1、第四章曲线运动万有引力与航天第4讲万有引力与航天微知识 对点练微考点 悟方法微专题 巧突破微考场 提技能微知识 对点练 教材回扣 基础自检知|识|梳|理微知识 开普勒行星运动定律1开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是_，太阳处在椭圆的一个_上。2开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。3开普勒第三定律：所有行星的轨道的_的三次方跟它的_的二次方的比值都相等，表达式：a3T2k。椭圆焦点半长轴公转周期微知识 万有引力定律1公式：FGm1m2r2，其中 G_，叫引力常量。2公式适用条件：此公式适用于_间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体本身的大
2、小时，物体可视为质点。均匀的球体可视为质点，r 是_间的距离。一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中 r 为球心到_间的距离。质点6.671011 Nm2/kg2质点两球心微知识 卫星运行规律和宇宙速度1地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和_平面重合。(2)周期一定：与地球_周期相同，即 T24 h86 400 s。(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。(4)高度一定：据 GMmr2 m42T2 r 得 r3 GMT242 4.24104 km，卫星离地面高度 hrR5.6R(为恒量)。(5)速率一定：运动速度 v2r/T3.07 km/s(为恒量)。(6)绕行方向
3、一定：与地球自转的方向_。赤道自转一致2极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过_，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于 _，其运行线速度约为_km/s。(3)两种卫星的轨道平面一定通过_。地球的半径南北两极7.9地球的球心3三种宇宙速度比较宇宙速度数值(km/s)意义第一宇宙速度_这是卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度，若 7.9 km/sv11.2 km/s，物体绕_运行(环绕速度)第二宇宙速度_这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若 11.2 km/sv16.7 km/s，物体绕_运
4、行(脱离速度)第三宇宙速度_这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若 v16.7 km/s，物体将脱离太阳引力束缚在_运行(逃逸速度)地球太阳宇宙空间7.911.216.7微知识 经典时空观和相对论时空观1经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的。(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。2相对论时空观同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同。3经典力学有它的适用范围只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界。基|础|诊|断一、思维诊断1只要知道两个物体的质量和两物体之间的距
5、离，就可以由 FGm1m2r2 来计算物体间的万有引力()2第一宇宙速度与地球的质量有关()3地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度()4发射探月卫星的速度必须大于第二宇宙速度()5地球对其表面的物体的万有引力就是物体的重力()二、对点微练1(开普勒三定律)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A太阳位于木星运行轨道的中心B火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析 行星做椭圆运动，且在不同的轨道上，所以 A、B 错误；根据开普勒第三定律，可
6、知 C 正确；对在某一轨道上运动的天体来说，天体与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，而题中是两个天体、两个轨道，所以 D 错误。答案 C2(对万有引力定律的理解)一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的()A0.25 倍B0.5 倍C2.0 倍D4.0 倍解析 由 F 引GMmr212GM0mr022 2GM0mr202F 地，故 C 项正确。答案 C3(对宇宙速度的理解)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建成后的北斗卫星导航系统包
7、括 5颗同步卫星和 30 颗一般轨道卫星。对于其中的 5 颗同步卫星，下列说法正确的是()A它们运行的线速度一定不小于 7.9 km/sB地球对它们的吸引力一定相同C一定位于赤道上空同一轨道上D它们运行的加速度一定相同解析 同步卫星运行的线速度一定小于 7.9 km/s，选项 A 错误；由于 5 颗同步卫星的质量不一定相等，所以地球对它们的吸引力不一定相同，选项 B 错误；5 颗同步卫星一定位于赤道上空同一轨道上，它们运行的加速度大小一定相等，方向不相同，选项 C 正确，D 错误。答案 C微考点 悟方法 核心考点 分层突破 核心微讲天体质量及密度的估算方法题组突破11.(2015江苏卷)过去几
