1、第2章平面解析几何初步第1课时直线的斜率(1) 教学过程一、 问题情境1. 情境:多媒体投影现实世界中的一些美妙曲线,这些曲线都和方程息息相关,在数学中,我们可以通过研究这些曲线的方程来认识这些曲线.2. 问题:在平面直角坐标系中,用一对有序实数(x, y)可确定点的位置,那么用什么来确定直线的位置呢?两点可以确定一条直线.还有什么样的条件可以确定一条直线?二、 数学建构(一) 生成概念1. 探究活动学生进行思考、联想、讨论.学生回答并演示(过两点;过一点及确定的方向)观察:直线的方向与直线在坐标系倾斜度的关系.问题1我们熟悉的坡度是怎样确定的?利用木板进行演示,让学生有一个感性认识,体验坡度
2、是由什么来确定的.问题2如果给你直线上两点,你能用它们的坐标来刻画其倾斜度吗?由学生讨论引出课题:直线的斜率.2. 数学概念直线斜率的定义:已知两点P(x1, y1), Q(x2, y2),如果x1x2,那么直线PQ的斜率为:k= (x1x2).(二) 理解概念1. 因为k=(x1x2),所以斜率公式与P, Q两点的顺序无关.2. 如果x1=x2,直线PQ与x轴垂直,公式中分母为0,那么直线PQ的斜率不存在.所以,在坐标系中,不是所有的直线都有斜率.3. 对于与x轴不垂直的直线PQ,斜率可看作:k=.*问题3对于不垂直于x轴的直线的斜率与直线上所选两点的位置是否有关?为什么?设直线l不与x轴垂
3、直.在直线l上有P(x1, y1), Q(x2, y2),其斜率为k=,在直线l上再取两点M(x3, y3), N(x4, y4),根据定义,直线l斜率应为k=, 0,因为与共线,所以=,即(x4-x3, y4-y3)=(x2-x1, y2-y1), x4-x3=(x2-x1), y4-y3=(y2-y1), k=k.这表明,对于一条与x轴不垂直的定直线而言,它的斜率是一个定值.4(三) 巩固概念问题4一次函数y=-2x+1的图象是一条直线,它的斜率是多少?解答在直线上取两点(0, 1)与,根据斜率公式知,其斜率为-2.三、 数学运用【例1】(教材P78例1)如图1,直线l1, l2, l3都
4、经过点P(3, 2),又l1, l2, l3分别经过点Q1(-2, -1), Q2(4, -2), Q3(-3, 2),试计算直线l1, l2, l3的斜率.5(图1)解根据斜率的定义,直线l1的斜率为k1=,直线l2的斜率为k2=-4,直线l3的斜率为k3=0.变式1若点Q1的坐标变为(m, -1),(1)求直线l1的斜率.(2)若此时l1的斜率为2,求m的值.6解(1) 当m=3时,l1的斜率不存在;当m3时,直线l1的斜率为k1=.(2) 若直线l1的斜率为2=,则m=.变式2在例1的坐标系中画出经过点(3, 2),斜率不存在的直线l4,并比较这些直线相对于x轴的倾斜程度与斜率的关系.7
5、解从图中可以看出当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜(l1);当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜(l2);当直线的斜率为0时,直线与x轴平行或重合(与y轴垂直)(l3);当直线的斜率不存在时,直线与x轴垂直(l4).【例2】(教材P78例2)经过点(3, 2)画直线,使直线的斜率分别为:(1); (2)-.8处理建议让学生板演,在出现困难时作适当的提示:画直线需要两点,如何找另一点呢.解(1) 根据斜率=,斜率为表示直线上的任一点沿x轴方向向右平移4个单位,再沿y轴方向向上平移3个单位后仍在此直线上,将点(3, 2)沿x轴方向向右平移4个单位,再沿y轴方向向上平移3个单位后得
6、点(7, 5),因此经过点(7, 5)和点(3, 2)画直线,即为所求直线,如图2所示.(图2) (图3)(2) -=, 将点(3, 2)沿x轴方向向右平移5个单位,再沿y轴方向向下平移4个单位后得点(8, -2),因此经过点(8, -2)和点(3, 2)画直线,即为所求直线,如图3所示.题后反思画一条直线,关键先找出两点,此题结合画图,让学生如何找点.【例3】已知三点A(a, 2), B(3, 7), C(-2, -9a)在一条直线上,求实数a的值.9解因为3-2,所以直线BC的斜率存在,据题意可知直线AB与直线BC的斜率相等,即=,解得a=2或.题后反思利用斜率构造等式,先要分析斜率是否存
7、在,防止犯以偏概全的错误,对斜率不能确定是否存在,要进行分类讨论.问题5两个点可以确定一条直线,一个点及直线的斜率也可以确定一条直线,斜率既能反映直线的倾斜程度,也能反映直线的方向,方向还可以用什么来描述?让学生分组讨论.通过讨论认为:选用直线的上方与x轴正方向所形成的角能最自然、最简单的刻画直线的方向,从而引出倾斜角的概念.四、 数学概念1. 直线的倾斜角的定义:在平面直角坐标系中,对于与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.巩固概念指出下列图中直线的倾斜角:10(1)(2)(3
8、)(4)(图4)问题6直线的倾斜角能不能是锐角?能不能是直角?能不能是钝角?能不能是平角?能否大于平角?倾斜角的取值范围如何?引导学生观察,当直线从x轴位置旋转180后又回到x轴位置的过程中,直线的倾斜角如何变化,从而得出结论.2. 直线的倾斜角的范围是: 00; 当为钝角时,kk2k3, 312.(2) 填写下表直线平行于x轴从左向右上升垂直于x轴从左向右下降倾斜角的大小009090900不存在k0,解得m1.(4) 据题意,k=0,解得m1.【例3】已知直线l的斜率的取值范围为-1, 1,求其倾斜角的取值范围.4处理建议可以利用数形结合的思想(如图3)及例1的结果,分两段直接写出,也可利用
9、正切函数的性质解题.解 当斜率k-1, 0)时,倾斜角为钝角,且-1tan0,所以135180; 当斜率k0, 1时,倾斜角为0或锐角,且0tan1,所以045.综上所述:倾斜率的取值范围是|045或135180.题后反思此题需要分类讨论,注意倾斜角的固定范围是0180,如果学过必修4,可以从正切函数的单调性或从图象上观察分析,如果没学过必修4,此题可以不讲.(图3) (图4)*【例4】若过原点的直线l与连结P(2, 2), Q(-6, 2)两点的线段相交,求直线l的斜率和倾斜角的取值范围.5处理建议首先要带领学生认真审题,注意跟线段相交与跟直线相交的区别,然后结合例3的方法,引导学生用数形结
10、合的方法去处理.解如图4, OP的斜率k1=1, OQ的斜率k2=-.当直线l由OP位置逆时针旋转到y轴位置时,直线l与线段PQ相交,倾斜角由45增大到90,斜率k由1增大到正无穷.当直线l由y轴位置逆时针旋转到OQ位置时,直线l与线段PQ相交,倾斜角由90增大到150,斜率k由负无穷增大到-,因此,直线l斜率的取值范围为1, +),倾斜角的取值范围是|45150.题后反思此题利用数形结合方法较好,直线的旋转,引起直线的斜率、倾斜角的变化:在不同的两段上,都是随直线的逆时针旋转而增大的.四、 课堂练习1. 已知y轴上的点B与点A(-, 2)连线所成直线的倾斜角为60,则点B的坐标是(0, 5)
11、.2. 已知直线l1的倾斜角1=30,直线l2垂直于l1,则l2的斜率为-.3. 直线l的倾斜角的正弦值为,求直线l的斜率.4. 已知A(4, 2), B(-8, 2), C(0, -2),求直线AB, BC, CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是什么角?解答3. 设直线l的倾斜角为,则sin=.当为锐角时,cos=,斜率为k=tan=;当为钝角时,cos=-=-,斜率为k=tan=-.综上所述,直线l的斜率为或-.4. 直线AB的斜率为kAB=0,直线AB的倾斜角为0;直线BC的斜率为kBC=-,直线BC的倾斜角是钝角;直线CA的斜率为kCA=1,直线CA的倾斜角是45.五、 课堂小结1.
12、直线的倾斜角和斜率之间的关系是什么?2. 倾斜角为特殊角时与直线斜率的对应关系.倾斜角30456090120135150斜率3. 为什么不用直线的倾斜角的正弦来作直线的斜率呢?解答:1. 当倾斜角90时,斜率k=tan,此时倾斜角与斜率一一对应;当倾斜角=90时,斜率不存在.2. 倾斜角30456090120135150斜率1不存在-1-3. 倾斜角的正弦与倾斜角不能一一对应,互补的两个倾斜角的正弦相等.第3课时直线的方程(1) 教学过程一、 问题情境问题1确定一条直线需要几个独立条件?请举例说明.归纳得出:1.直线上的两个点;2.直线上的一个点及直线的斜率.问题2给出直线l上一点及斜率两个条
13、件:经过点A(-1, 3),斜率为-2, (1)你能在直线l上再找一点,并写出它的坐标吗?(2)这条直线l上的任意一点P(x, y)的横坐标x和纵坐标y满足什么关系呢?1二、 数学建构(一) 生成概念1. 探究问题情境中的问题.2. 直线l经过点P1(x1, y1),且斜率为k.设点P(x, y)是直线l上的任意一点,请建立x, y与k, x1, y1之间的关系.(图1)学生根据斜率公式,可以得到,当xx1时,k=,故y-y1=k(x-x1)2问题3过点P1(x1, y1),斜率是k的直线l上的点(包括点P1),其坐标都满足方程吗?坐标满足方程的点都在经过P1(x1, y1),斜率为k的直线l
14、上吗?答过点P1(x1, y1),斜率是k的直线l上的点,其坐标都满足方程,且坐标满足方程的点都在经过P1(x1, y1),斜率为k的直线l上.33. 直线的点斜式方程.我们把方程y-y1=k(x-x1)叫做直线的点斜式方程.问题4直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?答因为垂直于x轴的直线斜率不存在,所以直线的点斜式方程不能表示垂直于x轴的直线.不垂直于x轴的直线,都能用点斜式方程表示.问题5经过点P1(x1, y1)且垂直于x轴的直线方程是什么?经过点P1(x1, y1)且垂直于y轴的直线方程又是什么?4. 两种特殊的直线方程.经过点P1(x1, y1)且垂直于x轴的直线方程是x
15、=x1;经过点P1(x1, y1)且垂直于y轴的直线方程是(二) 理解概念1. 为什么方程=k不称为直线l的点斜式方程?因为直线l上的点P1(x1, y1)不满足方程=k.2. 把直线方程y=kx+6k-5写成点斜式方程,并说明此直线过哪个定点?方程y=kx+6k-5可变形为y-(-5)=kx-(-6),这即为点斜式方程,此直线恒过定点(-6, -5).三、 数学运用【例1】一条直线经过点P1(-2, 3),斜率为2,求这条直线方程.5解根据点斜式方程的形式,这条直线的方程为y-3=2(x+2)即2x-y+7=0.【例2】直线l斜率为k,与y轴的交点是P(0, b),求直线l的方程.6解根据点
