1、第8讲曲线与方程基础知识整合1曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)0，曲线C2的方程为F2(x，y)0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点3求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系；(2)设点设轨迹上的任一点P(x，y)；(3)列式列出动点P所满足的关系式；(4)代换依条件式的特点，选
2、用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程1“曲线C是方程f(x，y)0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”的充分不必要条件2求轨迹问题常用的数学思想(1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合(3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化1(2019云南质量检测)已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为
3、()Ax2y22Bx2y24Cx2y22(x)Dx2y24(x2)答案D解析MN的中点为原点O，易知|OP|MN|2，得P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即顶点P的轨迹方程为x2y24(x2)，故选D2(2019金华模拟)已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A2xy10B2xy50C2xy10D2xy50答案D解析设Q(x，y)，则P为(2x,4y)，代入2xy30，得Q点的轨迹方程为2xy50.3已知平面内有一条线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|PB|3，O为AB的中点，
4、则|OP|的最小值为()A1BC2D3答案B解析以AB的中点为原点，中垂线为y轴建立直角坐标系，P点的轨迹为双曲线，得c2，a1.5，所以|OP|mina1.5.4(2019皖南八校联考)设点A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为()Ay22xB(x1)2y24Cy22xD(x1)2y22答案D解析(直译法)如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)连接MA，PM.则MAPA且|MA|1，又因为|PA|1，所以|PM|，即|PM|22，所以(x1)2y22.5已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆
5、圆心M的轨迹方程为()Ax21By21Cx21(x1)Dx21(x1)答案D解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大，到C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)6已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，
6、则抛物线的焦点轨迹方程是_答案1(y0)解析设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|，所以|FA|FB|4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，所以抛物线的焦点轨迹方程为1(y0)核心考向突破考向一定义法求轨迹方程例1如图所示，已知圆A：(x2)2y21与点B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程(1)PAB的周长为10；(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)解(1)根据题意，知|PA|PB|AB|10，即|PA|PB|64|AB|，故P点
7、轨迹是椭圆，且2a6,2c4，即a3，c2，所以b，因此其轨迹方程为1(y0)(2)设圆P的半径为r，则|PA|r1，|PB|r，因此|PA|PB|13)D1(x4)答案C解析设ABC的内切圆与x轴相切于点D，则D(3,0)由于AC，BC都为圆的切线故有|CA|CB|AD|BD|826.由双曲线定义知所求轨迹方程为1(x3)2已知圆M：(x)2y236及定点N(，0)，点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足2，0，则点G的轨迹方程为_.答案1解析Q为PN的中点，且GQPN，GQ所在直线是PN的中垂线，|PG|GN|.|PM|GM|PG|GM|GN|62，点G的轨迹是以M，N为焦
8、点的椭圆，又a3，c，b2，点G的轨迹方程为1.精准设计考向，多角度探究突破考向二直接法求轨迹方程角度1利用动点满足的关系式求轨迹例2已知点F(0,1)，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，则动点P的轨迹方程为()Ax24yBy23xCx22yDy24x答案A解析设点P(x，y)，则Q(x，1)因为，所以(0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y1)，整理得x24y，所以动点P的轨迹方程为x24y.角度2无明确等量关系求轨迹方程例3已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B
9、(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的平分线，证明直线l过定点解(1)如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意得|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于点H，则点H是MN的中点，|O1M|，又|O1A|， ，化简得y28x(x0)又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20.其中32kb640.由根与系数的关系，得x
