可随手画出比较精确的双曲线.3(5)离心率:与椭圆一样,双曲线的焦距与实轴长的比值e=叫做双曲线的离心率.显然,e1.a,b,c,e间的关系:e=1,c2=a2+b2,e=.由图3可知,双曲线夹在两条渐近线y=x之间,这说明的大小决定了双曲线开口的大小.越大,即e=越大,双曲线的开口就越大;越小,即e=越小,双曲线的开口就越小.(6)画双曲线的草图具体做法是:画出双曲线的渐近线,先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置
58、,然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.三、 数学运用【例1】(教材第43页例1)求双曲线-=1的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、离心率及渐近线方程.4(见学生用书P27)处理建议先请学生回顾双曲线的标准方程的结构特点,得出a,b,c的值,再对照几何性质解题.规范板书解由题意知a2=4,b2=3,所以a=2,b=,c=.所以实轴长为2a=4,虚轴长为2b=2,焦距为2c=2,焦点坐标为(,0),离心率为,渐近线方程为y=x.题后反思学生易将实轴长与实半轴长、虚轴长与虚半轴长混淆,此处需提醒学生注意.【例2】
59、根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)实轴长为4,且过点A(2,-5);(2)与双曲线-=1有共同渐近线,且过点(-3,2);(3)与椭圆x2+4y2=64共焦点,且一条渐近线方程为x-y=0.5(见学生用书P28)处理建议先请学生回顾椭圆的标准方程的基本求法,然后类比得出求双曲线标准方程的基本方法.规范板书解(1)当焦点在x轴上时,设双曲线的方程为-=1,又其过点A(2,-5),代入无解;当焦点在y轴上时,设双曲线的方程为-=1,又其过点A(2,-5),代入解得b2=16.所以双曲线的标准方程为-=1.(2)解法一双曲线-=1的渐近线方程为y=x,令x=-3,则y=4,因为20,b0),
60、则 解得 所以双曲线的方程为-=1.解法二设双曲线的方程为-=(0),所以-=,所以=,所以双曲线的方程为-=1.(3)解法一由于双曲线的一条渐近线方程为x-y=0,则另一条渐近线方程为x+y=0.可设双曲线的方程为x2-3y2=(0),即-=1,由椭圆方程+=1可知,c2=48.又双曲线与椭圆共焦点,则+=48.所以=36,故所求双曲线的方程为-=1.解法二由双曲线与椭圆共焦点,可设双曲线的方程为-=1(160时,焦点在x轴上;当0,b2-k0),与椭圆+=1(ab0)共焦点的双曲线方程可设为-=1(b2k0,b0).由题及建立的坐标系可知点C的坐标为(13,y),点B的坐标为(25,y-5
61、5).因为点B,C在双曲线上,所以-=1,且-=1.由得 y= (负值舍去).代入,得-=1,解得b25.所以所求双曲线的方程为-=1.题后反思本例是一个有实际意义的曲线问题.解这类问题时,需要做好以下两点:(1)选择适当的坐标系;(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来.四、 课堂练习1.已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点坐标为(0,2),则双曲线的标准方程是-=1.提示由条件可知双曲线的焦点在y轴上,a=2,则2+b=c.又c2=4+b2,所以(2+b)2=8+2b2,即b2-4b+4=0,解得b=2.2.以直线y=x为渐近线,一个焦点坐标是(0,2)的双
62、曲线方程为-x2=1.提示由条件可知双曲线的焦点在y轴上,因此可设双曲线的方程为-x2=2(0),因此42=4,解得2=1,故所求双曲线的方程为-x2=1.3.若双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的,则该双曲线的渐近线方程是xy=0.提示双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点到一条渐近线的距离为b.由=,得b=c,即b2=(a2+b2),可解得=,因此其渐近线方程为xy=0.4.若双曲线tx2-y2+1=0的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直,则双曲线的离心率是.提示双曲线tx2-y2+1=0的渐近线方程为y= x,所以 =,所以t=,所以所求双曲线的方程为y2-=
63、1.五、 课堂小结1. 双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等).2. 已知双曲线的渐近线方程为 =0时,可设双曲线的方程为- =(0时焦点在x轴上,0时焦点在y轴上).第8课时双曲线的几何性质(2) 教学过程上节课,我们以焦点在x轴上的双曲线的标准方程-=1为例,研究了双曲线的简单几何性质,请完成以下的表格:双曲线焦点在x轴上焦点在y轴上图形定义平面内,到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值为常数2a(02a0,b0)-=1(a0,b0)几何性质实轴长2a虚轴长2b焦距2c基本量的关系a2+b2=c2离心率范围xa或x-a,yRya或y-a,xR顶点坐标(a,0)(0,a)焦
64、点坐标(c,0)(0,c)渐近线方程y=xy=x对称性对称中心(0,0)对称轴x轴、y轴双曲线上的点到中心距离的取值范围(从此以下本节课研究后补充)双曲线一支上的点到该侧焦点的距离的取值范围双曲线一支上的点到异侧焦点的距离的取值范围对照椭圆,双曲线还有几个最值需要我们研究(先说出你的猜想,然后再作判断或证明).一、 数学运用【例1】(教材第43页例2)已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在y轴上,焦距为16,离心率为,求双曲线的方程.1(见学生用书P29)处理建议本题的基本量a,b,c之间的关系比较清晰,引导学生首先求出a,b,然后判断焦点的位置.规范板书解根据题意知2c=16,所以c=8.又e=