16、斜式方程形式,直线l的方程为y-b=k(x-0),即y=kx+b.数学概念(1) 直线l与x轴交点(a, 0),与y轴交点(0, b),称a为直线l在x轴上的截距,称b为直线l在y轴上的截距(截距可以大于0,也可以等于或小于0).(一定要讲清楚截距的概念,“第一印象”非常重要)(2) 方程y=kx+b由直线l斜率k和它在y轴上的截距b确定,叫做直线的斜截式方程.问题6你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b?一次函数中k和b的几何意义是什么?一次函数y=kx+b中,常数k是直线的斜率,常数b为直线在y轴上的截距.问题7直线的斜截式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?答因为垂直于x轴的直线
17、斜率不存在,所以直线的斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线.不垂直于x轴的直线,都能用斜截式方程表示.【例3】在同一坐标系中作出下列直线,分别说出这两组直线有什么共同特征?(1) y=2, y=x+2, y=-x+2, y=3x+2, y=-3x+2.(2) y=2x, y=2x+1, y=2x-1, y=2x+4, y=2x-4.7解(1)图略,这组直线的共同特征是都过点(0, 2),斜率不同.(2) 图略,这组直线的共同特征是斜率都相同,截距互不相同,它们是一组平行直线.题后反思画直线关键是找出两点,常常找直线与坐标轴的交点,此题意在说明共点直线或平行直线在方程形式上的联系(相同点).【例4
18、】(1) 求直线y=-(x-2)的倾斜角.(2) 求直线y=-(x-2)绕点(2, 0)按顺时针方向旋转30所得的直线方程.8解(1) 设直线的倾斜角为,从方程可知,直线的斜率是-,所以tan=-,又因为0180,所以直线y=-(x-2)的倾斜角为120.(2) 所求的直线的倾斜角为120-30=90,且经过点(2, 0),所以,所求的直线方程为x=2.题后反思方程为y=k(x+a)+b的直线的斜率为k,第(2)题注意直线的旋转的方向.*【例5】已知直线l经过点P(4, 1),且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8,求直线l的点斜式方程.9处理建议引导学生分析,要求出方程,先求出斜率,如
19、何把“面积为8”用上,能否转化为关于斜率k的方程,用点斜式方程要注意哪些呢?解根据题意,直线l不垂直于x轴,其斜率存在且为负数,故可设直线l的方程为y-1=k(x-4), (k0),在方程中令y=0得x=4-,令x=0得y=1-4k,故直线l与两坐标轴交于点与(0, 1-4k),与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为S=(1-4k)=8,解得k=-,故直线l的点斜式方程为y-1=-(x-4).题后反思利用点斜式或斜截式设直线方程,首先要分析直线的斜率是否存在,如不能确定,一般要分类讨论,此题不仅分析了斜率是存在的,而且还挖掘出隐含条件:斜率小于0,为下面的求解避免了分类讨论,如果解出两解,还
20、要注意取舍.四、 课堂练习1. 经过点(3, -1),斜率为3的直线的点斜式方程为y+1=3(x-3).2. 经过点(2, 2),斜率为的直线的点斜式方程为y-2=(x-2).3. 斜率为-3,在y轴上的截距为-4的直线的斜截式方程为y=-3x-4.4. 斜率为,在x轴上的截距为6的直线的方程为y=(x-6).5. 直线x=m(y+1)的图象恒过定点(0, -1).五、 课堂小结1. 本节课我们学了哪些知识?2. 直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么?3. 求一条直线的方程,要知道多少个条件?4. 如何根据直线方程求出直线的斜率及y轴上的截距?第4课时直线的方程(2) 教学过程一
21、、 问题情境1. 情境:能否根据我们已经学过的直线的点斜式、斜截式方程求出符合下列条件的直线方程(学生活动):(1) 直线经过点(1, 2), . (2) 直线经过点(1, 2), (-1, 2).(3) 直线经过点(0, 2), (1, 0).(4) 直线经过点(x1, y1), (x2, y2),其中x1x2.2. 问题:如果已知直线经过的两个点,或已知直线在x轴上的截距和在y轴上的截距,如何求直线方程?1二、 数学建构(一) 生成概念1. 引导学生研究上面的问题.根据直线的点斜式方程,经过两点(x1, y1), (x2, y2)(x1x2)直线l的方程为:y-y1=(x-x1).2. 直
22、线的两点式方程.若x1x2, y1y2,经过两点P1(x1, x2), P2(x2, y2)的直线l的方程为=,我们把方程=叫做直线的两点式方程.(二) 理解概念1. 方程=的左右两边各具有怎样的几何意义?它表示什么图形?答左边是动点和一个定点的连线的斜率,右边是两个定点的连线的斜率,这两者始终相等,因而方程表示除去点(x1, y1)的一条直线.2. 方程=和方程=表示同一图形吗?前者表示经过两定点(x1, x2), (x2, y2)但除去点(x1, y1)的一条直线,后者表示经过两定点(x1, x2), (x2, y2)完整的一条直线.所以才把后者称为两点式方程.3. 若两点P1(x1, x
23、2), P2(x2, y2)中有x1=x2或y1=y2,此时直线P1P2方程能否用两点式方程表示?如果不能,应该如何表示?这说明了什么?答因为有分母为0,所以不能用两点式方程表示,若x1=x2,直线P1P2方程为x=x1,若y1=y2,直线P1P2方程为y=y1,这说明两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.(三) 巩固概念已知直线分别经过下面两点,求直线的两点式方程.A(3, 1), B(2, -3);A(2, 1), B(0, -3);A(0, 5), B(4, 0).解答 直线的两点式方程为:=; 直线的两点式方程为:=; 直线的两点式方程为:=.三、 数学运用【例1】(教材P84例1)已
24、知直线l经过两点A(a, 0), B(0, b),其中ab0,求直线l的方程(如图1).2(图1)解根据两点式方程形式,直线l的方程为=,即+=1.数学概念直线的截距式方程及适用范围:我们把方程+=1叫做直线的截距式方程.因为ab0,所以截距式方程不能表示过原点的直线,因为纵、横截距必须存在,所以截距式方程也不能表示与坐标轴垂直的直线.【例2】(教材P84例2)已知三角形的顶点是A(-5, 0), B(3, -3), C(0, 2)(图2),试求这个(图2)三角形三边所在直线的方程.3解根据两点式方程,直线AB的方程为=,即3x+8y+15=0;直线BC的方程为=,即5x+3y-6=0;根据截
25、距式方程,直线CA的方程为+=1,即2x-5y+10=0.题后反思用直线的两点式或截距式写直线方程只需一步到两步,但要先分析两点式或截距式的使用条件是否满足.【例3】 求过点(3, -4)且在坐标轴上的截距相等的直线方程.4处理建议在做此题之前,画一条通过原点的直线,问问学生:直线在x, y轴上的截距是什么?相等吗?横截距是纵截距的几倍?根据以往经验,采取先错后纠正的方法不理想,以后还会错,所以截距的概念“第一印象”非常重要.解当截距不为0时,设所求直线的方程为+=1,将坐标(3, -4)代入这个方程得+=1解得a=-1,此时所求直线的方程为+=1;当截距为0时,直线过原点(0, 0),根据两
26、点式方程,此时所求直线的方程为=,即y=-x.综上,所求直线的方程为x+y+1=0或y=-x.题后反思要准确理解截距的概念,直线过原点时,它在x, y轴上截距都为0,当然相等,当直线斜率为1且不过原点时,截距互为相反数,当然不等.【例4】求过点P(2, -1),在x轴和y轴上的截距分别为a, b,且满足a=3b的直线方程.5处理建议先引导学生分析,此题会有几解?解 当a=0时,b=0,此时直线方程为y=-x; 当a0时,b0,根据截距式方程,此时直线方程为+=1,把P(2, -1)代入方程得+=1,解得b=-,此时a=-1.综上,所求直线方程为x+3y+1=0或y=-x.题后反思当截距不能确定
27、是否为0时,使用截距式方程,要注意分类讨论.四、 课堂练习1. 过两点(2, 2), (-1, 3)的直线的两点式方程为=.2. 过两点(0, 3), (-1, 0)的直线的截距式方程为-x+=1.3. 已知两点A(5, 1), B(10, 11).(1) 求出直线AB的方程.(2) 若点C(-2, a)在直线AB上,求实数a的值.解(1) 根据两点式方程,直线AB的方程为=,即2x-y-9=0.(2) 因为点C(-2, a)在直线AB上,所以2(-2)-a-9=0,因此实数a的值为-13.4. (1) 如果两条直线有相同的斜率,但在x轴上的截距不同,那么它们在y轴上的截距可能相同吗?(2)
28、如果两条直线在y轴上的截距相同,但是斜率不同,那么它们在x轴上的截距可能相同吗?解答(1) 假设它们在y轴上的截距也相同.则它们的方程都可写成y=kx+b,而这只表示一条直线,与前提矛盾,所以假设不成立.因此它们在y轴上的截距不相同.(2) 它们在x轴上的截距可能相同,如:直线y=2x与直线y=x.五、 课堂小结1. 任何一条直线都有x轴上的截距和y轴上的截距吗?2. 什么样的直线不能用两点式、截距式方程?第5课时直线的方程(3) 教学过程一、 问题情境问题1直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程是关于x, y的什么方程?问题2关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)
29、是否一定表示一条直线?二、 数学建构(一) 生成概念1. 引导学生研究上面的问题.(1) 直线的点斜式、斜截式、截距式、两点式方程都是关于x, y的二元一次方程.(2) 关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)是否一定表示一条直线呢?这个方程是否表示直线,就看此方程能否转化为点斜式、斜截式、截距式、两点式、x=x1这五种形式之一.(1) 当B0时,方程Ax+By+C=0可化为y=-x-,它表示斜率-,在y轴上的截距为-的直线.(2) 当B=0时,方程Ax+By+C=0可化为x=-,它表示垂直于x轴的直线.综上:关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为
30、0)都表示一条直线.问题3平面直角坐标系内的任意一条直线是否都可以用二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)表示呢?平面直角坐标系内的直线可分为两类,第一类是与x轴垂直的直线,第二类是与x轴不垂直的直线.与x轴垂直的直线的方程为x=x1,可化为x+0y-x1=0,(1与0不全为0)与x轴不垂直的直线可用斜截式方程表示,而y=kx+b可化为kx-y+b=0,(k与-1不全为0)所以平面直角坐标系内的任意一条直线都可以用二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)表示.2. 数学概念直线的一般式方程方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)叫做直线的一般式方程.(二) 理解概念1.
