1、第6节 对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2，10，12的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数 yax(a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数.知 识 梳 理 xlogaN1.对数的概念 如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作_，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：alogaN_；log
2、aabb(a0，且 a1).(2)对数的运算性质如果 a0 且 a1，M0，N0，那么loga(MN)_；logaMN_；logaMn_(nR).(3)换底公式：_(a，b 均大于零且不等于 1，N0).NlogaMlogaNlogaMlogaNnlogaMlogbNlogaNlogab3.对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).(2)对数函数的图象与性质 a1 0a1时，y0；当0 x1时，y1时，y0；当0 x0 在(0，)上是_ 在(0，)上是_(0，)R(1，0)增函数减函数4.反函数 指数函数yax(a0，且a
3、1)与对数函数_(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线_对称.ylogaxyx常用结论与微点提醒 1.换底公式的两个重要结论 2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.(1)logab 1logba(a0，且 a1；b0，且 b1).(2)logambnnmlogab(a0，且 a1；b0；m，nR，且 m0).3.对数函数 ylogax(a0，且 a1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，1，函数图象只在第一、四象限.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)log2x22log2x.()(2)函数 ylog2(x1)是对数函数
4、.()(3)函数 yln 1x1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同.()(4)当 x1 时，若 logaxlogbx，则 ab.()解析(1)log2x22log2|x|，故(1)错.(2)形如ylogax(a0，且a1)为对数函数，故(2)错.(4)若0b1bcB.acb C.cbaD.cab 解析 0a1，b1.cab.答案 D 4.(2018全国卷)设alog0.20.3，blog20.3，则()A.abab0B.abab0 C.ab0abD.ab00，1blog0.320.01a1blog0.30.41，即 0abab 0，b0，故 abab0，且a1)的图象如图，则下列结论
5、成立的是()A.a1，c1 B.a1，0c1 C.0a1 D.0a1，0c1 解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0a0，即logac0，所以0c1.答案 D 6.(2020河北“五个一”名校联盟诊断)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练 1】(1)(2019北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 m2m152lg E1E2，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek(k1，2).已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()
6、A.1010.1B.10.1 C.lg 10.1 D.1010.1(2)(多填题)已知 ab1，若 logablogba52，abba，则 a_，b_.解析(1)依题意，m126.7，m21.45，代入所给公式得52lg E1E21.45(26.7)25.25.所以 lg E1E225.252510.1，即E1E21010.1.(2)设 logb at，则 t1，因为 t1t52，所以t2，则ab2.又abba，所以b2bbb2，即2bb2，又ab1，解得b2，a4.答案(1)A(2)4 2 考点二 对数函数的图象及应用【例2】(1)(2020南昌调研)已知lg alg b0，则函数f(x)a
7、x与函数g(x)logbx的图象可能是()(2)已知函数 f(x)log2x，x0，3x，x0，且关于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一个实根，则实数 a 的取值范围是_.解析(1)由lg alg b0，得ab1.f(x)ax1bxbx，因此f(x)bx与g(x)logbx单调性相同.A，B，D中的函数单调性相反，只有C的函数单调性相同.(2)如图，在同一坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图象，其中a表示直线yxa在y轴上的截距.由图可知，当a1时，直线yxa与yf(x)只有一个交点.答案(1)C(2)(1，)规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点
8、(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练 2】(1)若函数 f(x)log2(x1)，且 abc0，则f（a）a，f（b）b，f（c）c的大小关系是()A.f（a）af（b）bf（c）cB.f（c）cf（b）bf（a）aC.f（b）bf（a）af（c）cD.f（a）af（c）cf（b）b(2)当 x(1，2)时，不等式(x1)2bc 时，f（c）cf（b）bf（a）a.(2)由题意，易知a1.如图，在同一坐标系内作出y(x1)2，x(1，2)及ylogax，x(1，2)的图象.若ylogax过
9、点(2，1)，得loga21，所以a2.根据题意，函数ylogax，x(1，2)的图象恒在y(x1)2，x(1，2)的上方.结合图象，a的取值范围是(1，2.答案(1)B(2)C 考点三 解决与对数函数性质有关的问题 多维探究 角度1 比较大小 A.abcC.abbc(2)(2019天津卷)已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a，b，c的大小关系为()A.acbB.abcC.bcaD.ca1，blog29log2 3log23 3a，clog32c.(2)因为 ylog5x 是增函数，所以 alog52log0.50.51.因为y0.5x是减函数，所以0.50.51c0.