65、,所以a=6,所以b2=c2-a2=28.又因为中心在坐标原点,焦点在y轴上,所以双曲线的方程为-=1.题后反思本例是一道简单的、典型的由双曲线的几何性质确定其标准方程的问题,熟练掌握双曲线标准方程的基本量a,b,c,e间的关系是解此类问题的关键.变式1已知双曲线的焦点在y轴上,焦距为16,渐近线方程为y=x,求双曲线的方程.规范板书解因为双曲线的焦点在y轴上,所以可设双曲线的方程为-=1,则渐近线方程为y=x.因为渐近线方程为y=x,所以=,即a2=3b2.又a2+b2=c2=64,解得故双曲线的方程为-=1.变式2已知双曲线的焦距为16,渐近线方程为y=x,求双曲线的标准方程.规范板书解若
66、双曲线的焦点在x轴上,则可设双曲线的方程为-=1,所以渐近线方程为y=x.因为渐近线方程为y=x,所以=,所以b2=3a2.又a2+b2=c2=64,所以故双曲线的方程为-=1.若双曲线的焦点在y轴上,则可设双曲线的方程为-=1,则渐近线方程为y=x.因为渐近线方程为y=x,所以=,所以a2=3b2.又a2+b2=c2=64,解得故双曲线的方程为-=1.综上,所求双曲线的方程为-=1.变式3求一条渐近线方程为3x+4y=0,且经过点的双曲线的标准方程.规范板书解依题可设双曲线的方程为-=(0).又双曲线经过点,所以-=,解得=1,因此双曲线的标准方程为-=1.【例2】已知双曲线-=1(0ab)
67、的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线l的距离为c,求该双曲线的离心率.(见学生用书P30)处理建议利用点到直线的距离公式寻找关于a,c的关系式,即可求得离心率e.规范板书解因为直线l过(a,0),(0,b)两点,所以直线l的方程为bx+ay-ab=0.由原点到直线l的距离为c,得=c,故3c2(a2+b2)=16a2b2.将b2=c2-a2代入上式,整理得3c4-16a2c2+16a4=0.两边同除以a4后令=x,得3x2-16x+16=0,解得x=4或x=.因为e=,故e=2或e=,又由条件0a,故e=舍去,所以e=2.题后反思在方程的求解过程中适当换元可以简化计算
68、,另外要关注题中的约束条件0a0),得4+9=16.所以=.所以双曲线方程为-=1,离心率e=.3.已知双曲线-=1的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的离心率e为或.提示分m0,n0和m0,n0)的右焦点,P为双曲线右支上一点,则以PF为直径的圆与圆x2+y2=a2的位置关系是外切.提示如图,设A为双曲线的左焦点,B为PF的中点,则2OB=AP=PF+2a,即OB=PF+a,圆心距等于两个圆的半径之和.(第4题)三、 课堂小结1.双曲线的离心率、渐近线方程之间的关系.2.双曲线的其他问题与椭圆类似,应将椭圆、双曲线的类似问题结合在一起来理解、掌握.第9课时抛物线的标准方程 教学过程一、 问题
69、情境回顾椭圆、双曲线标准方程的推导过程,结合抛物线的定义,提出问题: 如何建立直角坐标系来推导抛物线的方程?二、 数学建构1.回顾抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.注:(1) 定点F不在这条定直线l上;(2) 若定点F在这条定直线l上,则点的轨迹是什么?2.推导抛物线的标准方程 (图1)如图1,建立直角坐标系,设KF=p(p0),那么焦点F的坐标为,准线l的方程为x=-.设抛物线上的点M(x,y),则有=,化简得 y2=2px(p0).方程y2=2px(p0)叫做抛物线的标准方程.它表示
70、的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点是F,准线方程是x=- .一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,如图,分别建立直角坐标系.设出KF=p(p0),则图象对应的抛物线标准方程依次如下: (图2) (图3) (图4)如图2,x2=2py(p0),焦点:F,准线l:y=-;如图3,y2=-2px(p0),焦点:F,准线l:x=;如图4,x2=-2py(p0),焦点:F,准线l:y=.不同学生会有不同的坐标系的建立方法,因此也可以将四种不同的坐标系的建立方法都写出后,分别请同学上黑板完成方程的推导.(图5)由第一个图得到焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为y2=2px;由第二个图得到焦
71、点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为y2=-2px;由第三个图得到焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为x2=2py;由第四个图得到焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为x2=-2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程列表如下:图形标准方程焦点坐标准线方程图1y2=2px(p0)x=-图3y2=-2px(p0)x=图2x2=2py(p0)y=-图4x2=-2py(p0)y=问题1这四个方程都是抛物线的标准方程,那么根据方程能否区分焦点的位置?(在x轴上,还是y轴上?在正半轴上,还是负半轴上?)引导学生得出结论:一次定轴(焦点所在的坐标轴),符号定向.(1)焦点在x轴上时,标准