31、 直线方程的一般式Ax+By+C=0中,A, B满足条件不全为0;当A=0, B0时,方程表示垂直于y轴的直线;当B=0, A0时,方程表示垂直于x轴的直线.2. 直线方程的一般式Ax+By+C=0(A, B不全为0)没有局限性,它能表示平面内任何一条直线.3. 直线方程的一般式Ax+By+C=0中,因为A, B不全为0,总可以两边同除以A, B之一,从而转化为只有两个参量的方程:mx+y+n=0或x+my+n=0.不与y轴垂直的直线方程可设为x=py+t.4. 因为方程Ax+By+C=0(A, B不全为0)表示一条直线,所以它也称为线性方程.(三) 巩固概念1. 把方程y-y1=k(x-x1
32、)化为一般式为kx-y+y1-kx1=0.2. 把方程+=1(ab0)化为一般式为bx+ay-ab=0.3. 把方程=化为一般式为(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0.2三、 数学运用【例1】(教材P86例1)求直线l:3x+5y-15=0的斜率及它在x轴、y轴上的截距,并作图.3处理建议可以把例1、例2放在一起让学生板演.解直线l的方程可化为y=-x+3,也可化为+=1,直线的斜率为-,它在x轴、y轴上的截距分别为5和3.(图略)题后反思根据方程求斜率,可把方程化斜截式.【例2】(教材P86例2)设直线l的方程为x+my-2m+6=0,根据下列条件分别确定m的值:(1)
33、 直线l在x轴上的截距为-3.(2) 直线l的斜率为1.4解(1) 据题意直线l过点(-3, 0),把坐标(-3, 0)代入直线l的方程得-3-2m+6=0,解得m=.(2) 据题意,直线l的斜率存在,所以m0,直线l的方程可化为y=-x+2-,所以-=1,解得m=-1.【例3】求斜率为,且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程.5处理建议引导学生分析,求直线方程,差什么量?如何构造此量的方程,如何设出直线方程,设直线方程需要注意什么?解法一据题意可设所求直线的方程为y=x+m,(m0),在方程中令y=0得x=-m,直线与两坐标轴交于A与B(0, m)两点,AOB的面积为|m|=6.解得m
34、=3或m=-3.因此,所求直线的方程为y=x+3或y=x-3,即3x-4y+12=0或3x-4y-12=0.解法二据题意可设所求直线的方程为+=1(ab0),此方程可化为y=-x+b,据题意可知解得或因此,所求直线的方程为+=1或+=1,即3x-4y+12=0或3x-4y-12=0.题后反思根据条件,恰当选择方程的形式,可简化解题,最后形式常化为一般式方程,解法二对解方程组的要求较高.*【例4】已知直线l: +=1.(1) 如果直线l的斜率为2,求m的值.(2) 如果直线l与两坐标轴的正半轴相交,求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线l的方程.6处理建议引导学生审题:“正半轴相交”是什么意思?“
35、三角形面积最大时”是什么意思,为什么三角形面积会有最大值?解(1) 直线l的方程可化为y=x+m,所以=2,解得m=4.(2) 直线l与两坐标轴的交点为(2-m, 0), (0, m),据题意直线l与两坐标轴围成三角形面积为S=m(2-m)=-(m-1)2+,因为0m2,所以m=1时,S取到最大值,故所求的直线l的方程为+=1,即x+y-1=0.题后反思注意挖掘条件此题可变为“已知直线l与两坐标轴的正半轴相交,在两坐标轴上的截距之和为2,求与坐标轴围成三角形面积最大时的直线l的方程.”这样解法就多了,可以设斜截式方程,利用基本不等式求解.四、 课堂练习1. 直线3x+4y=6的斜率为-,在y轴
36、上截距为.2. 直线4x-3y-12=0在x轴、y轴上的截距分别为3, -4.3. 填写下表直线l:Ax+By+C=0(A, B不全为0)与坐标轴的关系直线过原点直线l垂直于x轴直线l垂直于y轴直线l与两坐标轴都相交A, B, C满足的关系C=0B=0A=0AB04. 过两点(-4, 0)和(0, 2)的直线的一般式方程为x-2y+4=0.5. 过两点(3, 0)和(0, -1)的直线的一般式方程为x-3y-3=0.五、 课堂小结1. 到目前为止研究了直线方程的五种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式,要掌握五种形式的适用范围,并能在直线方程的各种形式之间熟练转化.2. 学会根据条件选
37、用恰当的形式求直线的方程,用一般式设方程,往往并不简单,因为一般式中有三个参量A, B, C.第6课时两条直线的平行与垂直(1) 教学过程一、 问题情境问题1平面内两条不重合直线的位置关系有几种?如何判断这种关系?问题2初中学习过平面内两条直线的位置关系,学习过两条直线的平行的判定,如同位角相等得到两条直线平行,这种方法是将一个几何问题转化为另外一个几何问题来解决它,我们能否用代数方法(代数量)来判定两条直线的平行与垂直(几何量)呢?二、 数学建构(一) 生成概念1. 引导学生探究两直线平行的判定条件问题3直线有哪些代数量?直线的倾斜角、斜率、在x轴、y轴上的截距.问题4当l1l2时,它们的代
38、数量满足什么关系?l1l2,首先想到平行线的判定方法:同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,三角形中位线平行于第三边.在直线的代数量中,直线的倾斜角是同位角,所以得到:若l1l2,则它们的倾斜角相等,如果倾斜角不是直角,根据斜率与倾斜角的关系得到,它们的斜率相等;再来考察它们在x轴、y轴上的截距,如果倾斜角不是0也不是直角,因为l1, l2不重合,所以,它们在x轴上的截距不等,在y轴上的截距也不等.于是l1l2时有如下表格:倾斜角零角锐角或钝角直角l1, l2的图象分类(l1l2)垂直于y轴不垂直于坐标轴垂直于x轴倾斜角1与2的关系1=2=01=21=2=90斜率k1与k2的关系k1=k2=0
39、k1=k2斜率都不存在在x轴、y轴上的截距的关系纵截距不等横截距不等,纵截距不等横截距不等问题5如何用代数量判断l1l2;当它们斜率都存在时,若斜率k1=k2,且纵截距不等,则倾斜角正切tan1=tan2,又01, 2180,所以1=2,从而l1l2;当它们斜率都不存在时,它们倾斜角相等,若横截距不等,则l1l2;当它们斜率有一个存在,另一个不存在时,因为倾斜角不等,即同位角不等,所以l1, l2不平行.12. 两直线平行的判定条件当l1, l2斜率都存在时,l1l2k1=k2且纵截距不等;当l1, l2斜率不存在时,l1l2横截距不等.(二) 理解概念1. 仅有k1=k2能推出l1l2吗?平
40、面内有A, B, C, D四点,若KAB=KCD能得到ABCD吗?不能,还要看两直线是否重合,若再加条件“纵截距不等”,即直线不重合,这时才有l1l2.2. 对于不能确定斜率是否存在时,就要分类讨论.3. 由此可得:k1=k2l1l2或l1, l2重合.三、 数学运用【例1】已知直线方程l1: 2x-4y+7=0, l2: x-2y+5=0,证明:l1l2.2证明设直线l1, l2的斜率分别为k1, k2,纵截距分别为b1, b2,直线l1, l2方程可分别化为y=x+和y=x+,因此所以l1l2.题后反思注意一定要交代截距不等.(图1)【例2】(教材P89例1)求证:顺次连结A(2, -3)
41、, B, C(2, 3), D(-4, 4)四点所得的四边形是梯形(如图1).3证明直线AB的方程为=,即y=-x-,直线CD的方程为=,即y=-x+,因此,直线AB与直线CD的斜率相等,纵截距不等,所以ABCD.直线BC的斜率为kBC=-,直线AD的斜率为kAD=-, kBCkAD,因此BC不平行于AD.综上,四边形ABCD为梯形.题后反思本题也可用向量方法证明:=(3, -), =(6, -1), =(-3, ), =(-6, 7),所以=,即, 平行且同向.又知和不平行,所以ABCD是梯形.【例3】(教材P90例2)求过点A(2, -3),且与直线2x+y-5=0平行的直线方程.4解法一
42、直线2x+y-5=0的斜率为-2,据题意,所求直线的方程为y+3=-2(x-2)即2x+y-1=0.解法二据题意,可设所求直线的方程为2x+y+C=0 (C-5),把A的坐标代入方程得4-3+C=0,解得C=-1,故所求直线的方程为2x+y-1=0.变式求与直线2x+y-5=0平行,在两坐标轴上的截距之和为的直线l的方程.解法一直线2x+y-5=0的斜率为-2,故可设所求直线的方程为y=-2x+m.令y=0可得横截距为,由题意+m=,解得m=1.故所求直线的方程为y=-2x+1.解法二据题意可设所求直线l的方程为2x+y+C=0 (C-5).在此方程中分别令y=0及x=0可得横、纵截距分别为-
43、, -C,由题意-C=,解得C=-1.故所求直线的方程为2x+y-1=0.题后反思这两种解法本质是一样的,都是待定系数法.【例4】(1) 两直线2x-y+k=0和4x-2y+1=0的位置关系是.(2) 若直线l1: ax+3y+1=0与l2: 2x+(a+1)y+1=0互相平行,则a的值为.(3) 若直线x-2ay=1和2x-2ay=1平行,则实数a的取值为.5处理建议先分析,直线平行的条件是什么?斜率存在吗?不存在怎么办?解(1) 平行或重合.(2)因为直线l1的斜率存在,所以l2的斜率也存在,l1l2的条件是解得a=-3.(3) 当直线x-2ay=1的斜率不存在时,即a=0时,两条直线平行
44、;当直线x-2ay=1的斜率存在时,即a0时,两条直线的纵截距相等,都为-,此时两条直线不平行.综上, a的取值为0.题后反思这种带参数的问题往往是学生的难点,要注意对斜率是否存在的讨论,不能仅利用k1=k2,还要检验两条直线是否重合.讲解时一定注意条理性.四、 课堂练习1. 分别判断下列直线AB与CD是否平行:(1) A(2, 1), B(-2, 3); C(-4, 7), D(4, 3).(2) A(1, -2), B(-1, -2); C(-1, 3), D(3, 3).解(1) kAB=-,直线AB方程为y-3=-(x+2),令x=0得直线AB的纵截距为bAB=2; kCD=-,直线C
45、D方程为y-3=-(x-4),令x=0得直线CD的纵截距为bCD=5.所以kAB=kCD, bABbCD,所以AB与CD平行.(2) kAB=0,直线AB的纵截距为-2; kCD=0,直线CD的纵截距为3.所以kAB=kCD, bABbCD,所以AB与CD平行.2. 直线mx+y-n=0和x+my+1=0平行的条件是或五、 课堂小结1. 如何用直线的斜率、截距判断两直线平行?判定的程序是什么?当l1, l2斜率都存在时,l1l2k1=k2且纵截距不等;当l1, l2斜率不存在时,l1l2横截距不等.判定程序:(1)分析(讨论)斜率存在的情况;(2)直线斜率不存在的情况.2. 本节课是如何研究“
46、数”和“形”的等价性的?从问题正反两个方面去研究:平行条件,条件平行.第7课时两条直线的平行与垂直(2) 教学过程一、 问题情境问题1我们能否用代数方法(代数量关系)来判定两直线的垂直(几何关系)呢?二、 数学建构(一) 生成概念1. 引导学生探究两直线垂直的判定条件问题2l1l2时,它们的代数量满足什么关系?设l1, l2的倾斜角分别1, 2,若l1l2,首先想到垂直的定义,它们所成的角为90,所以1=2+90(或2=1+90),如果它们倾斜角都不是直角,根据斜率与倾斜角的关系得到k1=tan1=tan(2+90)=-=-(或k2=tan2=tan(1+90)=-=-),所以k1k2=-1.
