1、嘉峪关市一中2017-2018学年第一学期期末考试高二数学(理科)试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1命题“对任意的xR，x3x210”的否定是()A不存在xR，x3x210 B存在xR，x3x210C存在xR，x3x210 D对任意的xR，x3x2102抛物线x2y的焦点到准线的距离是()A2 B1 C D3设曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则实数a等于()A2 B C D24“x0”是“0”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C既不充分也不必要条件 D充要条件5.如图所示，正四棱锥PABCD
2、的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为()A B C D6若命题“x0R，使得xmx02m30)相切，则r()A. B2 C3 D610函数yxex的单调递增区间是()A1，) B(，1 C1，) D(，111已知抛物线y22px(p0)与椭圆1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为()A B1 C1 D12已知f(x)ln(x21)，g(x)()xm，若对x10,3，x21,2，使得f(x1)g(x2)，则实数m的取值范围是()A，) B(， C，) D(，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13“tan1”是“”的_条件1
3、4已知曲线yx32与曲线y4x21在xx0处的切线互相垂直，则x0的值为_15已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为_16已知以yx为渐近线的双曲线D：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线D右支上任意一点，则的取值范围是_三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17(本小题满分10分)已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：双曲线的离心率，若是真命题，求实数的取值范围18(本小题满分12分)已知动点P(x，y)与两定点M(1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数(0)(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)讨论轨迹C的形状19(本
4、小题满分12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD的中点(1)证明：PB平面ACM；(2)证明：AD平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值20(本小题满分12分)已知在ABC中，点A，B的坐标分别为(，0)，B(，0)，点C在x轴上方(1)若点C坐标为(，1)，求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程；(2)过点P(m,0)作倾斜角为的直线l交(1)中曲线于M，N两点，若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值21(本小题满分12分)如图所示，正三棱柱ABCA1B1C
5、1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)求二面角A1BDA的大小；(3)在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E平面A1BD？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由22(本题满分12分)已知函数f(x)x2mlnx(1)若函数f(x)在(，)上是单调递增的，求实数m的取值范围；(2)当m2时，求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值1C2D3D4A5C6A7D8B9A10A11B12A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13充分不必要 14 151 16三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17(本小题满分10分)已知
6、命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：双曲线的离心率，若是真命题，求实数的取值范围解：将方程改写为，只有当，即时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，所以命题等价于；因为双曲线的离心率，所以，且，解得，所以命题等价于或为真，则18(本小题满分12分)已知动点P(x，y)与两定点M(1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数(0)(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)讨论轨迹C的形状答案(1)x21(0，x1)(2)略解析(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPMkPN.整理，得x21(0，x1)(2)当0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；当10时，轨迹C
7、为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点)；当1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(1,0)，(1,0)；当1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)19(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC的中点，PO平面ABCD，PO2，M为PD的中点(1)证明：PB平面ACM；(2)证明：AD平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值答案(1)略(2)略(3)解析(1)连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点又M为PD的中点，所以PBMO
8、.因为PB平面ACM，MO平面ACM，所以PB平面ACM.(2)因为ADC45，且ADAC1，所以DAC90，即ADAC.又PO平面ABCD，AD平面ABCD，所以POAD.而ACPOO，所以AD平面PAC.(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MNPO，且MNPO1.由PO平面ABCD，得MN平面ABCD，所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角在RtDAO中，AD1，AO，所以DO.从而ANDO.在RtANM中，tanMAN，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.20(本小题满分12分)已知在ABC中，点A，B的坐标分别为(，0)，B(，0)，点C在x轴上方(1
9、)若点C坐标为(，1)，求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程；(2)过点P(m,0)作倾斜角为的直线l交(1)中曲线于M，N两点，若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值答案(1)1(2)m解析(1)设椭圆方程为1，c，2a|AC|BC|4，b，所以椭圆方程为1.(2)直线l的方程为y(xm)，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程解得3x24mx2m240.若Q恰在以MN为直径的圆上，则1，即m21(m1)(x1x2)2x1x20,3m24m50，解得m.21(本小题满分12分)如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点(1)求证：
10、B1C平面A1BD；(2)求二面角A1BDA的大小；(3)在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B1C1E平面A1BD？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由答案(1)略(2)(3)存在且AE解析(1)如图所示，连接AB1交A1B于点M，连接B1C，DM.因为三棱柱ABCA1B1C1是正三棱柱，所以四边形AA1B1B是矩形，所以M为AB1的中点因为D是AC的中点，所以MD是三角形AB1C的中位线，所以MDB1C.因为MD平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C平面A1BD.(2)作COAB于点O，所以CO平面ABB1A1，所以在正三棱柱ABCA1B1C1中建立如图所示的空间直角坐标系Ox
11、yz.因为AB2，AA1，D是AC的中点，所以A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,0，)，A1(1，0)所以D(，0，)，(，0，)，(2，0)设n(x，y，z)是平面A1BD的法向量，所以即令x，则y2，z3.所以n(，2,3)是平面A1BD的一个法向量由题意可知(0，0)是平面ABD的一个法向量，所以cosn，.所以二面角A1BDA的大小为.(3)设E(1，y,0)，则(1，y，)，(1,0，)设平面B1C1E的法向量n1(x1，y1，z1)，所以即令z1，则x13，y1，所以n1(3，)又n1n0，即330，解得y.所以存在点E，使得平面B1C1E平面A1BD且AE.22(本题满分12分)已知函数f(x)x2mlnx.(1)若函数f(x)在(，)上是单调递增的，求实数m的取值范围；(2)当m2时，求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值答案(1)m(2)最大值，最小值1ln2解析(1)若函数f(x)在(，)上是增函数，则f(x)0在(，)上恒成立而f(x)x，即mx2在(，)上恒成立，即m.(2)当m2时，f(x)x.令f(x)0，得x.当x1，)时，f(x)0，故x是函数f(x)在1，e上唯一的极小值点，故f(x)minf()1ln2.又f(1)，f(e)e22，故f(x)max.