72、方程为y2=2mx,焦点坐标为,准线方程为x=-;(2)焦点在y轴上时,标准方程为x2=2my,焦点坐标为,准线方程为y=-.m中含有“符号”,|m|表示焦点到准线的距离.三、 数学运用【例1】已知抛物线的方程为y=2ax2(a0),写出它的焦点坐标及准线方程.1(见学生用书P31)处理建议先引导学生将抛物线的一般方程化为标准方程,再让学生根据定义自主求解.规范板书解将抛物线方程变形为x2=,因为a0),即2p=-,得=-,故其焦点坐标为,准线方程为y=-.题后反思解题时,应首先检查所给方程是否为标准形式,只有将方程化为标准形式之后,才能顺利确定相关的基本量.【例2】若抛物线的焦点F在x轴上,
73、点A(m,-3)在抛物线上,且AF=5,求该抛物线的标准方程.2(见学生用书P32)处理建议引导学生先用待定系数法设出抛物线的方程,再根据其定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离,最后由点在抛物线上,联立方程求解.规范板书解设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p0).当y2=2px(p0)时,由点A(m,-3)在抛物线上,得(-3)2=2pm,即m=.再由抛物线的定义,得m+=5.联立方程,得+=5,即p2-10p+9=0,解得p=1或9,此时抛物线的标准方程为y2=2x或y2=18x.同理可求得y2=-2x或y2=-18x.故所求抛物线的标准方程为y2=2x或y2=-2x或y2=
74、18x或y2=-18x.题后反思本例采用待定系数法来求抛物线的标准方程,需熟练掌握.【例3】已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是抛物线上两点,且AF+BF=3,求线段AB的中点M到y轴的距离.(见学生用书P32)处理建议引导学生利用抛物线的定义将与焦点有关的线段长度问题进行转化,再结合图形求解.(例3)规范板书解因为y2=x,所以p=.如图,过点M作MM1准线l于点M1,交y轴于点N,过点A作AA1准线l于点A1,过点B作BB1准线l于点B1.于是有MN=MM1-=(AA1+BB1)-=(AF+BF)-=3-=.题后反思部分与抛物线焦点有关的线段长度问题利用定义转化后,才能顺利建立关系式.*
75、【例4】平面上的动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.处理建议先让学生根据题意直接求解,再根据抛物线的定义引导学生用定义法求解.规范板书解法一(直译法)设点P(x,y),则由题意可得-|x|=1,化简整理得y2=2|x|+2x.当x0时,y=0;当x0时,y2=4x.综上,动点P的轨迹方程为y2=4x和y=0(x0).解法二(定义法)由题意可得平面上的动点P到定点F(1,0)的距离与P到x=-1的距离相等,再根据抛物线的定义可知,动点P的轨迹方程为y2=4x;射线y=0(x0)上的动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1,也符合题意.综上,动点P的轨
76、迹方程为y2=4x和y=0(x0).题后反思采用定义法求轨迹方程时,往往需要兼顾曲线的一般性与特殊性,否则极易漏解.画草图来帮助分析不失为好的解题策略.变式动点P到点A(0,8)的距离比到直线l:y=-7的距离大1,求动点P的轨迹方程.规范板书解由题意可得动点P到点A(0,8)的距离与到直线l:y=-8的距离相等,因此点P的轨迹为以A为焦点,直线y=-8为准线的抛物线,故所求的轨迹方程为x2=32y.四、 课堂练习1.抛物线x=4ay2的焦点坐标是.2.已知抛物线经过点P(4,-2),则其标准方程为y2=x或 x2=-8y .提示焦点在x轴上,设抛物线的方程为y2=mx,将点的坐标代入方程得到
77、m=1;焦点在y轴上,设抛物线的方程为x2=my,将点的坐标代入方程得到m=-8.3.与椭圆4x2+5y2=20有相同的焦点,且顶点在坐标原点的抛物线的方程是y2=4x .4. 已知抛物线的顶点在坐标原点O,焦点F在x轴上,过F作垂直于x轴的直线l与抛物线交于A,B两点.若OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.解当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时,设抛物线的方程为y2=2px(p0),易得FA=FB=p,所以2p=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x;同理,当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时,抛物线的方程为y2=-4x.故所求抛物线的方程为y2=4x.五、 课堂小结1.抛物线的四种形式
78、,及其分别对应的图形、标准方程、焦点坐标、准线方程.2.抛物线的标准方程的求法是“先定型,后计算”.所谓“定型”是指确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程;“计算”就是指根据题目的条件求出方程中参数p的值.第10课时抛物线的几何性质(1) 教学过程一、 问题情境上节课,我们学习了抛物线的定义和标准方程,下面请同学回忆抛物线的定义及其标准方程,以及和方程对应的焦点坐标、准线方程.(板书时,有意识填在表格中)在研究标准方程的同时得到抛物线的焦半径公式,即抛物线上的任意一点P(x,y)到焦点的距离.(对应填在表格中)对照前面椭圆和双曲线