47、问题3如何用代数量判断l1l2?当它们斜率都存在时,若斜率k1k2=-1, tan1tan2=-1,又01, 2180,所以tan1=-=tan(90+2)=tan(2-90).当0290时,因为01, 2+90180,所以1=2+90;当902180时,因为01, 2-900, b0),则C(-a, 0).直线AB的方程:+=1,即:bx+ay-ab=0.直线BC的方程:+=1,即:bx-ay+ab=0.设底边AC上任意一点为P(x, 0)(-axa),则P到AB的距离PE=,P到BC的距离PF=,A到BC的距离h=. PE+PF=+=h,故原命题得证.【题后反思】本题主要利用点到直线的距离
48、公式进行简单的几何证明方面的运用,运用代数方法研究几何问题.四、 课堂练习1. 点P在x轴上,若它到直线4x-3y-3=0的距离等于1,则P的坐标是(2, 0)或.2. 直线y=3x-4关于点P(2, -1)对称的直线的方程为3x-y-10=0.五、 课堂小结1. 利用点到直线的距离公式进行简单的几何证明,充分说明了解析法在研究几何问题中的作用.建立坐标系要尽量使点的坐标为0,以简化计算.2. 在遇到对称问题时关键是分析出是属于什么对称情况,这里大致可以分为:点关与点对称,点关于直线对称,直线关于点对称,直线关于直线对称这四种情况,一旦确定为哪种情况后要灵活选择方法进行求解.第12课时直线复习
49、课 教学过程一、 数学应用【例1】设A, B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且PA=PB,若直线PA的方程为x-y+1=0,求直线PB的方程.(图1)【处理建议】由学生分析题目,讨论并归纳出解决问题的方法,老师引导学生进行解题反思,总结经验.规范板书 解法一由x-y+1=0得A(-1, 0).又由PA=PB知点P为AB中垂线上的点,故B(5, 0),且所求直线的倾斜角与已知直线倾斜角互补,则斜率互为相反数,故所求直线的斜率为-1, PB直线方程:x+y-5=0.解法二y=0代入x-y+1=0,得A(-1, 0).由解得P(2, 3).设B(xP, 0),由PA=PB解得xP=5.由两点式=,
50、整理得PB直线方程为x+y-5=0.题后反思求直线的方程,只需两个基本量,可以是点和斜率,也可以是两个点.变式在ABC中,已知点A(5, -2), B(7, 3),且边AC的中点M在y轴上,边BC的中点N在x轴上.(1) 求点C的坐标.(2) 求直线MN的方程.【处理建议】从AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,可以利用中点坐标公式表示出M点的横坐标和N点的纵坐标,即得.解 (1) 设点C(x, y),由题意得=0, =0,得x=-5, y=-3.故所求点C的坐标是(-5, -3).(2) 点M的坐标是,点N的坐标是(1, 0),直线MN的方程是=,即5x-2y-5=0.题后反思已知两点
51、,可以用两点式建立方程,也可以先求出斜率,再用点斜式建立方程.【例2】已知ABC的三个顶点是A(3, -4), B(0, 3), C(-6, 0),求它的三条边所在的直线方程.【处理建议】一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式.使用时,应根据题目所给的条件恰当选择某种形式,使得解法简便.由顶点B与C的坐标可知点B在y轴上,点C在x轴上,于是BC边所在的直线方程用截距式表示,AB所在的直线方程用斜截式的形式表示,AC所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可,最后为统一形式,均化为直线方程的一般式.解 如图2,因ABC的顶点B与C的坐标分别为(0, 3)和(-6, 0
52、),故B点在y轴上,C点在x轴上,(图2)即直线BC在x轴上的截距为-6,在y轴上的截距为3,利用截距式,直线BC的方程为+=1,化为一般式为x-2y+6=0.由于B点的坐标为(0, 3),故直线AB在y轴上的截距为3,利用斜截式,得直线AB的方程为y=kx+3.又由顶点A(3, -4)在其上,所以-4=3k+3.故k=-.于是直线AB的方程为y=-x+3,化为一般式为7x+3y-9=0.由A(3, -4)、 C(-6, 0),得直线AC的斜率kAC=-.利用点斜式得直线AC的方程为y-0=-(x+6),化为一般式为4x+9y+24=0.也可用两点式,得直线AC的方程为=,再化简即可.题后反思
53、本题考查了求直线方程的基本方法.变式已知直线l与直线3x+4y-7=0的倾斜角相等,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24,求直线l的方程.处理建议倾斜角相等,斜率也相等,所以直线l的方程可以用3x+4y+c=0表示.解设直线l的方程为3x+4y+c=0.令x=0,则y=-;令y=0,则x=-.由题意得=24, c2=242, c=24. 直线l的方程为3x+4y24=0.题后反思求直线与两坐标轴围成的三角形的面积,只需求出直线在两坐标轴上的截距,截距的绝对值即为两直角边的长.【例3】过点A(3, -1)作直线l交x轴于B点,在第一象限内交直线l1:y=2x于C点,且BC=2AB,求直线l的方
54、程.处理建议引导学生分析各式子的特点,画出图形.直线l过定点A(3, -1),可设直线l的方程为点斜式,再用另外条件求斜率k即可.解 当k不存在时,B(3, 0), C(3, 6), BC=6, AB=1,不合题意.设直线l:y+1=k(x-3),由题意,k0且k2, B.由得C.又BC=2AB, =2,得k=-. l的方程为3x+2y-7=0.题后反思已知点利用点斜式求直线时,要验证斜率k不存在的情况.变式已知直线l的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为,求直线l的方程.处理建议根据题目的条件,可以用斜截式,也可以用截距式来设直线l的方程,再利用其它条件求待定的参数.解法一设所求直线l的方
55、程为y=kx+b. k=6, 方程为y=6x+b.令x=0, y=b,与y轴的交点为(0, b);令y=0, x=-,与x轴的交点为.根据勾股定理得+b2=37, b=6.因此直线l的方程为y=6x6.解法二设所求直线为+=1,则与x轴、y轴的交点分别为(a, 0), (0, b).由勾股定理知a2+b2=37.又k=-=6,解得a=1, b=-6或a=-1, b=6.因此所求直线l的方程为x+=1或-x+=1,即6x-y6=0.题后反思求直线的方程,根据不同条件选取恰当的参数设直线的方程,可以简化计算.【例4】已知点P(2, -1).(1) 求过点P且与原点距离为2的直线l的方程.(2) 求
56、过点P且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?(3) 是否存在过点P且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.2处理建议第(1)问在已知直线过定点的前提下,只需确定直线的倾斜程度即可;第(2)问对最值的理解可从“代数”与“几何图形”两方面加以分析和描述;第(3)问在反思第(2)问的基础上加以解决.解(1) 过P点的直线l与原点距离为2,而P点坐标为(2, -1),可见,过P(2, -1)且垂直于x轴的直线满足条件.此时l的斜率不存在,其方程为x=2.若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知,得=2,解得k=.此时l的方程为3x
57、-4y-10=0.综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2) 作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线,由lOP,得klkOP=-1,所以kl=-=2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距离为=.(3) 由(2)可知,过P点不存在到原点距离超过的直线,因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.题后反思解决直线的相关问题可从几何图形入手,利用作图确定分类的依据;利用图形间的特殊位置关系分析代数式取最值时的情况.二、 课堂练习1. 直线xcos+y+2=0的倾斜角范围是.解
58、析设直线的倾斜角为,则tan=-cos.又-1cos1, -tan. .2. 下列四个命题:经过定点P0(x0, y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示;经过任意两个不同的点P1(x1, y1), P2(x2, y2)的直线都可以用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示;不经过原点的直线都可以用方程+=1表示;经过定点A(0, b)的直线都可以用方程y=kx+b表示.其中真命题的序号为.解析对命题,方程不能表示倾斜角是90的直线;对命题,当直线平行于一条坐标轴时,则直线在该坐标轴上截距不存在,故不能用截距式表示直线.只有正确.3. 求过点P(-5, -4)
59、且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程.解析设所求直线方程为+=1.直线过点P(-5,- 4),即+=1.又由已知可得, |a|b|=5即|ab|=10,联立方程解方程组得解得,或故所求直线方程为+=1或+=1.即8x-5y+20=0或2x-5y-10=0.4. 过点A(0, 1)做一直线l,使它夹在直线l1: x-3y+10=0和l2: 2x+y-8=0间的线段被A点平分,试求直线l的方程.解析当l的斜率不存在时,方程为x=0,容易验证不合题意.设所求的直线方程为y=kx+1.解方程组得P;解方程组得Q. A为PQ的中点, =0.解得k=-.直线l的方程为y-1=-x,即x+4y-4=0.
60、三、 课堂小结在解答有关直线的问题时,要注意:1. 在确定直线的斜率、倾斜角时,首先要注意斜率存在的条件,其次是倾斜角的范围.2. 在利用直线的截距式解题时,要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况.3. 在利用直线的点斜式、斜截式解题时,要注意检验斜率不存在的情况,防止丢解.4. 要灵活运用中点坐标公式,在解决有关对称问题时可以简化运算.5. 在由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时,要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法.第13课时圆的标准方程 教学过程一、 问题情境(教材P108例2)已知隧道的截面(如图1)是半径为4m的半圆,车辆只能在道(图1)路中心线一侧
61、行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道?二、 数学建构问题1如何判断货车能否驶入这个隧道?(根据生活经验,引导学生说出:在离隧道中心线2.7m处,求出隧道的高度,再与货车的高度相比较)问题2要想求出离隧道中心线2.7m处隧道的高度,必须知道什么呢?(引导学生去建立圆的方程)问题3如何写出这个半径为4m的半圆所在的圆的方程呢?(图2)要求圆的方程,需要建立适当的直角坐标系,并求出圆上任意一点P(x, y)所满足的关系式.第一步以截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径所在直线为x轴,建立直角坐标系.第二步根据圆的定义,圆上任意一点P(x, y)到圆心的距离等于半径,得=4,即x2+
62、y2=16.将x=2.7代入,得y=0)叫做以(a, b)为圆心,r为半径的圆的标准方程.特别地,当圆心为原点O(0, 0)时,圆的方程为x2+y2=r2(r0).问题6如果刚才不是以原点为圆心,以(1, 2)为圆心,那么圆的方程又是什么呢?答(x-1)2+(y-2)2=16(进一步熟悉和巩固圆的标准方程)三、 数学应用【例1】(教材P108例1)求圆心是C(2, -3),且经过原点的圆的方程.3处理建议根据圆的标准方程的形式,提问学生本题还缺少什么?规范板书解因为圆C经过原点,所以圆C的半径是r=,因此,所求圆的方程是(x-2)2+(y+3)2=13.题后反思求圆的标准方程,即寻找圆的圆心坐
63、标和半径,要注意结果中等号的一边是r2,在书写时可能会写成r,忘记平方.变式1求以点A(1, 2)为圆心,并且和x轴相切的圆的方程.处理建议本题要求圆的方程,缺少的是半径,那么和x轴相切指的是什么意思呢?引导学生分析这句话,寻找解题的突破口.解 圆与x轴相切, 该圆的半径即为圆心A(1, 2)到x轴的距离2.所以圆的标准方程为:(x-1)2+(y-2)2=4.变式2已知两点A(4, 9), B(6, 3),求以线段AB为直径的圆的方程.处理建议先让学生思考,再问学生本题要求圆的方程,根据已经学过的知识,需要什么条件呢?引导学生求出圆心和半径,对圆的标准方程有一个加深认识的作用.解 AB为直径,
64、 AB的中点C为该圆的圆心,即C(5, 6),又 AB=2, r=, 圆的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=10.变式3直线y=2x-4与两坐标轴相较于A, B两点,O为原点,求AOB的外接圆的方程.处理建议这个问题是变式2的延续,引导学生发现AOB是直角三角形,AB就是圆的直径,那么该问题就同变式2了.解 AOB=90, AB就是圆的直径, A, B的坐标分别为(2, 0), (0,-4), AB的中点C为该圆的圆心,即C(1,-2),又 AB=2, r=, 圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=5.【例2】圆心在直线2x-3y-1=0上的圆与x轴交于A(0, 0), B(4, 0)
