1、第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求 1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.知 识 梳 理 1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内.(2)公理2：过_的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有_公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.两点不在同一条直线上一个2.空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 ab a 相交关系 图形语言 符号语言 abA
2、aA l 独有关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 a 3.平行公理(公理4)和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线_.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_.4.异面直线所成的角(1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的_叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角).(2)范围：_.互相平行相等或互补锐角(或直角)0，2常用结论与微点提醒 1.空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补.2.异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.3.两异面直线
3、所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线.()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()(4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面.()解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.(4)由于a不平行于平面，且a，则a与平面相交
4、，故平面内有与a相交的直线，故错误.答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材必修第二册P147例1改编)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA12，则异面直线AC和BC1所成角的余弦值是()A.8 525B.4 55C.8 55D.4 525解析 如图，连接 AD1，CD1，则D1AC(或其补角)就是异面直线 AC 和 BC1所成的角，易知 AC5，AD12 5，CD1 13，由余弦定理得 cos D1ACAD21AC2CD212AD1AC8 525.答案 A3.(老教材必修2P45例2改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A.梯形B.矩
5、形 C.菱形D.正方形 解析 如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EFAC，又FGBD，所以EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90，所以EFG90，故四边形EFGH为矩形.答案 B 4.(2019贵阳调研)是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am，A，则m，n的位置关系不可能是()A.垂直B.相交 C.异面D.平行 解析 依题意，mA，n，m与n异面或相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.答案 D 5.(2020重庆一中月考)如图，l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必
6、通过()A.点AB.点B C.点C但不过点MD.点C和点M 解析 AB，MAB，M.又l，Ml，M.根据公理3可知，M在与的交线上.同理可知，点C也在与的交线上.答案 D 6.(一题多解)(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()解析 法一 对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB平面MNQ.因此A项中直线AB与平面MNQ不平行.图(1)图(
7、2)法二 对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQAB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.答案 A 考点一 平面的基本性质及应用【例 1】已知空间四边形 ABCD(如图所示)，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别是 BC，CD 上的点，且 CG13BC，CH13DC.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)三直线FH，EG，AC共点.证明(1)连接EF，GH，如图所示，E，F分别是AB，AD的中点，EFBD.又 CG13BC，CH13DC，GHBD，EFGH，E，F，G，H四点共面.(2)易知FH与直线AC
8、不平行，但共面，设FHACM，M平面EFHG，M平面ABC.又平面EFHG平面ABCEG，MEG.FH，EG，AC共点.规律方法 1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上.3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.(1)证明：四边形BCHG为平行四边形；(2)判断C，
9、D，F，E四点是否共面？为什么？【训练 1】如图，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，BADFAB90，BCAD 且 BC12AD，BEAF 且 BE12AF，G，H 分别为 FA，FD 的中点.(1)证明 由已知 FGGA，FHHD，可得 GH 綉12AD，又 BC 綉12AD，所以 GH 綉BC.所以四边形 BCHG 为平行四边形.(2)解 C，D，E，F四点共面.理由如下：因为 BE 綉12AF，G 为 FA 的中点，所以 BE 綉 FG.所以四边形BEFG为平行四边形，所以EFBG.由(1)知BG綉CH，所以EFCH，所以EF与CH共面.又D
10、FH，所以C，D，F，E四点共面.考点二 空间两直线位置关系的判定【例2】(1)(一题多解)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交(2)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形的序号是_(填上所有正确答案的序号).解析(1)法一 由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若ll1，ll2，则l1l2，
11、这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.法二 如图(1)，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图(2)，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.(2)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，NGH，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN，因此GH与MN异面.所以在图中，GH与MN异面.答案(1)D(2)规律方法 1.异面直线的判定方法：(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，
12、导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.【训练2】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为_(填序号).解析 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故错误.答案 考点三 异面直线所成的角【例
13、3】(1)(2019湘潭二模)已知四棱锥 PABCD 的底面边长都为 2，PAPC2 3，PBPD，且DAB60，M 是 PC 的中点，则异面直线 MB 与 AP 所成的角为_.(2)(2020安阳一模)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 是底面 ABCD 的中心，过 O 点作一条直线 l 与 A1D 平行，设直线 l 与直线 OC1 的夹角为，则 cos _.解析(1)如图，连接AC与BD，相交于点N，连接MN，则MNPA，所以NMB(或NMB的补角)为异面直线MB与AP所成的角，在MNB 中，由题意得 NB1，MN 3，BNMN，则 tan NMBNBMN 33，NMB30，故答
14、案为 30.(2)如图所示，设正方体的表面ABB1A1的中心为P，容易证明OPA1D，所以直线l即为直线OP，角即POC1.设正方体的棱长为 2，则 OP12A1D 2，OC1 6，PC1 6，则 cos POC1 2662 2 6 12 3 36.答案(1)30(2)36规律方法 用平移法求异面直线所成角的一般步骤：(1)作角用平移法找(或作)出符合题意的角；(2)求角转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小.【训练 3】(一题多解)(2018全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为()A.15B.56C.
15、55D.22 解析 法一 如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1OM，则MOD为异面直线AD1与DB1所成角或其补角.因为在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，AD1 AD2DD212，DMAD212AB2 52，DB1 AB2AD2DD21 5.所以 OM12AD11，OD12DB1 52，于是在DMO中，由余弦定理，得 cosMOD1252252221 52 55，即异面直线 AD1 与DB1所成角的余弦值为 55.法二 以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y轴，z 轴建立空间直角坐
16、标系，如图所示.由条件可知 D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，3)，B1(1，1，3)，所以AD1(1，0，3)，DB1(1，1，3).则 cosAD1，DB1 AD1 DB1|AD1|DB1|22 555，即异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 55.答案 C 赢得高分 立体几何中的截面问题用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面.截面问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性较强，常做为压轴题出现.【典例】(2018全国卷)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为()A.3 3
17、4B.2 33C.3 24D.32 由对称性，知过正方体 ABCDA1B1C1D1 中心的截面面积应取最大值，此时截面为正六边形 EFGHIJ.正六边形 EFGHIJ 的边长为22，将该正六边形分成 6 个边长为 22 的正三角形.故其面积为6 34 2223 34.解析 如图，依题意，平面与棱BA，BC，BB1所在直线所成角都相等，容易得到平面AB1C符合题意，进而所有平行于平面AB1C的平面均符合题意.答案 A 思维升华 作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理.【训练】已知球 O 是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)ABCD 的外接球，BC3，AB2 3，点 E 在线段 BD 上，且 BD3BE，过点 E 作球O 的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是_.解析 如图，设BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接AO1，O1D，OD，O1E，OE，则 O1D3sin 6023 3，AO1 AD2DO213，在RtOO1D中，R23(3R)2，解得R2，BD3BE，DE2，在DEO1中，O1E 342 32cos 301，OE O1E2OO21 2，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为 22（2）2 2，面积为 2.答案 2