10、50.20.501，即0.5c1.所以ac2的解集为()A.(2，)B.0，12(2，)C.0，22(2，)D.(2，)(2)已知函数 f(x)loga(8ax)(a0，且 a1)，若 f(x)1 在区间1，2上恒成立，则实数 a 的取值范围是_.(2)当a1时，f(x)loga(8ax)在1，2上是减函数，由f(x)1在区间1，2上恒成立，解析(1)因为偶函数 f(x)在(，0上是减函数，所以 f(x)在(0，)上是增函数，又 f(1)2，所以不等式 f(log2x)2，即|log2x|1，解得 0 x2.则 f(x)minf(2)loga(82a)1，且 82aa，解得 1a83.当0a1
11、在区间1，2上恒成立，知f(x)minf(1)loga(8a)1，且82a0.8a0，此时解集为.综上可知，实数 a 的取值范围是1，83.答案(1)B(2)1，83规律方法 形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a0 恒成立.即 a12x恒成立，由于12x(，0)，故只要a0，则a的取值范围是0，).(3)由已知得函数 f(x)是减函数，故 f(x)在区间0，1上的最大值是 f(0)log2(1a)，最小值是 f(1)log212a.由题设得 log2(1a)log212a 2，则 log2(1a)log2(4a2).1a4a2，4a
12、20，解得12bcB.bacC.cbaD.cab(2)(角度 2)设 f(x)lg21xa 是奇函数，则使 f(x)0，且 a1)的图象恒过定点(m，n)，且函数 g(x)mx22bxn 在1，)上单调递减，则实数 b 的取值范围是_.解析(1)法一 因为 alog2e1，bln 2(0，1)，clog1213log23log2ea1，所以 cab.法二 log1213log23，如图，在同一坐标系中作出函数 ylog2x，yln x 的图象，由图知 cab.(2)由f(x)是奇函数可得a1，f(x)lg1x1x，定义域为(1，1).由 f(x)0，可得 01x1x1，1x0，且a1)的图象恒
13、过定点(m，n)，令x21，求得x1，f(x)3，可得函数的图象经过定点(1，3)，m1，n3.函数g(x)mx22bxnx22bx3，所以实数b的取值范围为1，).答案(1)D(2)(1，0)(3)1，)在1，)上单调递减，2b2 1，即 b1，以基本初等函数为载体考查函数的应用，常考常新.命题多与函数零点(不等式)、参数的求值交汇，如2017全国卷T15，2018全国卷T9，2019全国卷T11，解题的关键是活用函数的图象与性质，重视导数的工具作用.赢得高分 基本初等函数的应用“瓶颈题”突破【典例】(2020淄博模拟)已知函数 f(x)ex，g(x)ln x212，对任意 aR，存在 b(
14、0，)，使 f(a)g(b)，则 ba 的最小值为()A.2 e1 B.e212C.2ln 2D.2ln 2 解析 存在b(0，)，使f(a)g(b)，则 ealn b212，令 tealn b2120.aln t，b2et12，则 ba2et12ln t.设(t)2et12ln t，则(t)2et121t(t0).显然(t)在(0，)上是增函数，当 t12时，12 0.(t)有唯一零点 t12.故当 t12时，(t)取得最小值 12 2ln 2.答案 D 思维升华 1.解题的关键：(1)由f(a)g(b)，引入参数t表示a，b两个量.(2)构造函数，转化为求函数的最值.2.可导函数唯一极值点也是函数的最值点，导数是求解函数最值的工具.A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)【训练】(2020石家庄一中检测)函数 f(x)|2x1|，x2，x5，x2.若互不相等的实数 a，b，c 满足 f(a)f(b)f(c)，则 2a2b2c 的取值范围是()解析 画出函数f(x)的图象如图所示.不妨设abc，则a0.由f(a)f(b)，得12a2b1，则2a2b2.又f(a)f(b)f(c)，结合图象，得05c1，则4c5.162c32.故182a2b2c34.答案 B