65、两点,求该圆的方程.4处理建议让学生讨论,再提问学生,由学生总结解题的思路.本题突出圆中非常重要的定理,即垂径定理的应用,圆心在弦的垂直平分线上.规范板书解 圆与x轴交于A(0, 0), B(4, 0)两点, 线段AB的垂直平分线x=2过所求圆的圆心, 圆心在直线2x-3y-1=0上, 由得即圆心坐标为C(2, 1), r=AC=, 圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5.题后反思圆经过两个点,圆与直线相交于两点等问题,基本都会与垂径定理有关,一般都会利用圆心在弦的垂直平分线上的结论,来确定圆心的位置,求出圆心的坐标.变式1圆心在直线2x-3y-1=0上的圆与两坐标轴都相切,求该圆的方程
66、.处理建议让学生画图,感受圆与两坐标轴都相切的意义,从中寻找解题突破口.解因为圆与两坐标轴都相切,所以圆心的横坐标与纵坐标的绝对值相等,且半径为横坐标或纵坐标的绝对值.不妨设圆心坐标为(a, a)或(a, -a),半径r=|a|, 圆心在直线2x-3y-1=0上, 当圆心为(a, a)时,由2a-3a-1=0得a=-1,则圆的标准方程为:(x+1)2+(y+1)2=1,当圆心为(a, -a)时,由2a+3a-1=0得a=,则圆的标准方程为:+=.变式2已知圆与直线x+y-3=0相切于点(1, 2),且圆心在y轴上,求该圆的方程.处理建议回顾初中平面几何中圆的切线的性质,利用圆心在过切点且与切线
67、垂直的直线上的结论,确定圆心的坐标,这是圆中的典型问题.解设与直线x+y-3=0垂直的直线为x-y+m=0.因为该直线过点(1, 2),所以1-2+m=0,得m=1,则该直线方程为x-y+1=0,由切线的性质,圆心在直线x-y+1=0上.又因为圆心在y轴上,所以圆心为(0, 1),而半径r=, 圆的标准方程为x2+(y-1)2=2.【例3】已知以点C(a0)为圆心的圆与x轴交于点O, A,与y轴交于点O, B,其中O为原点.(1) 求证:OAB的面积为定值.(2) 若圆C上任意一点关于直线y=-2x+4的对称点仍然在圆C上,求圆C的方程.5处理建议问题(1)抓住OAB是直角三角形,圆心是AB的
68、中点;(2)引导学生理解“圆C上任意一点关于直线y=-2x+4的对称点仍然在圆C上”的几何意义,即圆心在直线上.规范板书解(1) 因为AOB=90,所以AB为圆C的直径,点C为AB的中点.所以OA=2a, OB=,从而SABC=2a=4.(2) 由题意直线y=-2x+4经过点C,所以=-2a+4,得a=1,及C(1, 2), r=OC=,所以圆C的方程为(x-1)2+(y-2)2=5.题后反思看到诸如“圆上任意一点的对称点仍然在圆上”、“一条直线平分圆的面积或周长”等语句,即提供我们圆心在这条直线上的条件.四、 课堂练习1. 写出下列各圆的方程:(1) 圆心在原点,半径为4.(2) 经过P(-
69、1, 3),圆心为C(0, 2).解(1) x2+y2=16.(2) x2+(y-2)2=2.2. 求以点C(-5, -1)为圆心,并且和x轴相切的圆的方程.提示(x+5)2+(y+1)2=1,半径等于纵坐标的绝对值.3. 求以C(3, -5)为圆心,且和直线3x-4y-4=0相切的圆的方程.提示(x-3)2+(y+5)2=25.半径为点到直线的距离,故r=5.4. 已知圆C: (x-1)2+(y+1)2=2,求过圆上的点O(0, 0)且与该圆相切的直线方程.提示因为所求直线l是圆的切线,所以klkOC=-1.因为C点坐标为(1, -1),所以kOC=-1,所以kl=1,所以直线l的方程为y=
70、x.五、 课堂小结1. 根据圆的定义,按建系设点找等量关系列等式的步骤求出圆的方程,这也是今后求点的轨迹的一般方法.2. 确定圆的标准方程的思想方法,即抓住圆的两要素,求出圆心坐标和半径.3. 求圆的方程常用的两种方法:(1)待定系数法;(2)定义法.4. 本节课重点体现了数形结合的数学思想.第14课时圆的一般方程 教学过程一、 问题情境我们前面已经学过了二元一次方程Ax+By+C=0(A, B不全为0),我们知道它表示的是一条直线,但在我们生活中显然还会有其他方程,你能举一些例子吗?(这是一个开放问题,学生肯定会先想到圆的标准方程,教师要肯定,再追问还有其他的形式吗?学生一定会列举出很多方程
71、,会有椭圆的方程、双曲线的方程、抛物线的方程等等,教师应该进行分类,告诉学生在今后会去一一研究,今天先研究其中相对较简单的二元二次方程.)二、 数学建构(一) 生成概念问题1下列方程分别表示什么曲线?(1) x2+y2-4x+6y-3=0.(2) x2+y2-4x+6y+13=0.(3) x2+y2-4x+6y+16=0.(该问题要灵活对待,如果学生在前面已经列举出很好的方程,就用学生列举的方程.学生不知道它表示什么曲线,一定会用学过的知识来解决,必定想方设法转化为学过的方程,体现化归思想.)问题2你觉得它们可能是什么曲线呢?(引导学生明确研究的方向,向圆的标准方程靠拢)问题3如果它们表示圆的
72、话,根据我们上一节课所学的内容,它的左边应该是什么形式呢?(引导学生回忆圆的标准方程的特征)问题4你会将上面的一组方程转化为圆的标准方程的形式吗?(引导学生用配方法将上面方程进行转化)将上面方程的左边配方为:(1) (x-2)2+(y+3)2=16.(2) (x-2)2+(y+3)2=0.(3) (x-2)2+(y+3)2=-3.问题5你现在能分别说出它们表示的是什么曲线吗?其中(1)表示的以(2, -3)为圆心,4为半径的圆;(2)表示的是一个点(2, -3);(3)不成立,不能表示任何曲线.问题6对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的又是什么曲线吗?(引导学生从特殊向一般过渡)把方程
73、x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得,+=.(1) 当D2+E2-4F0时,方程表示以为圆心,为半径的圆;(2) 当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点;(3) 当D2+E2-4F0)叫做圆的一般方程,其中圆心为,半径为.(二) 理解概念问题7圆的一般方程有什么特点呢?(引导学生归纳) x2和y2前面的系数相等,且都不为0,没有xy这样的二次项; 圆的一般方程中有三个特定的系数D, E, F,所以只要求出这三个系数,圆的方程就确定了; 与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显.三、 数学应用【例1】(教材P109例
74、3)已知ABC顶点坐标为A(4 , 3), B(5, 2), C(1, 0),求ABC外接圆的方程.3处理建议根据已经学过的知识,圆的方程有两种形式,让学生选择用哪一种方程?让学生在下面书写,教师可以找出用不同方式解题的同学上黑板板演.教师对此都给予肯定.最后再由学生归纳解题心得.规范板书解法一设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆过点A(4, 3), B(5, 2), C(1, 0),则有,得故所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0.解法二 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0).因为圆过点A(4, 3), B(5, 2), C(1, 0),则有,得故所求圆的
75、方程为(x-3)2+(y-1)2=5.解法三线段AC的垂直平分线方程为x+y-4=0.线段BC的垂直平分线方程为2x+y-7=0.由得即圆心为(3, 1),所以r=.故所求圆的方程为:(x-3)2+(y-1)2=5.题后反思从解题过程来看,解法一更直接,计算更简单一点.圆的方程有两种,通常在求圆心坐标和半径方便时用标准方程,在已知圆三个点时通常用一般方程求解.问题8通过刚才的例1,你能归纳用待定系数法求圆的方程的步骤吗?(1) 根据已知条件,选择标准方程或一般方程.(2) 根据条件列出关于a, b, r或D, E, F的方程组.(3) 解出a, b, r或D, E, F,代入标准方程或一般方程
76、.变式已知函数y=x2-2x-3与x轴交于A, B两点,与y轴交于C点,求ABC外接圆的方程.处理建议本题和例1有相似的地方,都是已知三点的坐标求圆的方程,仍然要求学生尝试用两种方法解决本题,并比较在本题中用哪一种方法更好.解函数y=x2-2x-3与坐标轴的交点为A(-1, 0), B(3, 0), C(0, -3).方法一: 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆过点A(-1, 0), B(3, 0), C(0, -3),则有得故所求圆的方程为x2+y2-2x+2y-3=0.方法二: AB的垂直平分线为直线x=1, BC的垂直平分线为直线y=-x,则直线x=1与直线y=-x的交点
77、就是圆心(1, -1), r=,所以ABC外接圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.【例2】求圆x2+y2-2x+2y+1=0关于直线x-y+3=0对称的图形的方程.4处理建议先要求学生分析方程是什么曲线?再问学生要求这样的曲线必须知道哪些条件?根据已知条件能解决吗?本题目的是让学生根据圆的一般方程能熟练地写出它的圆心坐标和半径,进一步熟悉圆的一般方程与圆的标准方程之间的联系.规范板书解由圆的方程x2+y2-2x+2y+1=0得圆心坐标为O(1, -1),半径r=1.因为所求的图形也是圆,且它的圆心O(a, b)与O(1, -1)关于直线x-y+3=0对称,半径r=r=1.由得即O(-4,
78、 4).所以圆的方程为(x+4)2+(y-4)2=1.题后反思在利用圆心横坐标为-,纵坐标为-的结论时,学生经常会将符号遗漏,而半径为的结论也会记不清,所以可以让学生不去死记硬背,而是学会用配方的方法将圆的一般方程转化为圆的标准方程,再得出圆心坐标和半径.变式(2010年广东卷改编)若圆O的方程为x2+y2+Dx+F=0,半径为,位于y轴右侧,且与直线x+2y=0相切,求圆O的方程.处理建议要解决本题,只需要求出其中待定的系数D和F,而已知恰好是两个条件,只要根据这两个条件列出D和F的方程组即可.本题还是让学生熟练运用“圆心为半径为”的结论.本题还有另一个用意,要学生能透过现象看本质,“圆O的
79、方程为x2+y2+Dx+F=0”这句话的本质是圆心为(a, 0),用标准方程更方便.如果学生想不到,老师可以引导.解方法一: 由题意,圆心为,半径为,则=, =,得D=-10(正值舍去), F=20.所以圆的方程为:x2+y2-10x+20=0.方法二:由题意设圆心为(a, 0),因为与直线x+2y=0相切,所以=,得a=5(负值舍去),所以圆的方程为:(x-5)2+y2=5.*【例3】(教材P110例4)某圆拱梁的示意图如图1,该圆拱的跨度AB是36m,拱高OP是6m,在建造时,每隔3m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长度.(精确到0.01m)5(图1)处理建议若能够知道该圆拱所在的圆的方
80、程,问题就变得很简单了,所以,我们联想到建立相应的直角坐标系,将问题转化为求圆的方程.规范板书解以线段AB所在直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立直角坐标系(图2),那么点A, B, P的坐标分别为A(-18, 0), B(18, 0), P(0, 6).设圆拱所在的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为点A, B, P在所求的圆上,故有得所以圆拱所在的圆的方程为x2+y2+48y-324=0.将点P2的横坐标x=6代入圆方程,解得y=-24+125.39(舍去负值).答支柱A2P2的长约为5.39m.(图2)题后反思本题的关键利用图形建立直角坐标系,求出圆拱所在圆的方程,用代数
81、的方法研究几何问题,这里体现了数形结合的思想.变式(教材P112第11题改编)河道上有一座圆拱桥,在正常水位时拱圈最高点距水面为5m,拱圈内水面宽为20m,一条船在水面以上部分高为3m,船宽为8m(如图3,船近似地看成矩形),故通行无阻,近日水位涨了1.5m,为此,必须加重船载,降低船身,才能通过桥洞.试问:船身应该降低多少?(精确到0.01m, 23.68)处理建议本题主要进一步强化用代数的方法研究几何问题的思想,即解析思想.(图3)(图4)规范板书解建立直角坐标系如图4,那么点A, B, P的坐标分别为A(-10, 0), B(10, 0), P(0, 5).设圆拱所在的圆的方程为x2+y
82、2+Dx+Ey+F=0.因为点A, B, P在所求的圆上,故有得所以圆拱所在的圆的方程为:x2+y2+15y-100=0.将点P2的横坐标x=4代入圆方程,解得y=4.34(舍去负值).故当水位涨了1.5m后,船身应该降低3-(4.34-1.5)=0.16(m).答船身应降低0.16m,才能通过桥洞.四、 课堂练习1. 下列方程各表示什么图形?若表示圆,则求出其圆心和半径:(1) x2+y2-4y=0.(2) x2+y2-2x-4y+5=0.解(1) 表示圆,圆心(0, 2),半径5;(2) 因为(-4)2+(-2)2-45=0,所以不表示圆,表示点(1, 2).2. 若圆x2+y2-2x+4
83、my+m2=0的圆心在直线x+y+2=0上,求该圆的半径.解圆心坐标为(1, -2m),因为圆心在直线x+y+2=0上,所以1-2m+2=0,得m=,所以半径=.3. 若直线x+y=0将圆C:x2+y2+2x+2ay+a2=0的面积两等分,求圆C的半径.提示“直线x+y=0将圆C:x2+y2+2x+2ay+a2=0的面积两等分”即圆心在直线上,故可以求出a的值,再利用半径公式求出半径.答案为1.4. 求经过点A(6, 0), B(-4, 2), C(5, -1)的圆的方程.提示设圆的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为圆经过点A(6, 0), B(-4, 2), C(5, -1),将三