79、的研究,下面我们研究什么呢?抛物线的简单几何性质.(板书)二、 数学建构1.抛物线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线)标准方程图形顶点坐标对称轴焦点坐标准线方程y2=2px(p0)(0,0)x轴x=-y2=-2px(p0)(0,0)x轴x=x2=2py(p0)(0,0)y轴y=-x2=-2py(p0)(0,0)y轴y=注意强调p的几何意义:表示焦点到准线的距离.经过抛物线y2=2px(p0)的焦点F且垂直于x轴的直线和抛物线交于M1,M2两点,线段M1M2叫做抛物线的通径.不难求得抛物线的通径长为2p.2.与椭圆、双曲线的几何性质比较,抛物线的几何性质有下列特点:(1)抛物线可以无限
80、延伸,但无渐近线.(2)抛物线只有一个顶点、一条对称轴;没有对称中心,它不是中心对称图形;离心率为1,是固定的.(3)抛物线的开口大小与离心率无关,与p的大小有关,p越大则开口越大,反之则开口越小.(4)抛物线的焦点与准线分别在顶点的两侧,且它们到顶点的距离相等,均为.三、 数学运用【例1】过抛物线y2=2mx的焦点F作x轴的垂线交该抛物线于A,B两点,且AB=6,求m的值.(见学生用书P33)处理建议引导学生通过通径的定义自主解题.规范板书解由题意可知AB为抛物线的通径,且AB=6,所以2|m|=6,即m=3.题后反思本例由抛物线的几何性质来求参数的值,其中涉及抛物线的通径,属基础题.【例2
81、】过抛物线y=4x2的焦点F作直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若y1+y2=5,求AB的长.(见学生用书P34)处理建议利用抛物线的定义将过焦点的弦进行转化,从而使问题得以解决.规范板书解因为y=4x2,即x2=y,故2p=,即p=.(例2)如图,过点A作AA1垂直准线于点A1,过点B作BB1垂直准线于点B1.于是AB=AF+BF=AA1+BB1=y1+y2+=y1+y2+p=5+=.题后反思凡是求过抛物线焦点的弦的问题,均可利用抛物线的定义进行转化.【例3】(教材第49页例2)汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线是抛物线,灯口直径为197 mm,反光曲面的顶点到灯口的距离
82、为69 mm.由抛物线的性质可知,当灯泡安装在抛物线的焦点处时,经反光曲面反射后的光线是平行光线.为了获得平行光线,应怎样安装灯泡?(结果精确到1 mm)(见学生用书P34)处理建议引导学生自行读题,分析题设条件,建立适当的坐标系,独立完成问题,旨在培养学生的阅读理解能力和仔细审题的意识.(例3)规范板书解如图,在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系xOy,设抛物线的方程为y2=2px(p0),灯应安装在其焦点F处.在x轴上取一点C,使OC=69,过C作x轴的垂线,交抛物线于A,B两点,AB就是灯口的直径,即AB=197,所以点A的坐标为.将点A的坐标代入方程y2=2px,解得p70.3,它的焦点
83、坐标为(35,0).因此,灯泡应安装在距顶点约35 mm处.题后反思本例是一个有实际意义的抛物线应用问题.解此类问题时,需解决两个问题:(1) 建立适当的坐标系;(2) 将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表示出来.*【例4】已知A,B为抛物线y2=4x上的点,F为抛物线的焦点.若=2,求直线AB的方程.1处理建议显然,线段AB为过焦点的弦,运用抛物线的定义将AB转化为AM+BN,再根据题设条件求解直角梯形的底角.规范板书解当直线AB的倾斜角为锐角时,设抛物线的准线为l.因为向量,同向,所以AF=2BF,所以设BF=m,则AF=2m.作AMl于M,作BNl于N.(例4)由抛物线的定义可知,A
84、M=2m,BN=m.过点B作BCAM于C,在RtABC中,cosCAB=,tanCAB=2.由抛物线对称性可知,直线AB的方程是y=2(x-1),即2xy-2=0.题后反思本题借助于抛物线的定义将过焦点的弦长等问题转化到直角梯形中予以解决.抛物线的定义揭示了抛物线上动点到焦点的距离与其到准线距离之间的数量关系.灵活运用定义,往往可以简化运算.特别是在解决有关焦点弦问题时,其思路简洁、明了,值得关注.四、 课堂练习1.已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线3x-4y-12=0上,则此抛物线的方程为y2=16x或x2=-12y.提示若焦点在x轴上,则由解得即焦点坐标为(4,0),此
85、时抛物线的方程为y2=16x;若焦点在y轴上,则由解得即焦点坐标为(0,-3),此时抛物线的方程为x2=-12y.综上,所求抛物线的方程为y2=16x或x2=-12y.2. 已知抛物线型拱桥的拱顶离水面2 m,水面宽4 m.当水面宽4 m时,水面下降了2m.提示以拱顶为坐标原点,水平直线为x轴,建立直角坐标系.设抛物线的方程为x2=-2py(p0),则点(2,-2)在抛物线上,解得p=1,故抛物线的方程为x2=-2y.当x=2时,y=-4,故水面下降了2 m.3.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=2x上,另一个顶点是坐标原点,则这个三角形的边长是12.提示由对称性,设正三角形为AOB,A(
86、x1,y1),B(x1,-y1).由AOx=30,得=tan30=,即y1=x1,代入y2=2x得x1=6,所以OA=12.4.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(-3,m)到焦点的距离为5,求此抛物线的方程.解设抛物线的方程为x2=2ay(a0),则准线方程为y=-.由题意得解得或或或即得抛物线的方程为x2=2y,x2=-2y,x2=18y,x2=-18y.五、 课堂小结1. 本节课学习了抛物线的几何性质.2. 借助于抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,从而解决焦点弦等问题.第11课时抛物线的几何性质(2) 教学过程一、 数学运用【例1】若点
