1、第3章 3.2 第3课时一、选择题(每小题5分，共20分)1如图，正棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A.B.C. D.解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设AB1.则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)(0,1，2)，(1,0,2)cos，异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为，故选D.答案：D2若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成的二面角的余弦值为()A. B.C. D.解析：设正三棱锥PABC，PA，PB，PC两两互相垂直，设
2、PAPBPCa.取AB的中点D，连结PD、CD，易知PDC为侧面PAB与底面ABC所成的角易求PDa，CDa，故cosPDC.答案：B3若平面的一个法向量n(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a(1,2,3)，则l与所成角的正弦值为()A. B.C D.解析：cosa，n.答案：B4二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150 B45C60 D120解析：由条件，知0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，(2)2，cos，120，二面角的大小为60.故选C.答案：C
3、二、填空题(每小题5分，共10分)5正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是_解析：如图，以DA、DC、DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，取正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易证是平面A1BD的一个法向量(1,1,1)，(1,0,1)cos，.所以BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.答案：6正ABC与正BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的余弦值为_解析：取BC中点O，连结AO，DO.建立如右图所示坐标系，设BC1，则A，B，D.，.由于为面BCD的法向量，可进一步求出面ABD的一个法向量n(1，1)
4、，cosn，.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12，E，F分别是线段AB、BC上的点，且EBBF1，求直线EC1与FD1所成角的余弦值解析：以D为坐标原点，分别为x轴、y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则有D1(0,0,2)，E(3,3,0)，F(2,4,0)，C1(0,4,2)，于是(3,1,2)，(2，4,2)，设与所成的角为，则cos ，所以直线EC1与FD1所成的角的余弦值为.8.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA14，E为BC的中点，F为CC1的中点(1)求EF与平面ABCD所成
5、的角的余弦值；(2)求二面角FDEC的余弦值解析：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,2,0)，F(0,2,2)(1)(1,0,2)，易得平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1)，设与n的夹角为，则cos ，EF与平面ABCD所成的角的余弦值为.(2)(1,0,2)，(0,2,2)，设平面DEF的一个法向量为m，则m0，m0，可得m(2，1,1)，cosm，n，二面角FDEC的余弦值为.尖子生题库9(10分)如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点D，E分别在棱PB，
6、PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在点E，使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由解析：以A为原点，分别为y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axyz，设PAa，由已知可得：A(0,0,0)，B(0，a,0)，C，P(0,0，a)(1)证明：(0,0，a)，0，BCAP.又BCA90，BCAC，BC平面PAC.(2)D为PB的中点，DEBC，E为PC的中点，D，E，由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，cosDAE，AD与平面PAC所成的角的正弦值为.(3)DEBC，又由(1)知BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE，AEP为二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90.在棱PC上存在一点E，使得AEPC，这时AEP90，故存在点E，使得二面角ADEP是直二面角