84、个坐标代入圆的方程,列出方程组,解出其中的待定系数即可.答案为x2+y2-3x-7y-18=0.五、 课堂小结1. 对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,当D2+E2-4F0时,方程表示以为圆心,为半径的圆;当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点;当D2+E2-4Fr时,直线和圆相离;d=r时,直线和圆相切;d0).由直线l和圆C的方程联立方程组则方程组无解时,直线和圆相离;方程组仅有一组解时,直线和圆相切;方程组有两组不同的解时,直线和圆相交.问题5请总结一下到目前为止,判断直线和圆的位置关系有哪几种方法?它们有什么不同?(引导对学过的内容总结,由初中学过的平面几何过渡到解析几何,从“形
85、”过渡到“数”,了解知识之间的联系和发展)几何法是平面几何的方法,是直线和圆的几何特征;而利用联立方程组的方法是解析法,是直线和圆的代数特征.利用代数的方法解决几何问题就是解析的思想.三、 数学应用【例1】(教材P113例1)求直线4x+3y=40和圆x2+y2=100的公共点的坐标,并判断它们的位置关系.3处理建议直线和圆的交点坐标就是它们联立的方程组的解,本题让学生板演. 规范板书解直线4x+3y=40和圆x2+y2=100的公共点的坐标就是方程组的解.解这个方程组,得所以公共点坐标为(10, 0), .直线4x+3y=40和圆x2+y2=100有两个公共点,所以直线和圆相交.题后反思求两
86、曲线的交点坐标或交点的个数可以用联立方程组的方法,用方程组的解反映图形的情况,这是一般的方法,是通解.变式已知直线y=3x+m和圆x2+y2=2相交于点(1, 1),求直线和圆的另一个交点的坐标.处理建议让学生比较和例1的区别,直线的方程未知,先根据条件求出直线的方程,再联立方程组求解.在解方程时,实际上已经知道方程的一个根了,可以利用根与系数关系来解决,在上课时要引导学生注意这一点,这也是近几年高考中有所体现的题型.解因为线y=3x+m过点(1, 1),所以1=3+m,所以m=-2,将直线和圆的方程联立方程组消去y,得10x2-12x+2=0,由题意方程一个根为1,设另一个根为x2, 则1x
87、2=,得x2=.将x2=代入直线的方程得y2=-,所以直线和圆的另一个交点的坐标为.【例2】(教材P113例2)自点A(-1, 4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线l的方程.4处理建议要求直线的方程还需要知道什么?先引导学生找准解决问题的方向,即还需要知道直线的斜率.再根据直线和圆相切的条件,列出关于斜率的方程,求出斜率.让学生在下面书写,教师可以找出用不同方式解题的同学上黑板板演.规范板书解方法一:当直线l垂直于x轴时,直线l: x=-1与圆相离,不满足条件.当直线l不垂直于x轴时,可设直线l的方程为y-4=k(x+1),即kx-y+(k+4)=0,因为直线和圆相切,所以圆
88、心(2, 3)到直线l的距离等于圆的半径,故=1.解得k=0或k=-,因此,所求直线l的方程为y=4或3x+4y-13=0方法二:当直线l垂直于x轴时,直线l: x=-1与圆相离,不满足条件.当直线l不垂直于x轴时,可设直线l的方程为y-4=k(x+1),由于直线和圆相切,所以方程组仅有一解.由方程组消去y,得关于x的一元二次方程(1+k2)x2+(2k2+2k-4)x+k2+2k+4=0.依题意,这个一元二次方程有两个相等实根,所以判别式=(2k2+2k-4)2-4(1+k2)( k2+2k+4)=0.解得k=0或k=-.因此,所求直线l的方程为y=4或3x+4y-13=0.题后反思处理直线
89、和圆相切时,一般有两种方法,一是用几何法,即d=r;另一个是代数法,即通过方程组的解来分析.特别要注意在设直线方程时,要关注直线方程适用的条件,往往要分情况讨论,这一点非常容易遗漏.变式(2010年山东枣庄模拟改编)将圆x2+y2=1沿x轴正方向平移1个单位后得圆C,若过点(3, 0)的直线l和圆C相切,求直线l的方程.处理建议本题仍然强调在设直线方程时,要分情况讨论.解将圆x2+y2=1向右平移1个单位后得圆的方程为(x-1)2+y2=1.过点(3, 0)的直线l方程分为两种情况:当斜率不存在时x=3,与圆不相切;当斜率存在时,设直线方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,因为直线和圆
90、相切,所以圆心(1, 0)到直线l的距离等于圆的半径,故=1.解得k=.因此,所求直线l的方程为y=(x-3).【例3】(教材P114例3)求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长.5处理建议本题同样有两种方法,让学生先思考,再找用不同方式解题的同学上黑板板演.如果学生不能用两种方法解决,教师可以引导,如用“弦长就是一条线段长,即两点之间的距离.”引导学生用代数法;用“在我们初中平面几何中还学过关于弦长的问题吗?”引导学生用几何法,即用垂径定理来解决.规范板书解法一直线x-y+2=0和圆x2+y2=4的公共点坐标就是方程组的解.解这个方程组,得所以公共点坐标为(, 1), (0, 2)
91、,直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为=2.(图2)解法二如图2,设直线x-y+2=0和圆x2+y2=4交于A, B两点,弦AB的中点为M,则OMAB(O为坐标原点),所以AB=2AM=2=2=2.题后反思弦的相关问题不外乎用代数法或几何法解决,几何法侧重于图形特征,代数法侧重于运算,当条件具备几何图形的某些特征时,用几何法解答会更方便快捷.圆的弦长的求法: 几何法:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为L,则=r2-d2; 代数法:设直线与圆相交于A(x1, y1), B(x2, y2)两点,解方程组由方程组消去y,得关于x的一元二次方程,求出A, B的坐标,再用两点之间的距离公式求
92、出弦长AB.变式1已知点A(1, 1),求过点A的圆x2+y2-4y=0的最长与最短的弦长.处理建议结合图象分析,找出过圆内一点作最长弦和最短弦的条件.规范板书解圆x2+y2-4y=0圆心为C(0, 2), r=2,因为点A(1, 1)在该圆内,所以过A最长的弦就是过A及圆心的直径,长为4;最短的弦就是与AC垂直的弦,因为AC=,所以弦长为2=2.变式2已知过点M(-3, -3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为8,求直线l的方程.处理建议把圆的方程化为标准式,求出圆心坐标和半径,求出弦心距的值.设出直线l的方程,由弦心距的值求出直线的斜率,即得直线l的方程.规范板书解圆x2
93、+y2+4y-21=0的圆心坐标为(0, -2),半径r=5.因为直线l被圆所截得的弦长是8,所以弦心距为=3.因为直线l过点M(-3, -3),所以,当斜率不存在时,直线方程为x=-3,满足题意;当斜率存在时,可设所求直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.则由圆心到直线的距离等于弦心距,得=3,解得k=-,此时直线方程为4x+3y+21=0.故所求直线有两条,它们分别为x=-3, 4x+3y+21=0.*【例4】已知点P(0, 5)及圆:C: x2+y2+4x-12y+24=0.(1) 若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程;(2) 求圆C内过点P的弦的中
94、点的轨迹方程.6处理建议对于(1), 要求直线的方程只需要求出直线的斜率,利用垂径定理求出圆心到直线的距离,从而得出关于斜率的等量关系,求出斜率;对于(2) 只需要列出关于弦中点D(x, y)的等式即可.解(1) 如图,AB=4,D是AB的中点,则AD=2, AC=4,(图3)在RtADC中,可得CD=2.设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.由点C到直线的距离公式=2,得k=,此时直线l的方程为3x-4y+20=0.又直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时的方程为x=0.所以所求直线为x=0或3x-4y+20=0.(2) 方法一: 设圆C上过点P的弦的中点为D
95、(x, y),因为CDPD,所以=0,即(x+2, y-6)(x, y-5)=0,化简得轨迹方程x2+y2+2x-11y+30=0.方法二:设弦的两个端点分别为A(x1, y1), B(x2, y2),弦的中点为D(x, y),则x1+x2=2x, y1+y2=2y.将A(x1, y1), B(x2, y2)代入圆的方程得-得(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)+4(x1-x2)-12(y1-y2)=0,同除以(x1-x2),得x+kABy+2-6kAB=0,因为kAB=kPD=,所以x+2-=0,整理得轨迹方程x2+y2+2x-11y+30=0.题后反思在研究与弦的中点
96、有关问题时,注意运用“平方差法”,即设弦AB两端点的坐标分别为A(x1, y1), B(x2, y2),中点为(x0, y0),由得k=-=-.该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.四、 课堂练习1. 对任意实数k,圆C: x2+y2-6x-8y+12=0与直线l: kx-y-4k+3=0的位置关系是相交.提示因为动直线kx-y-4k+3=0过定点(4, 3),而该点恰好在圆内部.所以直线和圆相交.2. 若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a, b)与圆的位置关系是在圆外.解因为直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,所以圆心到直线的距离小于半径,则1,所以点在圆外
97、.3. (1) 求过圆x2+y2=4上一点的圆的切线方程.(2) 求过原点且与圆(x-3)2+(y-1)2=1相切的直线方程.答案(1) -x+y-4=0.(2) y=x和y=0.4. 求过原点且倾斜角为60的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长.提示本题有多种方法,用几何法,代数法都可以,都比较简单.答案2.五、 课堂小结1. 在直线与圆的位置关系中,“直线与圆相切时求切线”和“相交时研究与弦长有关的问题”是两个重点内容;求切线时,若知道切点,可直接利用公式;若过圆外一点求切线,一般运用圆心到直线的距离等于半径来求,但注意有两条.2. 解决与弦长有关的问题时,注意运用由半径、弦心距、弦长
98、的一半构成的直角三角形,也可以运用弦长公式,就是通常所说的“几何法”和“代数法”.3. 解决直线与圆的位置关系问题,一般有两种方法,即几何法或代数法,从运算的合理、简明的要求选择,通常采用几何法,但代数法具有一般性.4. 数形结合法(如几何法)是解决直线与圆的位置关系的重要方法.第16课时圆和圆的位置关系 教学过程一、 问题情境在一张纸上画一个圆,用一个硬币从纸的一边移动到另一边,如果把这个硬币看成一个圆,这个动圆在移动过程中,你观察到什么现象?(通过具体实例,让学生感受两个圆的各种位置的几何现象,为用其他数学语言表示这些现象作准备.通过对已学过内容的复习自然过渡到新学的内容,让学生感受到即将
99、要学的内容是和平面几何有区别的,是用不同的方式研究同一个问题)二、 数学建构问题1初中学过的平面几何中,圆和圆有哪几种位置关系?圆和圆的位置关系有:外离、外切、相交、内切、内含.或者圆和圆的位置关系有:相离相交,相切(该问题可能学生一开始已经回答了,在这里再次出现的目的是明确在数学中圆和圆位置关系的准确表述,不能用其他意思相近的词语代替.特别要强调相切和相离包含两种情况)问题2设两圆半径分别为R和r,圆心距为d,你能用R, r和d之间的数量关系表示这五种关系吗?两圆外切d=R+r;两圆内切d=R-r (Rr);两圆外离dR+r;两圆内含dr);两圆相交R-rd0时,相交;=0时,相切;0时,相
100、离.几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距做比较,得到两圆的位置关系;代数法则是把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题,从而进一步体现几何问题与代数问题之间的相互联系.但这种代数判定方法只能判断出相离、相交、相切三种位置关系,而不能像几何法那样能判定出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.因此,在一般情况下,使用几何法判定两圆的位置关系问题,只有在特定的情况下,才使用代数法,比如,只要求判断两圆是否相交或相切或相离.三、 数学应用【例1】(教材P115例1)判断下列两圆的位置关系:(1) (x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16.(2) x
101、2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0.3处理建议例1是对刚学知识的巩固和应用,先根据已知条件求出d, R, r,再判断它们之间的数量关系;(2)则需将方程转化为(1)的形式即可.规范板书解(1) 根据题意得,两圆的半径分别为r1=1和r2=4,两圆的圆心距d=5.因为d=r1+r2,所以两圆外切.(2) 将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y2=16, x2+(y+3)2=36.故两圆的半径分别为r1=4和r2=6,两圆的圆心距d=3.因为|r1-r2|d0),试求a为何值时,两圆:(1)有唯一公共点;(2)有两个公共点;(3)无公共点.处理建议让学生自己分析,然后再提问.
