1、第2节 平面向量基本定理及坐标表示考试要求 1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.知 识 梳 理 1.平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，_一对实数1，2，使a_.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.不共线有且只有1e12e22.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个_的向量，叫做把向量正交分解.互相垂直3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设 a(x1，y1
2、)，b(x2，y2)，则ab_，ab_，a_，|a|_.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB_，|AB|_.4.平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)x21y21(x2x1，y2y1)（x2x1）2（y2y1）2x1y2x2y10常用结论与微点提醒 1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.2.若a与b不共线，ab0，则0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置
3、，它们的坐标都是相同的.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)设 a，b 是平面内的一组基底，若实数 1，1，2，2满足 1a1b2a2b，则 12，12.()(3)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可以表示成x1x2y1y2.()(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.()解析(1)共线向量不可以作为基底.(3)若 b(0，0)，则x1x2y1y2无意义.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材必修4P118A2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是()A.e1(0，0)
4、，e2(1，1)B.e1(1，1)，e2(5，7)C.e1(2，5)，e2(4，10)D.e1(2，3)，e21，32 解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.答案 B 3.(新教材必修第二册P33T1改编)已知向量a(1，3)，b(2，1)，则3a2b()A.(7，7)B.(3，2)C.(6，2)D.(4，3)解析 3a2b(3，9)(4，2)(7，7).答案 A 4.(2020合肥质检)设向量a(3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|10，则向量b的坐标为()A.65，85 B.(6，8)C.65，85 D.(6，8)解析 因为向量 b 与 a 方向相反，则可设 ba(3，4)
5、，0，则|b|921625|10，故 2，b(6，8).答案 D 5.(2019福州质检)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为_.解析 设 D(x，y)，则由ABDC，得(4，1)(5x，6y)，即45x，16y，解得x1，y5.答案(1，5)6.(2017山东卷)已知向量a(2，6)，b(1，)，若ab，则_.解析 ab，260，解得3.答案 3 考点一 平面向量基本定理及其应用【例 1】(一题多解)(2020泉州四校联考)如图，OC 2OP，AB2AC，OM mOB，ON nOA，若 m38，那么 n()A.34B.23C.45D.58 解析 法一
6、由OC 2OP，AB2AC，知 C 是 AB 的中点，P 是 OC 的中点，所以OC12(OA OB)，则OP 14(OA OB)，又OM 38OB，ON nOA，从而MN ON OMnOA 38OB，MP OP OM 14(OA OB)38OB 14OA 18OB，又点 M，P，N 共线，所以存在实数，使MN MP 成立，即 nOA 38OB 14OA 18OB，又因为OA，OB 不共线，所以有n14，3818，解得 n34，故选 A.法二 设MP MN，OM 38OB，ON nOA，OP OM MP 38OB(ON OM)38OB nOA 38OB 38(1)OB nOA，又知OC 2OP
7、，OP 12OC 14OA 14OB，38（1）14，n14，解得 13，n34，故选 A.答案 A 规律方法 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练 1】(2019长春调研)在ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD 13AB12AC.延长 AD 交 BC 于 E，若AEABAC，则 的值是_.解析 设AExAD，AD 13AB12AC，AEx3ABx2AC，故 x3，x2.由于 E，B，C 三点
8、共线，x3x21，x65.因此 x3x2x615.答案 15考点二 平面向量的坐标运算【例 2】(1)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且BC2AD，则顶点 D 的坐标为()A.2，72B.2，12C.(3，2)D.(1，3)(2)向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若 cab(，R)，则()A.1B.2C.3D.4(2)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，解析(1)设 D(x，y)，AD(x，y2)，BC(4，3)，又BC2AD，所以42x，32（y2），解得x2，y72，故选 A.则A(1，1
9、)，B(6，2)，C(5，1)，aAO(1，1)，bOB(6，2)，cBC(1，3)，cab，(1，3)(1，1)(6，2)，则61，23，解得 2，12，2124.答案(1)A(2)D 规律方法 向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用.【训练 2】(1)已知 O 为坐标原点，点 C 是线段 AB 上一点，且 A(1，1)，C(2，3)，|BC|2|AC|，则向量OB 的坐标是_.(2)如图所示，以e1，e2为基底，则a_.解析(1)由点 C 是线段 AB 上一点，|BC|2|AC|，得BC2
10、AC.设点 B 为(x，y)，则(2x，3y)2(1，2)，即2x2，3y4，解得x4，y7.所以向量OB 的坐标是(4，7).(2)以 e1的起点为坐标原点，e1所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 e1(1，0)，e2(1，1)，a(3，1)，令 axe1ye2，即(3，1)x(1，0)y(1，1)，则xy3，y1，所以x2，y1，即 a2e1e2.答案(1)(4，7)(2)2e1e2 考点三 平面向量共线的坐标表示 多维探究 角度1 利用向量共线求向量或点的坐标【例31】(一题多解)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为_.解析 法一 由 O，P
11、，B 三点共线，可设OP OB(4，4)，则APOP OA(44，4).又ACOC OA(2，6)，由AP与AC共线，得(44)64(2)0，解得 34，所以OP 34OB(3，3)，所以点 P 的坐标为(3，3).法二 设点 P(x，y)，则OP(x，y)，因为OB(4，4)，且OP 与OB 共线，所以x4y4，即 xy.又AP(x4，y)，AC(2，6)，且AP与AC共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3，3).答案(3，3)角度2 利用向量共线求参数【例32】(1)(2018全国卷)已知向量a(1，2)，b(2，2)，c(1，).若c(2ab)，则_.(2)已知
12、向量 a(2，3)，b(1，2)，若 manb 与 a3b 共线，则mn_.解析(1)由题意得 2ab(4，2)，因为 c(1，)，且 c(2ab)，所以 420，即 12.(2)由 2132，所以 a 与 b 不共线，又a3b(2，3)3(1，2)(5，3)0.那么当manb与a3b共线时，有m1 n3，即得mn13.答案(1)12(2)13规律方法 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；(2)若ab(b0)，则ab.2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【训练 3】(1)(角度 1)(2020北师大附中检测)已知向量 a(1，1)，点 A(3，0)，点 B为直线 y2x 上的一个动点，若ABa，则点 B 的坐标为_.(2)(角度 2)已知向量OA(k，12)，OB(4，5)，OC(k，10)，且 A，B，C 三点共线，则 k 的值是_.解析(1)由题意设 B(x，2x)，则AB(x3，2x)，ABa，x32x0，解得 x3，B(3，6).(2)ABOB OA(4k，7)，ACOC OA(2k，2).A，B，C 三点共线，AB，AC共线，2(4k)7(2k)，解得 k23.答案(1)(3，6)(2)23