1、高考资源网（） 您身边的高考专家选修2-2 1.3.3 函数的最值与导数一、选择题1函数yf(x)在区间上的最大值是M，最小值是m，若Mm，则f(x)()A等于0B大于0C小于0 D以上都有可能AMm，yf(x)是常数函数f(x)0，故应选A.2设f(x)x4x3x2在上的最小值为()A0B2 C1 D.Ayx3x2xx(x2x1)令y0，解得x0.f(1)，f(0)0，f(1)f(x)在上最小值为0.故应选A.3函数yx3x2x1在区间上的最小值为()A. B2 C1 D4Cy3x22x1(3x1)(x1)令y0解得x或x1当x2时，y1；当x1时，y2；当x时，y；当x1时，y2.所以函数
2、的最小值为1，故应选C.4函数f(x)x2x1在区间上的最值为()A最大值为13，最小值为B最大值为1，最小值为4C最大值为13，最小值为1D最大值为1，最小值为7Ayx2x1，y2x1，令y0，x，f(3)13，f，f(0)1.5函数y在(0,1)上的最大值为()A. B1 C0 D不存在Ay由y0得x，在上y0，在上y0.x时y极大，又x(0,1)，ymax.6函数f(x)x44x (|x|1)()A有最大值，无最小值B有最大值，也有最小值C无最大值，有最小值D既无最大值，也无最小值Df(x)4x344(x1)(x2x1)令f(x)0，得x1.又x(1,1)该方程无解，故函数f(x)在(1
3、,1)上既无极值也无最值故选D.7函数y2x33x212x5在上的最大值和最小值分别是()A5，15 B5,4C4，15 D5，16Ay6x26x126(x2)(x1)，令y0，得x2或x1(舍)f(0)5，f(2)15，f(3)4，ymax5，ymin15，故选A.8已知函数yx22x3在上的最大值为，则a等于()A B.C D.或Cy2x2，令y0得x1.当a1时，最大值为f(1)4，不合题意当1a2时，f(x)在上单调递减，最大值为f(a)a22a3，解得a或a(舍去)9若函数f(x)x312x在区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()Ak3或1k1或k3B3k1或1k
4、3C2k0得函数的增区间是(，2)和(2，)，由y0，得函数的减区间是(2,2)，由于函数在(k1，k1)上不是单调函数，所以有k12k1或k12k1，解得3k1或1k0得x，由y0得x时，函数为增函数，当2x时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(2)57，f28，所以最小值为28.13若函数f(x)(a0)在1f(x)令f(x)0，解得x或x(舍去)当x时，f(x)0；当0x0；当x时，f(x)，0得x2或x2，由f(x)0得2x2.f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增又f(3)17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，最大值M24，最小值m8，Mm32.三、解答题15求下
5、列函数的最值：(1)f(x)sin2xx；(2)f(x)x.(1)f(x)2cos2x1.令f(x)0，得cos2x.又x，2x，2x，x.函数f(x)在上的两个极值分别为f，f.又f(x)在区间端点的取值为f，f.比较以上函数值可得f(x)max，f(x)min.(2)函数f(x)有意义，必须满足1x20，即1x1，函数f(x)的定义域为f(x)1(1x2)(1x2)1 .令f(x)0，得x .f(x)在上的极值为f.又f(x)在区间端点的函数值为f(1)1，f(1)1，比较以上函数值可得f(x)max，f(x)min1.16设函数f(x)ln(2x3)x2.求f(x)在区间上的最大值和最小
6、值f(x)的定义域为.f(x)2x.当x0；当1x时，f(x)时，f(x)0，所以f(x)在上的最小值为fln2.又fflnlnlnln21且x0时，exx22ax1.本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明(1)解：由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f(x)0f(x)单调递减
7、2(1ln2a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，)，f(x)在xln2处取得极小值，极小值为f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a)(2)证明：设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln21时，g(x)最小值为g(ln2)2(1ln2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.18已知函数f(x)，x(1)求f(x)的单调区间和值域；(2
8、)设a1，函数g(x)x33a2x2a，x若对于任意x1，总存在x0，使得g(x0)f(x1)成立，求a的取值范围(1)对函数f(x)求导，得f(x)令f(x)0解得x或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0，)(，1)1f(x)0f(x)43所以，当x(0，)时，f(x)是减函数；当x时，f(x)是增函数当x时，f(x)的值域为(2)g(x)3(x2a2)因为a1，当x(0,1)时，g(x)0.因此当x(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x时有g(x)又g(1)12a3a2，g(0)2a，即x时有g(x)任给x1，f(x1)，存在x0使得g(x0)f(x1)成立，则即解式得a1或a；解式得a.又a1，故a的取值范围为1a.- 7 - 版权所有高考资源网