10、1x2，x1x2，x轴是PBQ的平分线，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将代入，得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1,0)直接法求轨迹方程(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简(2)运用直接法应注意的问题在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略即时训练3.在平面直角坐标系xOy中，点B与点
11、A(1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.则动点P的轨迹方程为_答案x23y24(x1)解析因为点B与点A(1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，1)设点P的坐标为(x，y)，由题意得，化简得x23y24(x1)故动点P的轨迹方程为x23y24(x1)4如图，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴的非负半轴于A点，l2交y轴的非负半轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程解设点M坐标为(x，y)因为M(x，y)为线段AB的中点，所以点A，B的坐标分别为A(2x,0)，B(0,2y)当x1时，因为l1l2，且l1，l2过点P(2,4)，所以
12、kPAkPB1，即1(x1)，化简得x2y50(x1)当x1时，A，B分别为(2,0)，(0,4)，所以线段AB的中点为(1,2)，满足方程x2y50(x0，y0)综上得M的轨迹方程为x2y50(x0，y0)考向三利用相关点(代入法)求轨迹方程例4如图，已知P是椭圆y21上一点，PMx轴于点M.若.(1)求N点的轨迹方程；(2)当N点的轨迹为圆时，求的值解(1)设点P，N的坐标分别为P(x1，y1)，N(x，y)，则M的坐标为(x1,0)，且xx1，(xx1，yy1)(0，yy1)，(x1x，y)(0，y)，由得(0，yy1)(0，y)yy1y，即y1(1)y.P(x1，y1)在椭圆y21上，
13、y1，(1)2y21.点N的轨迹方程为(1)2y21.(2)要使点N的轨迹为圆，则(1)2，解得或.当或时，点N的轨迹是圆代入法求轨迹方程的四个步骤(1)设出所求动点坐标P(x，y)(2)寻求所求动点P(x，y)与已知动点Q(x，y)的关系(3)建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x，y.(4)将x，y代入已知曲线方程中化简求解即时训练5.已知曲线E：ax2by21(a0，b0)，经过点M的直线l与曲线E交于点A，B，且2.若点B的坐标为(0,2)，求曲线E的方程解设A(x0，y0)，B(0,2)，M，.又2，2.x0，y01，即A.A，B都在曲线E上，解得曲线E的方程为x21.考向四参数法求轨
14、迹方程例5(2019湖北武汉模拟)在平面直角坐标系xOy中取两个定点A1(，0)，A2(，0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且mn2.(1)求直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹C的方程；(2)过R(3,0)的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作PNx轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若(1)，求证：.解(1)依题意知，直线A1N1的方程为y(x)，直线A2N2的方程为y(x)，设M(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，得y2(x26)，又mn2，整理得1.故点M的轨迹C的方程为1.(2)证明：设过点R的直线l：xty3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则N
15、(x1，y1)，由消去x，得(t23)y26ty30，所以y1y2，y1y2.由，得(x13，y1)(x23，y2)，故x13(x23)，y1y2，由(1)得F(2,0)，要证，即证(2x1，y1)(x22，y2)，只需证2x1(x22)，y1y2，只需，即证2x1x25(x1x2)120，又x1x2(ty13)(ty23)t2y1y23t(y1y2)9，x1x2ty13ty23t(y1y2)6，所以2t2y1y26t(y1y2)185t(y1y2)30120，即2t2y1y2t(y1y2)0，而2t2y1y2t(y1y2)2t2t0成立，即证参数法求轨迹方程的步骤(1)选取参数k，用k表示动
16、点M的坐标(2)得出动点M的参数方程(3)消去参数k，得M的轨迹方程(4)由k的范围确定x，y的范围即时训练6.已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，C是线段B1F2的中点，若2，且.(1)若点Q是椭圆上任意一点，点A(9,6)，求|QA|QF1|的最小值；(2)若点M，N是椭圆上的两个动点，M，N两点处的切线相交于点P，当0时，求点P的轨迹方程解(1)由题意得F1(c,0)，F2(c,0)，B1(0，b)，则C，由得即解得从而a24，所以椭圆的方程为1.由椭圆的定义得|QF1|QF2|4，所以|QA|QF1|QA|(4|QF2|)|QA|QF2|4，而
17、|QA|QF2|AF2|10，所以|QA|QF1|的最小值为6.(2)设P(x0，y0)，当PMx轴，或PNx轴时，可知P(2，)或P(2，)或P(2，)或P(2，)当PM与x轴不垂直且不平行时，x02，设直线PM的斜率为k，则k0，PN的斜率为，直线PM的方程为yy0k(xx0)，由得(34k2)x28k(y0kx0)x4(y0kx0)2120.因为直线PM与椭圆相切，所以0，即4k2(y0kx0)2(34k2)(y0kx0)230，即(x4)k22x0y0ky30，所以k是方程(x4)k22x0y0ky30的一个根，同理是方程(x4)k22x0y0ky30的另一个根，所以k，即xy7，其中x02，所以点P的轨迹方程为x2y27(x2)P(2，)或P(2，)或P(2，)或P(2，)满足上式，综上，点P的轨迹方程为x2y27.