8、千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 120。该中心恒星与太阳的质量比约为()A.110 B1 C5 D10解析 行星绕恒星做圆周运动，万有引力提供向心力，GMmr2 mr(2T)2，得 M42r3GT2，该中心恒星的质量与太阳的质量之比 MM日r3r3日T2日T2(120)33652421，B 正确。答案 B12.(多选)1798 年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量 G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人。若已知万
9、有引力常量 G，地球表面处的重力加速度 g，地球半径 R，地球上一个昼夜的时间 T1(地球自转周期)，一年的时间 T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离 L1，地球中心到太阳中心的距离 L2。你能计算出()A地球的质量 m 地gR2GB太阳的质量 m 太42L32GT22C月球的质量 m 月42L31GT21D可求月球、地球及太阳的密度解析 对地球表面的一个物体 m0 来说，应有 m0gGm地m0R2，所以地球质量 m 地gR2G，选项 A 正确。对地球绕太阳运动来说，有Gm太m地L22m 地42T22 L2，则 m 太42L32GT22，B 项正确。对月球绕地球运动来说，能求地球质量
10、，不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量，无法求出它的质量和密度，C、D 项错误。答案 AB估算天体质量和密度时应注意的问题(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。(2)区别天体半径 R 和卫星轨道半径 r，只有在天体表面附近的卫星才有rR；计算天体密度时，V43R3中的 R 只能是中心天体的半径。核心微讲 卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供所需向心力，即由 GMmr2mv2r mr2m42T2 rman可推导出：vGMrGMr3T42r3GManGMr2当 r 增大时v减小减小
11、T增大an减小典例微探【例 1】(多选)如图所示，a、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是 R 和 2R(R 为地球半径)。下列说法正确的是()Aa、b 的线速度大小之比是 21Ba、b 的周期之比是 12 2Ca、b 的角速度大小之比是 3 64Da、b 的向心加速度大小之比是 94解题导思：(1)a、b 两卫星的轨道半径不同，但均由万有引力提供向心力，此说法对吗？答：对。(2)卫星绕天体做匀速圆周运动时，线速度、角速度、向心加速度、周期与半径有关吗？答：上述物理量均与半径有关。解析 卫星绕地球做匀速圆周运动所需要的向心力由地球给卫星的万有引力提供。由 GMmr2
12、 mv2r 得：v1v2r2r13R2R32，故 A 选项错；由 GMmr2 m2T2r 得：T1T2r31r322323，故 B 选项错；由 GMmr2 m2r 得：12r32r313 64，故 C 选项正确；由 GMmr2 ma 得：a1a2r22r2194，故 D 选项正确。答案 CD题组微练21.(2017湖州质检)a、b、c、d 是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星。其中 a、c 的轨道相交于 P，b、d 在同一个圆轨道上，b、c 轨道在同一平面上。某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图所示。下列说法正确的是()Aa、c 的加速度大小相等，且大于 b 的加速度Bb、c 的角速度
13、大小相等，且小于 a 的角速度Ca、c 的线速度大小相等，且小于 d 的线速度Da、c 存在在 P 点相撞的危险解析 由 GMmr2 mv2r mr2mr42T2 ma，可知 B、C 错误，A 正确；vavc，TaTc，所以 a、c 不会相撞，D 错误。答案 A22.(2016山东寿光检测)(多选)美国科学家于 2016 年 1月 20日宣布：人类在太阳系外围发现了一颗过去未知的巨行星，绰号为“九号行星”。它的质量约为地球质量的 10 倍，绕太阳公转周期为 1 万至 2 万年。若认为包括“九号行星”在内的所有行星公转轨道近似为圆，不考虑各行星之间的相互作用，下列说法正确的是()A“九号行星”的
14、公转轨道半径比地球的公转轨道半径大B“九号行星”的公转线速度比地球的公转线速度大C“九号行星”的公转角速度比地球的公转角速度小D“九号行星”的公转向心加速度约为地球公转向心加速度的 110解析 根据r3T2k，可以知道周期越大，则半径越大，故选项 A 正确；根据GMmr2mv2r，则 vGMr，可以知道，半径越大则线速度越小，故选项 B 错误；根据GMmr2m2r，则 GMr3，则半径越大，角速度越小，故选项 C 正确；根据r3T2k 和 aGMr2 可知，“九号行星”的向心加速度约为地球向心加速度的倍，D 错误。答案 AC核心微讲1稳定运行卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向