87、A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,P是抛物线上一动点,求当PA+PF取得最小值时点P的坐标.1(见学生用书P35)处理建议显然,无法直接求PA+PF的最小值,问题需要转化.引导学生先画图、分析、讨论,再借助于抛物线的定义将PF转化为PQ,最终由“点到直线的最短距离是垂线段”解决问题.规范板书解如图,过点P向准线作垂线,垂足为Q,则由抛物线的定义可知PF=PQ,(例1)所以PA+PF=PA+PQ.于是,问题转化为求当PA+PQ取得最小值时点P的坐标,即在抛物线上求一点P,使其到点A和准线的距离之和最小.由点到直线距离的最小性可知,其最小值是过点A向准线x=-作垂线(垂足为B)时垂
88、线段AB的长度.所以当PA+PF最小时,点P的纵坐标为2,从而得点P的坐标是(2,2).题后反思借助于抛物线的定义将PF等量转化为PQ是求解本题的关键,这样的转化在抛物线问题中随处可见,需掌握.变式已知P是抛物线y2=4x上一个动点,F是其焦点.若点B的坐标为(3,2),求PB+PF的最小值.规范板书解如图,过点P作PC垂直于准线,垂足为C,则由抛物线的定义可知PC=PF,所以PB+PF=PB+PC.(变式)过B作BQ垂直于准线,垂足为Q,则由点到直线的最短距离是垂线段知,PB+PCBQ=4.故其最小值为4.(例2)【例2】求抛物线y2=4x上一动点P到点A(-1,1)的距离与它到直线x=-1
89、的距离之和的最小值.(见学生用书P36)处理建议先利用抛物线的定义将抛物线上点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,再根据图形求解.规范板书解设动点P到直线x=-1的距离为d,抛物线的焦点为F,则由抛物线的定义知PF=d,F(1,0).于是有PA+d=PA+PFAF=,当且仅当P,A,F三点共线时“=”成立,因此距离之和的最小值为.题后反思先利用定义将距离进行转化,再利用不等式PA+PFAF解决最值问题.【例3】在抛物线y2=2x上求一点P,使其到直线l:x+y+4=0的距离最小,并求最小距离.2(见学生用书P36)处理建议先引导学生画图、分析,再对比讨论各种解法.规范板书设P(x,y)为抛物线
90、y2=2x上任意一点,点P到l的距离为d,则d=.解法一令t=x+y,设直线x+y=t与抛物线y2=2x有公共点.由得y2+2y-2t=0.令0,可得t-,所以x+y+4,故d=,即dmin=.当且仅当x+y=-时,d取最小值.由解得即当点P的坐标为时,d有最小值.解法二由平面区域知识可得x+y+40,故d=.又x=,故d=.当y=-1时,x=.即当点P的坐标为时,d有最小值.解法三设直线l:x+y+m=0与抛物线相切,则平行线l与l间的距离即为抛物线上的点到直线l的最小距离.由得y2+2y+2m=0,所以=4-8m=0,得m=.此时直线l的方程为x+y+=0,l与l的距离为d=.由得即当点P
91、的坐标为时,d有最小值.题后反思解法一,通过对x,y的二元一次代数式的换元,将其转化为直线,进而将条件转化为“保证直线与抛物线有公共点”,降低了思维难度;解法二,充分利用抛物线方程的结构特点,对点到直线的距离公式进行消元,将其转化为一元函数问题;解法三,利用几何图形的直观性,借助于切线解决问题.上述三种方法在处理圆锥曲线上动点到定直线距离的最小值问题时,应用广泛,需认真体会、熟练掌握.*【例4】定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移动,求线段AB的中点M横坐标的最小值,并求出此时点M的坐标.3处理建议本题可引导学生回归抛物线定义,借助定义转化问题.规范板书解如图,设F是抛物线y2=
92、x的焦点,连结AF,BF,过点A,B,M分别作AC,BD,MN垂直于准线,垂足分别为C,D,N,则MN=(AC+BD).(例4)根据抛物线定义得AC=AF,BD=BF,所以MN=(AF+BF).设点M的横坐标为x,则MN=x+,所以x=MN-=.等号成立的条件是弦AB过点F,由于|AB|2p=1,所以AB过焦点是可能的.此时点M到y轴的最短距离是,即AB的中点M的横坐标为.当F在AB上时,设A,B的纵坐标分别为y1,y2,则y1y2=-p2=-,从而(y1+y2)2=+2y1y2=2-=2,即y1+y2=,所以此时AB的中点M的纵坐标为.所以点M的坐标为时,点M到y轴的距离最小,最小值为.题后
93、反思(1) 在直角坐标系中,常将点的坐标与相应线段的长(或距离)相互转化.如本题,将点M的横坐标转化为点M到y轴的距离是解本题的关键.(2)本题利用抛物线定义构造直角梯形,将该梯形的上、下底转化为抛物线上的点A,B到焦点F的距离,从而利用几何不等式(三角形中两边之和大于第三边)研究其最小值.二、 课堂练习1.已知抛物线y2=6x,定点A(2,3),F为焦点,P为抛物线上一动点,则PF+PA的最小值为.提示准线方程为x=-,最小值为.2.已知O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p0)的焦点,A是抛物线上一点,与x轴正方向的夹角为60,则|=p .提示如图,设FA=m,则m=2(m-p),即m=
