1、第1节 函数及其表示考试要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).知 识 梳 理 非空数集1.函数与映射的概念 函数 映射 两个集合A，B 设A，B是两个_ 设A，B是两个_ 对应关系 f：AB 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_一个数x，在集合B中都有_的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的_一个元素x，在集合B中都有_的元素y与之对应 名称 称_为从集合A到集合B的
2、一个函数 称_为从集合A到集合B的一个映射 记法 函数yf(x)，xA 映射：f：AB 非空集合任意唯一确定任意唯一确定f：ABf：AB2.函数的定义域、值域(1)在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的_叫做函数的_.(2)如果两个函数的_相同，并且_完全一致，则这两个函数为相等函数.定义域集合f(x)|xA值域定义域对应关系3.函数的表示法 表示函数的常用方法有_、图象法和_.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因_不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义
3、域的_，其值域等于各段函数的值域的_，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.解析法列表法对应关系并集并集常用结论与微点提醒 1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.2.直线xa(a是常数)与函数yf(x)的图象有0个或1个交点.3.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.4.注意以下几个特殊函数的定义域(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)x0，则定义域为x|x0.(5)正切函数 ytan x 的定义域为x|xk2
4、，kZ.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)函数 y1 与 yx0 是同一个函数.()(2)对于函数 f：AB，其值域是集合 B.()(3)f(x)x3 2x是一个函数.()(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.()解析(1)错误.函数y1的定义域为R，而yx0的定义域为x|x0，其定义域不同，故不是同一函数.(2)错误.值域CB，不一定有CB.(3)错误.f(x)x3 2x中 x 不存在.(4)错误.若两个函数的定义域、对应关系均相同时，才是相等函数.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材必修1P25B2改编)若函数yf(x)的定义域为Mx|2
5、x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()解析 A中函数定义域不是2，2；C中图象不表示函数；D中函数值域不是0，2.答案 B 3.(新教材必修第一册P66例3改编)下列函数中，与函数yx1是相等函数的是()A.y(x1)2B.y3 x31C.yx2x 1 D.y x21 解析 对于 A，函数 y(x1)2的定义域为x|x1，与函数 yx1 的定义域不同，不是相等函数；对于 B，定义域和对应关系分别相同，是相等函数；对于 C，函数 yx2x 1 的定义域为x|x0，与函数 yx1 的定义域 xR 不同，不是相等函数；对于 D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数.答案 B
6、答案 B 4.(2020厦门质检)已知函数 f(x)x22x，x0，2x，x0，则 f(f(1)()A.0 B.12C.1 D.2解析 由题意，知 f(1)12211，所以 f(f(1)f(1)2112.5.(2020九江联考)函数 f(x)1ln x2x2 的定义域是_.答案(0，1)(1，e解析 依题意，得1ln x0，2x20，解得 00，x11，解得1x0 或 00且1x1，解得x0，且 xk2(kZ).1x1 且4kxk2，kZ，可得41)，则 x 2t1，f(t)lg 2t1，即 f(x)lg 2x1(x1).(2)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)2，得c2，f(x1)f
7、(x)a(x1)2b(x1)2ax2bx22axabx1，所以2a1，ab1，即a12，b32.f(x)12x232x2.将 x 换成1x，则1x换成 x，得 f1x 2f(x)1x1，(3)在 f(x)2f1x x1 中，由f（x）2f1x x1，f1x 2f（x）1x1，解得 f(x)23 x13.答案(1)lg 2x1(x1)(2)12x232x2(3)23 x13规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数 fg(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于 f(x)与 f1x 或 f(x)
8、的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出 f(x).【训练2】(1)已知yf(x)是二次函数，若方程f(x)0有两个相等实根，且f(x)2x2，则f(x)_.(2)若f(x)满足2f(x)f(x)3x，则f(x)_.解析(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb，2axb2x2，则a1，b2.所以f(x)x22xc0，且有两个相等实根.44c0，则c1.故f(x)x22x1.(2)因为2f(x)f(x)3x，所以将x用x替换，得2f(x)f(x)3x，由解得f(x)3x.答案(1)x22x1(2)3x 考点三 分段函数 多维探究 角度1 分段函数求值【例 3
9、1】(2018江苏卷)函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2，2上，f(x)cos x2，0 x2，x12，2x0，则 ff(15)的值为_.解析 因为函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，所以函数 f(x)的最小正周期是 4.因为在区间(2，2上，f(x)cos x2，0 x2，x12，2x0，所以 f(15)f(1)12，因此 ff(15)f12 cos 4 22.答案 22角度2 分段函数与方程、不等式问题【例 32】(1)(2020郑州联考)已知函数 f(x)log2x，x1，11x，x0，x1，x0.若 f(a)f(1)0，则实数 a 的值为_.(2)
10、f(1)2，且f(a)f(1)0，f(a)2.当a0时，f(a)a12，a3；当a0时，f(a)2a0，此时，f(a)2.综上可知a3.答案(1)D(2)3 解析(1)当 x1 时，不等式 f(x)1 为 log2x1，1x2；当 x1 时，由 11x1，得 x0.综上，f(x)1 的解集为x|x0 或 1x2.规律方法 1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.提醒 当分段函数的自变量范围不确定
11、时，应分类讨论.【训练 3】(1)(角度 1)(2020佛山检测)已知函数 f(x)log3（xm）1，x0，12 020，x0，则满足 f(x)fx12 1 的 x 的取值范围是_.(3)(角度 2)已知函数 f(x)（12a）x3a，x1，2x1，x1的值域为 R，则实数 a 的取值范围是_.解析(1)因为函数f(x)的图象过点(3，0)，所以log3(3m)10，解得m0.所以 f(2)log3211，解得14x0，当 01，该不等式恒成立，当 x12时，f(x)fx12 2x2x12，又 x12时，2x2x12212201 21 恒成立，综上可知，不等式的解集为14，.(3)当 x1 时，f(x)2x11，函数 f(x)（12a）x3a，x1，2x1，x1的值域为 R，当 x0，12a3a1，解得 0a12.答案(1)B(2)14，(3)0，12