15、心力，由GMmr2mv2r 得 vGMr。由此可知，轨道半径 r 越大，卫星的速度越小。当卫星由于某种原因速度 v 突然改变时，F 引和 mv2r 不再相等，因此就不能再根据 vGMr 来确定 v 的大小，当 F 引mv2r 时，卫星做向心运动；当F 引mv2r 时，卫星做离心运动。2变轨运行人造卫星在轨道变换时，总是主动或由于其他原因使速度发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生向心运动或者离心运动，发生变轨。在变轨过程中，由于动能和势能的相互转化，可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的轨道。典例微探【例 2】(2017临沂模拟)2015 年 10 月 17 日中
16、国在西昌卫星发射中心成功发射“亚太九号”通信卫星，该卫星运行的轨道示意图如图所示，卫星先沿椭圆轨道 1 运行，近地点为 Q，远地点为 P。当卫星经过 P 点时点火加速，使卫星由椭圆轨道 1 转移到地球同步轨道 2 上运行，下列说法正确的是()A卫星在轨道 1 和轨道 2 上运动时的机械能相等B卫星在轨道 1 上运行经过 P 点的速度大于经过 Q 点的速度C卫星在轨道 2 上时处于超重状态D卫星在轨道 1 上运行经过 P 点的加速度等于在轨道 2 上运行经过 P点的加速度解题导思：(1)卫星的轨道半径越大，其机械能也越大还是越小？答：越大。(2)卫星的加速度由什么决定？答：由万有引力和卫星的质量
17、决定。解析 卫星在两轨道上运动的机械能不相等，A 错；在轨道上运行经过 P点的速度应小于近地点 Q 的速度，万有引力做正功使动能增加，B 错；卫星在轨道上应处于失重状态，C 错；由万有引力提供向心力可知：GMmr2 ma，aGMr2，在同一点 P 加速度相等，D 对。答案 D题组微练31.(多选)目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是()A卫星的动能逐渐减小B由于地球引力做正功，引力势能一定减小C由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变D卫
18、星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小解析 根据 GMmr2 mv2r，得 vGMr，可知轨道半径越小，则 v 越大，动能越大，故 A 错误；根据功能关系，引力做正功，引力势能一定减小，故 B正确；根据功能关系，机械能的变化与除重力以外其他力做功有关，既然气体阻力做了负功，机械能一定会减小，故 C 错误；根据动能定理，WGW 阻Ek2Ek1，由于卫星的动能逐渐增大，所以 WGW 阻，故 D 正确。答案 BD32.(2017江西联考)2015 年 12 月 10 日，美国在夏威夷考艾乌的太平洋导弹靶场进行了一次中段反导试验，中段是指弹道导弹在大气层外空间依靠惯性飞行的一段。如图所示，一枚蓝军弹道
19、导弹从地面上 A 点发射升空，目标是攻击红军基地 B 点，导弹升空后，红军反导预警系统立刻发现目标，从 C 点发射拦截导弹，并在弹道导弹飞行中段的最高点 D 将其击毁，下列说法正确的是()A图中 E 到 D 过程，弹道导弹机械能不断增大B图中 E 到 D 过程，弹道导弹的加速度大小不变C弹道导弹在大气层外运动轨迹是以地心为焦点的椭圆D弹道导弹飞行至 D 点时速度大于 7.9 km/s解析 E 到 D 过程，依靠惯性飞行，只受引力，只有引力做功，机械能守恒，故 A 错误。E 到 D 过程，高度增大，地球对导弹的引力减小，加速度减小，故 B 错误。根据开普勒第一定律，导弹在大气层外只受地球引力，其
20、运动轨迹是以地心为焦点的椭圆，故 C 正确。根据开普勒第二定律，导弹离地面越远速度越小，离地面越近速度越大，地面附近的速度为第一宇宙速度 7.9 km/s，所以弹道导弹飞行至 D 点时速度小于 7.9 km/s，故 D 错误。故选 C。答案 C微专题 巧突破 专题微讲 突破瓶颈 双星模型核心微讲1模型构建在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。2模型条件(1)两颗星彼此相距较近。(2)两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。3模型特点(1)“向心力等大反向”两颗星做匀速圆周运动的向
21、心力由它们之间的万有引力提供，故 F1F2，且方向相反，分别作用在两颗恒星上，是一对作用力和反作用力。(2)“周期、角速度相同”两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。(3)“半径反比”圆心在两颗恒星的连线上，且 r1r2L，两颗恒星做匀速圆周运动的半径与恒星的质量成反比。(4)巧妙求质量和Gm1m2L2m12r1 Gm1m2L2m22r2 得：Gm1m2L22L，m1m22L3G。母题导航【母题】双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运
22、动的周期为 T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离变为原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期为()A.n3k2T B.n3k T C.n2k T D.nkT解析 双星间的万有引力提供向心力。设原来双星间的距离为 L，质量分别为 M、m，圆周运动的圆心距质量为 m的恒星距离为 r。对质量为 m 的恒星：GMmL2 m2T2r对质量为 M 的恒星：GMmL2 M2T2(Lr)得 GMmL242T2 L即 T242L3GMm则当总质量为 k(Mm)，间距为LnL 时，Tn3k T，选项 B 正确。答案 B分析求解双星或多星问题的两个关键点(1)向心力来源：双星问题中，向心