94、2p,所以CF=p,故OA=p.(第2题)3.已知A(0,-4),B(-3,2),抛物线y2=8x上的点到直线AB的最短距离为.提示直线AB:2x+y+4=0,设2x+y+t=0与抛物线y2=8x相切,消去x得y2+4y+4t=0,故=0,得t=1,所以d=.4.已知点P(4,2)在抛物线y2=4x的内部,F是抛物线的焦点,在抛物线上求一点M,使MP+MF最小,并求此最小值.解如图,过M作准线l的垂线MA,垂足为A,则由抛物线的定义有MF=MA,所以MP+MF=MP+MA.(第4题)显然当P,M,A三点共线时,MP+MF最小.此时,点M的坐标为(1,2),最小值为5.三、 课堂小结从代数或几何
95、角度来研究抛物线的相关最值问题.第12课时圆锥曲线的共同性质 教学过程一、 问题情境我们知道,平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线.当这个比值是一个不等于1的常数时,动点P的轨迹又是什么曲线呢? 二、 数学建构问题1试探讨这个常数分别是和2时,动点P的轨迹.方案1利用尺规作出几个特殊的点,从而猜想轨迹.方案2利用几何画板制作课件演示.可以得到:当常数是时,动点P的轨迹是椭圆;当常数是2时,动点P的轨迹是双曲线.1问题2由上面问题的解决,同学可以猜想得出什么样的结论?解平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于e的
96、动点P的轨迹是圆锥曲线.当0e1时,它表示双曲线;当e=1时,它表示抛物线.问题3以上的结论是否正确呢?如何证明?解当e=1时,结论在抛物线标准方程的推导中已经得到证明,那么其他两种情况如何通过方程来证明呢?(思考片刻继续引导)关键在于如何建立坐标系才能使得轨迹的方程为标准方程.(思考片刻继续引导)请同学们阅读教材第55页的思考后回答下面问题.问题4当0e0,所以可令b2=a2-c2,这样方程(*)可化为+=1(ab0).这就证明了,当0ec0)时,这个点的轨迹是椭圆,方程为+=1(ab0, b2=a2-c2),这个常数就是椭圆的离心率.类似地,我们可以得到:当点P到定点F(c,0)的距离和它
97、到定直线l:x=的距离的比是常数(ca0)时,这个点的轨迹是双曲线,方程为-=1(a0,b0,其中b2=c2-a2),这个常数就是双曲线的离心率.这样,圆锥曲线可以统一定义为平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹.当0e1时,它表示双曲线;当e=1时,它表示抛物线.其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲线的准线.由前面的研究可知:点F(c,0),直线l:x=分别为椭圆+=1(ab0)的焦点、准线;点F(c,0),直线l:x=分别为双曲线-=1(a0,b0)的焦点、准线.根据图形的对称性可知,椭圆和双曲线都有两条准线,中心在坐标
98、原点,焦点在x轴上的椭圆+=1(ab0)或双曲线-=1(a0,b0),与焦点F1(-c,0),F2(c,0)对应的准线方程分别为x=-,x=.三、 数学运用【例1】求下列曲线的焦点坐标、准线方程:(1)25x2+16y2=400;(2)x2-8y2=32;(3)y2=16x.2(见学生用书P37)处理建议引导学生将曲线方程转化为标准形式,再让学生根据定义求解.规范板书解(1) 由25x2+16y2=400,得+=1,因此此椭圆的焦点在y轴上,且a=5,b=4,所以c=3,故曲线25x2+16y2=400的焦点坐标为(0,3),准线方程为y=.(2)由x2-8y2=32,得-=1,因此此双曲线的
99、焦点在x轴上,且a=4,b=2,所以c=6,故曲线x2-8y2=32的焦点坐标为(6,0),准线方程为x=.(3)由y2=16x,得p=8,故曲线y2=16x的焦点坐标为(4,0),准线方程为x=-4.题后反思要求圆锥曲线的准线方程、焦点坐标,必须先将曲线方程化为标准形式.变式已知椭圆+=1的一条准线方程为y=,求实数m的值.规范板书解由题意可知,a2=m(m9),b2=9,所以c=.由一条准线方程为y=可知=,解得m=25或m=.【例2】已知椭圆+=1上一点P到右准线的距离是2b,求点P到椭圆左焦点的距离.3(见学生用书P38)处理建议引导学生根据圆锥曲线的统一定义,将点到准线的距离转化为其
100、到相应焦点的距离.规范板书解法一由题意知,该椭圆的左、右焦点分别是(-b,0),(b,0),离心率为.设该椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,则由圆锥曲线的统一定义可知,=,所以PF2=3b.由椭圆的定义可知,PF1=4b-3b=b,即该点到椭圆左焦点的距离为b.解法二由题意知,该椭圆的左、右焦点分别是(-b,0),(b,0),离心率为.设该椭圆的左、右焦点分别为F1,F2.因为椭圆两准线间的距离为b,所以P到左准线的距离为b,则由圆锥曲线的统一定义可知,=,所以PF1=b,即该点到椭圆左焦点的距离为b.题后反思椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线,在解题过程中要注意对应,即左焦点对应左准线,右
101、焦点对应右准线(或上焦点对应上准线,下焦点对应下准线).*【例3】已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与C相交于A,B两点.若=3,求斜率k的值.规范板书解设直线l为椭圆的右准线,e为离心率.如图,分别过A,B作AA1,BB1垂直于l,A1,B1为垂足,过B作BEAA1于E.由圆锥曲线的共同性质得AA1=,BB1=,由=3,得AA1=,所以cosBAE=,所以sinBAA1=,所以tanBAA1=,即k=. (例3) *【例4】若椭圆+=1内有一点P(1,-1),F为其右焦点,椭圆上有一点M使MP+2MF最小,则点M的坐标为.提示因为椭圆的离心率为,则2M