102、考察学生对圆与圆位置关系的理解,特别要注意有唯一公共点是指外切和内切两种情况,无公共点指外离和内含两种情况.解根据题意得,两圆的半径分别为r1=a和r2=a+1,两圆的圆心距d=5因为r2-r1=1,所以:(1) 有唯一公共点时,由d=r1+r2,得5=2a+1,则a=2;(2) 有两个公共点时,由|r1-r2|dr1+r2,得52;(3) 无公共点时,由dr1+r2,得52a+1,则0a0)的公共弦的长为2,求实数a的值.处理建议根据垂径定理,已知半径和弦长可以求出弦心距,而弦心距就是圆心到直线的距离,从而求出实数a的值.(图1)规范板书解两圆方程作差易知弦所在直线方程为y=.(如图1)由已
103、知AC=, OA=2,有OC=1, a=1.变式2已知圆C1: x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2: x2+y2-2x+10y-24=0相交于A, B两点,求圆心在直线y=-x上,且经过A, B两点的圆的方程.处理建议根据垂径定理,圆心在弦的垂直平分线上,那么只需要求出弦所在的直线方程即可,进一步巩固公共弦所在直线方程的求法.规范板书解由得AB所在的直线方程为x-2y+4=0.设AB垂直平分线的直线方程为2x+y+m=0.因为圆x2+y2+2x+2y-8=0的圆心为(-1, -1),且在直线2x+y+m=0上,所以-2-1+m=0,即m=3,得AB垂直平分线的直线方程为2x+y+3=0.由
104、得所求圆的圆心为M(-3, 3).由解得或即A(-4, 0), B(0, 2), r=AM=. 经过A, B两点的圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.变式3过原点O作圆C: x2+y2-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P, Q,求线段PQ所在的直线方程.处理建议线段PQ所在的直线方程就是以OC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程.解圆C:x2+y2-6x-8y+20=0的圆心为C(3, 4),以OC为直径的圆的圆心为,半径为,所以该圆的方程为x2+y2-3x-4y=0,用x2+y2-3x-4y=0减去x2+y2-6x-8y+20=0得3x+4y-20=0.所以线段PQ所在
105、的直线方程为3x+4y-20=0.四、 课堂练习1. 判断下列两个圆的位置关系:(1) (x-1)2+(y+1)2=1与(x-5)2+(y-2)2=36.(2) 2x2+2y2-3x+2y=0与3x2+3y2-x-y=0.答案(1) 内切,(2) 相交.2. 若圆x2+y2=m与圆x2+y2-8x+6y-11=0相交,求实数m的取值范围.答案1m0)及直线l:x-y+3=0当直线l被圆C截得的弦长为2时,求a的值.(2) 求以圆C1: x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2: x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦长.(3) 求直线x+y-2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角
106、.4处理建议利用垂径定理解题,进一步熟悉它在直线和圆位置关系中的应用,同时让学生总结何时会用到这个定理.规范板书解(1) 因为弦心距=1,所以圆心(a, 2)到直线l:x-y+3=0得距离为1,即=1,所以a=+1或a=-+1(舍).(2) 圆C1: x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2: x2+y2+12x+16y-25=0的方程相减得两圆的公共弦方程为4x+3y-2=0,圆C1: x2+y2-12x-2y-13=0的圆心为(6, 1),半径为5,圆心为(6, 1)到直线4x+3y-2=0的距离为=5,所以弦长为2=10.(3) 弦心距为=,则圆心角一半的余弦为,即圆心角一半为,所以圆
107、心角为.题后反思凡是与弦长、圆心角、弧长等有关词语出现时,一般都会和垂径定理有关,即圆的半径r,弦心距d(圆心到直线的距离),弦长l,满足关系r2=d2+.变式1已知方程:x2+y2-2x-4y+m=0.(1) 若此方程表示圆,求m的取值范围.(2) 若(1)中的圆与直线x+y-4=0相交于M, N两点,且CMCN(C为圆心),求m.(3) 在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.处理建议抓住条件CMCN,画图感受图形的特殊性,找到解决问题的突破口.解(1) 由22+42-4m0,得m5.(2) CMCN, CMN为等腰直角三角形.则CM=CN=r, MN=r,圆心到MN的距离d为MN边上
108、的高,即d=r.圆x2+y2-2x-4y+m=0的圆心为C (1, 2),半径r=(m5)因为圆心(1, 2)到直线x+y-4=0的距离为=,所以=, m=4.(3) MN为直径的圆的圆心为MN的中点,不妨设为P(a, 4-a). CPMN, kCP=1, =1,得a=, MN为直径的圆的圆心为,半径为MN=r=.所以MN为直径的圆的方程为:+=.变式2已知圆C: x2+(y-3)2=4,一动直线l过A(-1, 0)与圆C相交于P, Q两点,M是PQ中点,l与直线m: x+3y+6=0相交于N.(1) 求证:当l与m垂直时,l必过圆心C.(2) 当PQ=2时,求直线l的方程.(3) 探索是否与
109、直线l的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说明理由.(图1)处理建议这是一个综合题型,考察对弦长的应用,可以检验学生对这一知识的掌握情况,问题(3)主要突出解析思想,考察学生的计算能力.解(1) 当l与m垂直时,l的方程可设为3x-y+n=0.因为直线l过A(-1, 0),所以n=3,直线l的方程为3x-y+3=0.则圆C的圆心为C (0, 3)满足方程3x-y+3=0.所以l必过圆心C.(2) 当PQ=2时,弦心距为=1.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,满足题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0.由=1,得k=,此时直线l的方
110、程为4x-3y+4=0.所以直线l的方程为:x=-1或4x-3y+4=0.(3) 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,由得N,所以=,直线CM的方程为y=-x+3.由得M, =, =+=-5.经检验,当直线l的斜率不存在时,=-5.综上,与直线l的倾斜角无关,=-5.*【例4】如图2,已知圆O: x2+y2=4与x轴交于A, B两点,定直线l:x=4,且直线lx轴.点P是圆O上异于A, B的任意一点,直线PA, PB分别交l与M, N点.(1) 若PAB=30(点P在x轴上方),求以MN为直径的圆方程.(2) 当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过圆O
111、内的一定点.5(图2)处理建议解决以MN为直径的圆方程的关键在于求出M, N点的坐标,告诉学生通过构造方程组计算是解决解析几何问题的一般方法.解由题意,A(-2, 0), B(2, 0).(1) 当PAB=30时,kAP=, kBP=-,则直线AP的方程为y=(x+2),与x=4的交点M(4, 2);直线BP的方程为y=-(x-2),与x=4的交点N(4, -2). MN的中点坐标为(4, 0), MN=4. 以MN为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=12.(2) 设kAP=k, kBP=-.则直线AP的方程为y=k(x+2),与x=4的交点M(4, 6k);直线BP的方程为y=-(x-2)
112、,与x=4的交点N. MN的中点坐标为, MN=2. 以MN为直径的圆的方程为(x-4)2+=.即x2+y2-8x-2y+4=0.令y=0,则x2-8x+4=0,得x=42,点(4+2, 0)在圆外部,所以以MN为直径的圆必过圆O内的一定点(4-2, 0).二、 课堂练习1. 若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1. 解析由题意,设圆心(x0, 1), =1,解得x0=2或x0=-(舍), 所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.2. 已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-
113、1=0对称,则圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.解析圆C1: (x+1)2+(y-1)2=1的圆心为(-1, 1).圆C2的圆心设为(a, b), C1与C2关于直线x-y-1=0对称, 解得又圆C2的半径为1, 圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.3. 已知圆的半径为,圆心在直线y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长为4,求该圆的方程.提示可用待定系数法求解.答案(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.4. 若直线y=x+b与曲线y=3-有公共点,求b的取值范围.提示用数形结合的思想,直线是斜率为1的动直线,曲线是一个半圆.答案1-2, 3
114、. 三、 课堂小结1. 在直线与圆的位置关系中,当直线和圆相切时,利用圆心到直线的距离与半径相等这样的等量关系可以求某些变量的值.利用切点和圆心的连线垂直于切线的性质,求切线的方程、确定圆心的位置等.2. 求代数式的最值或取值范围时,通常分析代数式的几何意义,将问题转化为直线的某种特性或直线和圆的某种关系来解题.3. 用构造方程组的方法求交点是解析几何的基本思想,做题时要有耐心,更要细心.4. 解题时画出直观的图象,分析图形之间的特殊关系,列出等式,做到“图象先行”的原则.第18课时空间直角坐标系 教学过程一、 问题情境之前我们学习了直线和圆,我们对解析几何的学习将告一段落.解析几何是根据坐标
115、,利用代数处理几何的方法科学.现在,请大家思考一个问题:黑板平面内停留着一只飞虫,问如何确定飞虫的位置?由此激发学生对平面坐标系建立(定位)的意识, 在此讲明平面内的点与二元数组(x, y)的一一对应.具体到点坐标的确定(根据点在x轴、y轴射影与原点之间的距离).设问:当飞虫飞离黑板所在平面,那飞虫的位置在现有的基础上如何确定?(引出空间直角坐标系)二、 数学建构问题1如图1,在房间(立体空间)内如何确定电灯位置?(图1)在学生思考讨论的基础上,教师明确:确定点在直线上,通过数轴需要一个数;确定点在平面内,通过平面直角坐标系需要两个数.那么,要确定点在空间内,应该需要几个数呢?通过类比联想,容
116、易知道需要三个数.要确定电灯的位置,知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可.问题2如何用一组实数来表示电灯的位置?在地面上建立直角坐标系xOy,则地面上任一点的位置只须利用x, y就可确定.为了确定不在地面内的电灯的位置,须要用第三个数表示物体离地面的高度,即需第三个坐标z.因此,只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可.例如,若这个电灯在平面xOy上的射影的两个坐(图2)标分别为4和5,到地面的距离为3,则可以用有序数组(4, 5, 3)确定这个电灯的位置(如图2).这样,仿照初中平面直角坐标系,就引出了空间直角坐标系O-xyz的建立,从而确定了空间点的位置.问题3空间
117、直角坐标系是如何建立的?(引导学生从特殊向一般过渡)在前面研究的基础上,先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括,然后由教师给出准确的定义.从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴,这样就建立了空间直角坐标系O-xyz,点O叫作坐标原点,x轴、y轴、z轴叫作坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别称为xOy平面,yOz平面,zOx平面.教师进一步明确:(1) 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,若中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手坐标系,课本中建立的坐标系都是右手坐标系.(2) 将空间直角坐标系O-xyz画在纸上时,x轴与y轴、x轴
118、与z轴成135,而y轴垂直于z轴,y轴和z轴的单位长度相等,但x轴上的单位长度等于y轴和z轴上的单位长度的,这样,三条轴上的单位长度直观上大致相等.问题4在空间直角坐标系中,空间任意一点A与有序数组(x, y, z)有什么样的对应关系?(1) 过点A作三个平面分别垂直于x轴,y轴,z轴,它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P, Q, R,点P, Q, R在相应数轴上的坐标依次为x, y, z,这样,对空间任意点A,就定义了一个有序数组(x, y, z).(2) 反之,对任意一个有序数组(x, y, z),按照刚才作图的相反顺序,在坐标轴上分别作出点P, Q, R,使它们在x轴、y轴、z轴上的(图3
119、)坐标分别是x, y, z,再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面,这三个平面的交点就是所求的点A.这样,在空间直角坐标系中,空间任意一点A与有序数组(x, y, z)之间就建立了一种一一对应关系:A(x, y, z).问题5空间直角坐标系O-xyz中任意点A的坐标?对于空间任意点A,作点A在三条坐标轴上的射影,即经过点A作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴、z轴分别交于点P, Q, R,点P, Q, R在相应数轴上的坐标依次为x, y, z,我们把有序数组(x, y, z)叫作点A的坐标,记为A(x, y, z).(如图3)问题6(1) 在空间直角坐标系中,坐标平面x