23、力来源于另一星体的万有引力；多星问题中，向心力则来源于其余星体的万有引力的合力。(2)圆心或轨道半径的确定及求解：双星问题中，轨道的圆心位于两星连线上某处，只有两星质量相等时才位于连线的中点，此处极易发生的错误是列式时将两星之间的距离当作轨道半径；多星问题中，也只有各星体的质量相等时轨道圆心才会位于几何图形的中心位置，解题时一定要弄清题给条件。子题微练1.(多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星。只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统 A、B 绕其连线上的 O 点做匀速圆周运动，如图所示。若 AOOB，则()A星球 A 的质量一定
24、大于 B 的质量B星球 A 的线速度一定大于 B 的线速度C双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大解析 设双星质量分别为 mA、mB，轨道半径分别为 RA、RB，两者间距为L，周期为 T，角速度为，由万有引力定律可知：GmAmBL2mA2RAGmAmBL2mB2RBRARBL由式可得mAmBRBRA，而 AOOB，故 A 错误。vARA，vBRB，B 正确。联立得 G(mAmB)2L3，又因为 T2，故 T2 L3GmAmB，可知 C 错误，D 正确。答案 BD2.(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图
25、所示，三颗质量均为 m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为 R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心 O 做匀速圆周运动，万有引力常量为 G，则()A每颗星做圆周运动的线速度为GmRB每颗星做圆周运动的角速度为3GmR3C每颗星做圆周运动的周期为 2 R33GmD每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关解析 由图可知，每颗星做匀速圆周运动的半径 rR2cos30 33 R。由牛顿第二定律得：Gm2R2 2cos30mv2r m2rm42T2 rma 可解得 vGmR，3GmR3，T2 R33Gm，a 3GmR2，故 A、B、C 均正确，D 错误。答案 ABC微考场
26、 提技能 专题选萃 迁移应用 1(2016全国卷)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是()A开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律解析 开普勒在第谷的观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，B 项正确；牛顿在开普勒总结的行星运动规律的基础上发现了万有引力定律，找出了行星运动的原因，A、C、D 项错。答案 B2.(2016四川卷)国务院批复，自 2016 年起将 4 月 24 日设立为“中国航天日”。1970 年 4
27、 月 24 日我国首次成功发射的人造卫星“东方红一号”，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为 440 km，远地点高度约为 2 060 km；1984 年 4 月 8 日成功发射的“东方红二号”卫星运行在赤道上空 35 786 km 的地球同步轨道上。设“东方红一号”在远地点的加速度为 a1，“东方红二号”的加速度为 a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为 a3，则 a1、a2、a3的大小关系为()Aa2a1a3Ba3a2a1Ca3a1a2Da1a2a3解析 固定在赤道上的物体随地球自转的周期与同步卫星运行的周期相等，同步卫星做圆周运动的半径大，由 ar(2T)2 可知，同
28、步卫星做圆周运动的加速度大，即 a2a3，B、C 项错误；由于“东方红二号”与“东方红一号”在各自轨道上运行时受到万有引力，因此有 GMmr2 ma，即 aGMr2，由于“东方红二号”的轨道半径比东方红一号在远地点时距地高度大，因此有 a1a2，故 A 项错误，D 项正确。答案 D3我国于 2016 年 10 月 17 日发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接，并于 11 月 18 日顺利返回。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是()A使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B使飞船与空间实验
29、室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接解析 为了实现飞船与空间实验室的对接，必须使飞船在较低的轨道上加速做离心运动，上升到空间实验室运动的轨道后逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接，选项 C 正确。答案 C4(2016全国卷)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的 6.6 倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为()A1 h B4 hC8 h D16 h解析 设地球半径为 R，画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯时同步卫星的最小轨道半径示意图，如图所示。由图中几何关系可得，同步卫星的最小轨道半径 r2R。设地球自转周期的最小值为 T，则由开普勒第三定律可得，6.6R32R3 24 h2T2，解得 T4 h，选项 B 正确。答案 B