102、F就等于点M到右准线的距离d,所以MP+2MF=MP+d.由点到直线的最短距离是垂线段得可以得到M.题后反思先用圆锥曲线的统一定义将MP+2MF的最小值转化为MP+d(d为点M到右准线的距离)的最小值,再根据“点到直线的距离中垂线段最短”将问题解决.这是处理圆锥曲线中与曲线上的动点到焦点(或准线)的距离有关的最值问题的常用方法.四、 课堂练习1. 若抛物线的顶点在原点,准线与椭圆+=1的准线重合,则此抛物线的方程为y2=16x.提示由题意知椭圆的准线方程为x=4,所以=4,即p=8.2. 已知椭圆+=1上一点P到左焦点的距离为12,则点P到右准线的距离为10.提示由题意知点P到左准线的距离为=
103、15,两准线间的距离为2=25,故点P到右准线的距离为10.3.已知F1,F2分别为双曲线C:-=1(a,b0)的左、右焦点,曲线C的两条准线分别与x轴交于点A,B.若A,B为线段F1F2的三等分点,则此双曲线C的离心率为 .提示由题意得=3,即e2=3.4.已知P为椭圆C:+=1上一点,且P到曲线C的右焦点F的距离为3,求点P的坐标.解法一椭圆C:+=1的右焦点为F(2,0),设P(x,y),则由题意可知解得即点P的坐标为(2,3).解法二椭圆C:+=1的右准线的方程为x=8,离心率e=.因为P到曲线C的右焦点F的距离为3,所以P到右准线的距离为6.设P(x,y),则8-x=6,解得x=2,
104、代入+=1,得y=3,所以点P的坐标为(2,3).五、 课堂小结1.圆锥曲线的统一定义.2.会根据圆锥曲线的标准方程求准线方程.3.掌握圆锥曲线上的点到焦点的距离及该点到对应准线的距离之间的相互转化.第13课时本章复习 教学过程一、 知识网络圆锥曲线二、 数学运用【例1】如图,已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,其右准线l与x轴的交点为T,过椭圆的上顶点A作椭圆的右准线l的垂线,垂足为D,四边形AF1F2D为平行四边形.(例1)(1) 求椭圆的离心率;(2) 若B是直线l上一动点,且ABF2外接圆面积的最小值是4,求椭圆的方程.1(见学生用书P40)处理建议(1)首先让学生独
105、立思考,若学生解决有困难,可通过问题“四边形AF1F2D为平行四边形的等价条件是什么”,引导学生得到基本量的关系式,从而将问题解决;(2)通过分析“圆的面积最小就是外接圆的半径最小,即外接圆的圆心到A或F2的距离最小”,引导学生确定外接圆的圆心的位置,再引导学生思考“B在直线l上如何使用”,从而将问题解决.规范板书解(1) 依题意有AD=F1F2,即=2c,所以离心率e=.(2) 由题可知圆心M在直线y=x上,设圆心M的坐标为(n,n).因为圆过准线上一点B,则圆与准线l有公共点,设圆心M(n,n)到准线的距离为d,则MF2d,即|n-2c|,解得n-3c或nc.又r2=(n-c)2+n2=2
106、+c2,+),由题可知(r2)min=c2=4,则c2=4,解得c=2,所以b=2,a2=b2+c2=8,所以所求椭圆的方程为+=1.题后反思本题要求椭圆的标准方程,本质就是根据条件求出基本量a,b,c.而由(1)可知椭圆的离心率,即的值,且有a2=b2+c2,这样三个未知数两个方程,就可用c表示出a,b,再根据最值确定c的值.变式已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(ab0)的左、右焦点.若椭圆C上的点A到F1,F2两点的距离之和等于4,求椭圆C的方程和焦点坐标.(2) 设K是(1)中所得椭圆上一动点,求线段F2K的中点所在曲线的方程.(见学生用书P40)规范板书解由题意可知a=2,且+=1,
107、解得b2=3,所以c=1,所以椭圆C的方程为+=1,焦点坐标为(1,0).(2) 由(1)可知F2(1,0),设线段F2K的中点的坐标为(x,y),则K(2x-1,2y).因为K(2x-1,2y)在+=1上,所以+=1,即+=1,这就是所求线段F2K的中点的轨迹方程.【例2】(教材第60页复习题第6题改编)已知曲线C的方程为x2sin+y2cos=1,若0,),试判断曲线C的形状.2(见学生用书P40)处理建议以问题“根据方程如何判断曲线的形状”为导引,让学生思考,再通过师生共同讨论,进行点评或纠正.规范板书解当=0时,方程为y=1,所以曲线C表示两条互相平行的直线;当00,所以曲线C为焦点在
108、x轴上的椭圆;当=时,=,所以曲线C为圆;当时,0,所以曲线C为焦点在y轴上的椭圆;当=时,方程为x=1,所以曲线C表示两条互相平行的直线;当0,0,所以曲线C为焦点在x轴上的双曲线.题后反思(1) 本题是利用方程判断对称中心在坐标原点的曲线的形状,一般方法是什么?(2) 分类讨论是高中数学重要的思想方法,也是我们必须掌握的,高考肯定考查的.变式若曲线+=1表示离心率为的椭圆,则k的值是或36.(见学生用书P40)提示由离心率e=可知,=,所以=,因此,当k9时,a2=k,b2=9,所以=,解得k=36.【例3】已知椭圆+=1,直线l过点M(2,2)与椭圆相交于A,B两点,且线段AB以M为中点
109、,求直线l的方程.(见学生用书P40)规范板书解法一设A(x,y),则由题意可知B(4-x,4-y),所以两式相减得9x+16y-50=0.由A,B关于点M(2,2)对称可知点B的坐标也满足此方程,所以直线l的方程为9x+16y-50=0.解法二设A(x1,y1),B(x2,y2).依题意知直线l的斜率一定存在,所以可设直线l的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k).由消去y并整理得(9+16k2)x2+64k(1-k)x+164(1-k)2-9=0,所以由根与系数的关系可知x1+x2=4,解得k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x-2),即9x+16y-50=0.解法三设A(