120、Oy, xOz, yOz上点的坐标有什么特点?(2) 在空间直角坐标系中,x轴、y轴、z轴上点的坐标有什么特点?答(1) xOy平面、xOz平面、yOz平面内的点的坐标分别形如(x, y, 0), (x, 0, z), (0, y, z).(2) x轴、y轴、z轴上点的坐标分别形如(x, 0, 0), (0, y, 0), (0, 0, z).(进一步熟悉和巩固空间直角坐标系中点的坐标的特点)三、 数学应用【例1】(教材P119例1)在空间直角坐标系O-xyz中,作出点P(5, 4, 6).处理建议分析可按下列步骤作出点P,OP1P2P规范板书解如图4所示.(图4)(图5)题后反思在空间直角坐
121、标系中作点应按照作图步骤进行.变式已知长方体ABCD-ABCD的边长AB=12, AD=8, AA=5,以这个长方体的顶点A为坐标原点,射线AB, AD, AA分别为x轴、y轴和z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求这个长方体各个顶点的坐标.处理建议本题根据所建立的空间直角坐标系,找到各点在坐标系中的位置,确定其坐标.解因为AB=12, AD=8, AA=5,点A在坐标原点,即A(0, 0, 0),且B, D, A分别在x轴、y轴、z轴上,所以它们的坐标分别为B(12, 0, 0), D(0, 8, 0), A(0, 0, 5).点C, B, D分别在xOy平面、zOx平面和yOz平面内,坐标分
122、别为C(12, 8, 0), B(12, 0, 5), D(0, 8, 5).点C在三条坐标轴上的射影分别是点B, D, A,故点C的坐标为(12, 8, 5).讨论若以C点为原点,以射线CB, CD, CC方向分别为x, y, z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,那么各顶点的坐标又是怎样的呢?得出结论建立不同的坐标系,所得的同一点的坐标也不同.(图6)*【例2】结晶体的基本单位称为晶胞,如图6是食盐晶胞的示意图可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体,其中黑色圆点代表钠原子,小圆圈代表氯原子,如图,建立空间直角坐标系O-xyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标.解把图中的钠原子分成下、中、上
123、三层来写它们所在位置的坐标.下层原子全在xOy平面,它们所在位置的竖坐标全是0,所以下层的五个钠原子所在位置的坐标分别为:(0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), .中层的四个钠原子所在位置的坐标分别为:, , , .上层的五个钠原子所在位置的坐标分别为:(0, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 1), .题后反思这个题目是以化学中的晶胞为情境,能引人入胜,一方面检验学生对空间直角坐标系的理解和对确定空间点的坐标的掌握情况;另一方面能体现数学与其他学科的联系,体现数学对自然科学研究的工具性,表达“学有用的数学”
124、这一新课程的基本理念.变式在长方体OABC-DABC中,OA=3, OC=4, OD=2,写出D, C, A, B四点关于平面xOy对称的坐标.处理建议让学生讨论,再提问学生,由学生总结解题的思路,教师点评.规范板书解因为D在z轴上,且OD=2,它的竖坐标为2,它的横坐标与纵坐标都是零,所以D点的坐标是(0, 0, 2),点C在y轴上,(图7)且OC=4,所以点C的坐标为(0, 4, 0),点A的坐标为(3, 0, 2), B的坐标为(3, 4, 2).所以D点对称点的坐标是(0, 0, -2),点C对称点的坐标为(0, 4, 0),点A对称点的坐标为(3, 0, -2), B的对称点坐标为(
125、3, 4, -2).题后反思点关于平面xOy对称的点的坐标的特点是:横坐标和纵坐标不变,竖坐标相反.进而可以总结出关于平面yOz对称的点的特点和关于平面zOx对称的点的特点.【例3】(教材P113例3)(1) 在空间直角坐标系O-xyz中,画出不共线的3个点P, Q, R,使得这3个点的坐标都满足z=3的图形.(2) 写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件.(图8)处理建议对于(1),师生经过交流达成共识:为简便起见,取三点为(0, 0, 3)、 (4, 0, 3)、 (0, 4, 3).对于(2),让学生讨论,发表意见后师生一起交流探讨,得出结论.规范板书解(1) 取三个点P(0,
126、 0, 3), Q(4, 0, 3), R(0, 4, 3).(2) P, Q, R三点不共线,可以确定一个平面,又因为这三点在xOy平面的同侧,且到xOy平面的距离相等,所以平面PQR平行于xOy平面,而且平面PQR内的每一个点在z轴上的射影到原点的距离都等于3,即该平面上的点的坐标都满足z=3.题后反思通过本例教学,培养了学生对空间问题的分析处理能力,向学生渗透了空间“点的集合(轨迹)问题”的处理方法,为本节第2课时所要介绍的类似问题做铺垫.变式设z为任意实数,相应的所有点P(1, 2, z)的集合是什么图形?处理建议通过对三维空间的感受,将平面中此类问题类比到空间,再总结出一般的规律.规
127、范板书解P(1, 2, z)在xOy平面上的射影为P(1, 2, 0),所以当横坐标、纵坐标不变,竖坐标变化时相应的图形是过P点且垂直于xOy平面的一条直线.题后反思一般的,当一个点的2个坐标确定,1个坐标可取任意值时,这样的点的集合是垂直于坐标平面的一条直线.四、 课堂练习1. 在空间直角坐标系中,画出下列各点:A (0, 0, 3), B (1, 2, 3), C (2, 0, 4), D(-1, 2, -2).解略.2. 已知长方体ABCD-ABCD的边长为AB=6, AD=4, AA=7.以这个长方体的顶点B为坐标原点,射线BA, BC, BB分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立空间直
128、角坐标系,求长方体各个顶点的坐标.解A (6, 0, 0), B (0, 0, 0), C (0, 4, 0), D(6, 4, 0), A (6, 0, 7), B (0, 0, 7), C(0, 4, 7), D(6, 4, 7).3. (1) 在空间直角坐标系中,在Ox轴上的点的坐标可写成(x, 0, 0);(2) 在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标可写成(0, y, z);(3) 在空间直角坐标系中,在Oz轴上的点的坐标可写成(0, 0, z);(4) 在空间直角坐标系中,在xOz平面上的点的坐标可写成(x, 0, z).五、 课堂小结1. 本节课所学知识有:空间直角坐标系、
129、空间点的坐标的确定、空间点对称.2. 领会类比的思想方法在探索新知识过程中的作用,实现了从线到平面、再从平面到空间的变化.第19课时空间两点间的距离 教学过程一、 问题情境建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式,你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗?二、 数学建构问题1在平面上任意两点A (x1, y1), B (x2, y2)之间的距离的公式是什么?AB=,那么对于空间中任意两点A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2)之间的距离的公式会是怎样呢?问题2空间中任意两点A (x1, y1, z1), B (x2, y2, z2)之间的距离的公式会是怎样?你能猜想吗?(引导学
130、生去进行类比猜想,充分发挥学生的联想能力)(图1)问题3空间中任意一点P (x, y, z)到原点之间的距离公式会是怎样呢?如何证明?(为了验证一下同学们的猜想,我们来看比较特殊的情况,引导学生用勾股定理来完成)OP=.问题4在上面的问题中,如果OP是定长r,那么x2 + y2 + z2 = r2表示什么图形?(注意引导类比平面直角坐标系中,方程x2 + y2 = r2表示的图形,让学生有种回归感)在平面直角坐标系中,方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,半径为r的圆,将此推广到空间,得出x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,半径为r的球面.(图2)问题5空间中任意两点P1 (x1, y1,
131、 z1)、 P2 (x2, y2, z2)之间的距离公式怎样证明呢?(引导学生利用由特殊到一般的思想方法推到空间两点之间的距离)经过探究,得出空间两点之间的距离公式:P1P2=空间两点P1(x1, y1, z1)、 P2(x2, y2, z2)间的距离反映在立体几何中,实质上是以P1、 P2作为长方体的一条体对角线的端点的所在体对角线的长,其中此长方体的长为,宽为,高为.问题6空间中两点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2)的线段P1P2的中点坐标是什么?平面直角坐标系中两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)的线段P1P2的中点坐标是什么?类似地不难将平面直角坐
132、标系中的中点公式推广到空间直角坐标系中.即如果P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2),则两点的中点P的坐标为, , .三、 数学应用【例1】(教材P121例1)求空间两点P1(3, -2, 5), P2(6, 0, -1)间的距离P1P2.处理建议根据空间两点间的距离公式,直接带入公式计算即可.规范板书解P1P2=7.题后反思求空间两点间的距离时,正确地带入公式,特别注意各个坐标的符号.变式已知A(x, 2, 3)、 B(5, 4, 7),且AB=6,求x的值.处理建议本题已知AB两点之间的距离,要求A点坐标中未知的横坐标,只需带入空间两点间距离公式,寻找关于x的方程,解
133、方程即得.解AB=6, =6,即(x-5)2=16.解得x=1或x=9. x=1或x=9.题后反思求字母的值,常利用方程的思想,通过解方程或方程组求解.【例2】已知三点 A(1, 3, 2), B(-2, 0, 4), C(-8, -6, 8),证明:A, B, C三点在同一直线上.处理建议让学生讨论,再提问学生,由学生总结解题的思路.本题只需利用空间两点间距离公式算出AB , BC, AC,证明AB+BC=AC即可.规范板书解利用两点间距离公式,得AB=, BC=2, AC=3,所以AB+BC=AC,所以A, B, C三点在同一直线上.题后反思利用平面中常用的证明方法是证明三点共线的有效手段
134、.变式试判断以A(4, 1, 9), B(10, -1, 6), C(2, 4, 3)为顶点的三角形ABC的几何特性.处理建议要判断三角形的形状,可以从三角形的边上入手,通过计算三角形的三边长,从中寻找解题突破口.解 AB=7,BC=7,AC=7, AB2+AC2=BC2且AB=AC. 三角形ABC是等腰直角三角形.【例3】讨论方程(x+2)2+(y-6)2+(z-1)2=16的几何意义.处理建议方程的左边可看作空间两点间距离的平方,构造点P(x, y, z),定点M(-2, 6, 1),和平面解析几何中的圆的方程进行类比即得.规范板书解因为(x+2)2+(y-6)2+(z-1)2=16,所以
135、=4.即动点P(x, y, z)到定点M(-2, 6, 1)的距离等于4,所以(x+2)2+(y-6)2+(z-1)2=16表示动点P的轨迹:一个半径为4,球心为M(-2, 6, 1)的球面.题后反思几何图形能代数化,用方程表示;代数方程也有一定的几何意义,在解题时要注意数形结合.变式点P在坐标平面xOy内,A点的坐标为(-1, 2, 4),问满足条件PA=5的点P的轨迹是什么?处理建议因点P一方面在坐标平面xOy内,另一方面满足条件PA=5,即点P在球面上,故点P的轨迹是坐标平面xOy与球面的交线.解设点P的坐标为(x, y, z). 点P在坐标平面xOy内, z=0, PA=5, =5,即
136、(x+1)2+(y-2)2+(z-4)2=25, 点P在以点A为球心,半径为5的球面上, 点P的轨迹是坐标平面xOy与以点A为球心,半径为5的球面的交线,即在坐标平面xOy内的圆,且此圆的圆心即为A点在坐标平面xOy上射影A(-1, 2, 0). 点A到坐标平面xOy的距离为4,球面半径为5, 在坐标平面xOy内的圆A的半径为3. 点P的轨迹是圆(x+1)2+(y-2)2=9, z=0.题后反思对于空间直角坐标系中的轨迹问题,可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决.四、 课堂练习1. 已知点A(-2, 4, -1), B(4, -6, 7),求AB的距离和AB中点的坐标.答案AB=1
137、0,中点的坐标为(1, -1, 3).2. 已知A(2, 5, -6),在y轴上求一点B,使得AB=7.提示注意y轴上点的坐标的特点.答案B(0, 2, 0)或B(0, 8, 0).3. 试解释方程(x-8)2+(y+4)2+(z-3)2=36的几何意义.答案方程表示点P(x, y, z)与点C(8, -4, 3)的距离为6,即点P在以点C为球心,半径为6的球面上.4. 点P在坐标平面xOz内,A点的坐标为(1, 3, -2),问满足条件PA=5的点P的轨迹方程.提示因点P一方面在坐标平面xOz内,另一方面满足条件PA=5,即点P在球面上,故点P的轨迹是坐标平面xOz与球面的交线.答案点P的轨迹方程是(x-1)2+(z+2)2=16, y=0.五、 课堂小结1. 空间中两点间的距离公式及其推导.2. 球面方程.3. 空间中两点间距离公式的简单应用.4. 数学思想与方法:培养学生类比的方法和养成严谨论证的思维习惯;体会由特殊到一般解决问题的思维方法.