110、x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得9(x1+x2)(x1-x2)=-16(y1+y2)(y1-y2).由条件可知x1+x2=y1+y2=4,所以直线l的斜率k=-,所以直线l的方程为y-2=-(x-2),即9x+16y-50=0.题后反思以上的三种解法中解法一、解法二仅能用来解决圆锥曲线被直线所截得的弦的中点问题,解法三是解决直线和圆锥曲线交点问题的一般方法.变式已知中心在坐标原点,一个焦点为F(0,5)的椭圆被直线l:y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为,求该椭圆的方程.(见学生用书P40)规范板书解法一由题意可知c=5,且椭圆的焦点在y轴上,所以可设椭圆的方程为+=1.把直线y=
111、3x-2代入方程整理得10(b2+5)x2-12b2x-b2(b2+46)=0,所以x1+x2=1,解得b2=25,所以所求椭圆的方程为+=1.解法二设直线l与椭圆的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意可知,椭圆被直线截得的弦的中点的坐标为,并可设椭圆的方程为+=1(ab0).由两式相减得a2(x1+x2)(x1-x2)=-b2(y1+y2)(y1-y2).由条件可知x1+x2=1,y1+y2=-1,直线l的斜率k=3,所以a2=3b2.又a2-b2=c2=50,解得a2=75,b2=25,所以所求椭圆的方程为+=1.解法三由题意可知,椭圆被直线截得的弦的中点的坐标为,并可
112、设椭圆的方程为+=1(ab0).因此可设直线l与椭圆的两个交点为(x,y),(1-x,-1-y),则两式相减得-b2(2y+1)+a2(2x-1)=0,即2a2x-2b2y-(a2+b2)=0,与直线3x-y-2=0是同一直线,所以=,所以a2=3b2.又a2-b2=c2=50,解得a2=75,b2=25,所以所求椭圆的方程为+=1.(例4)*【例4】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2),其中m0,y10,y20.(1) 设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨
113、迹方程;(2) 设x1=2,x2=,求点T的坐标;(3) 设 t=9,求证:直线MN必过定点D(1,0).3处理建议问题(1)和(2)由学生自主完成;问题(3),引导学生理解直线MN必过定点D(1,0)的本质是M,N,D三点共线,从而引导学生通过联立方程组求出M,N的坐标,进而将问题解决.规范板书解(1) 设P(x,y),由条件知A(-3,0),B(3,0),F(2,0).由PF2-PB2=4,得(x-2)2+y2-(x-3)2+y2=4,即2x-9=0,这就是点P的轨迹方程.(2) 在+=1中,令x=2得y=,因为y10,所以M;令x=得y=,因为y20,所以N,所以直线AT的方程为y=(x
114、+3),即y=x+1,直线BT的方程为y=-(x-3),即y=-x+.由解得所以点T的坐标为.(3) 由题设知直线AT的方程为y=(x+3),直线BT的方程为y=(x-3).由得x1=-,y1=,所以M.由得x2=,y2=-,所以N.若x1=x2,即-=,由m0得m=2,且-=1,即M,N都在x=1上,此时直线MN经过定点(1,0).若x1x2,则直线MD的斜率kMD=,直线ND的斜率kND=,得kMD=kND,所以直线MN过D(1,0).题后反思本题通过曲线的方程求曲线的交点坐标,进而解决与点的坐标有关的问题.(变式)变式如图,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆+=1于P,A两
115、点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连结AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.(1) 当k=2时,求点P到直线AB的距离d;(2) 对任意k0,求证:PAPB.规范板书解(1) 当k=2时,直线AP的方程是y=2x.由消去y整理得x=,因此P,A,于是C,故直线AB的方程为y=x-,即x-y-=0,所以点P到直线AB的距离d=.(2) 直线AP的方程为y=kx,由得P,A,故C,所以直线AB的方程为y=.由消去y整理得(k2+2)x2-=0,即x+=0,所以B+,kPB=-,所以kPAkPB=-1,所以PAPB.三、 补充练习1.椭圆+=1的焦距为4.提示c=2.2.与
116、圆(x-2)2+y2=4和圆(x+2)2+y2=1都外切的动圆的圆心P的轨迹方程为4x2-=1(x0).提示设动圆的半径为r,则PC1=2+r,PC2=1+r,所以PC1-PC2=1.由双曲线的定义可知点P的轨迹是以C1,C2为两个焦点,实轴长为1的双曲线的左支.3.若方程+=1表示的曲线为双曲线,则实数k的取值范围是(-4,0).提示k(k+4)0)的焦点为F,不与x轴垂直的直线与抛物线有两个不同的交点A,B.若线段AB的垂直平分线恒过点(6,0),且AF+BF=8,则此抛物线的方程为y2=8x.提示设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2+=8,即x1+x2=8-p.又因为QA=QB,则(x1-6)2+=(x2-6)2+,即(x1-6)2+2px1=(x2-6)2+2px2,所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.因为x1x2,所以x1+x2=12-2p.由12-2p=8-p,得p=4,故抛物线的方程为y2=8x.四、 课堂小结1. 对本章的知识要有系统的、全面的认识.2. 巩固圆锥曲线的标准方程及其特点,圆锥曲线的性质.