1、第8讲n次独立重复试验与二项分布基础知识整合1条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质一般地，设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0P(B|A)1(2)若B，C是两个互斥事件，则P(BC)|A)P(B|A)P(C|A)2事件的相互独立(1)设A，B为两个事件，如果P(AB)P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立(2)如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用Ai(i1,2，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A
2、3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)(2)二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率1A，B中至少有一个发生的事件为AB.2A，B都发生的事件为AB.3A，B都不发生的事件为.4A，B恰有一个发生的事件为(A)(B)5A，B至多一个发生的事件为(A)(B)()1甲射击命中目标的概率为0.75，乙射击命中目标的概率为，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为()A.
3、B1C.D.答案C解析1，选C.2如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()A.B. C.D.答案A解析设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B).则P(AB)P(A)P(B)23.3(2019东北三省四市教研联合体高考模拟)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P，则n的最小值为()A4 B5 C6 D7答案A解析P1n，解得n4.故选A.4设随机变量XB(2，p)，YB(4，p)，若P(X1)，则P(Y2)的值为()A.B
4、.C.D.答案B解析P(X1)P(X1)P(X2)Cp(1p)Cp2，解得p.故P(Y2)1P(Y0)P(Y1)1C4C3.5由0,1组成的三位编号中，若用A表示“第二位数字为0的事件”，用B表示“第一位数字为0的事件”，则P(A|B)()A.B.C.D.答案A解析因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P(B)，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A，B同时发生的概率P(AB)，所以P(A|B).6袋中有红、黄、蓝球各1个，从中有放回地每次任取1个，直到取到红球为止，则第4次首次取到红球的概率为()A.B.C.D.答案B解析前3次都取不到红球的概率为3，第4次首次取到红球的概率
5、为，4个独立事件同时发生的概率为3.核心考向突破考向一条件概率例1(1)(2020辽宁沈阳东北育才学校月考)已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率为()A.B.C.D.答案C解析记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“甲解答不正确”为事件B，则P(A)C2C3，P(AB)，所以P(B|A).(2)(2019吉林长春质量检测三)若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为()A.B.C.D.答案D解析根据题意
6、，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“一件是一等品，另一件不是一等品”为事件B，则P(A)11，P(AB)，则P(B|A).条件概率的求法(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)求P(B|A) (2)基本事件法：用古典概型的概率公式，先求事件A包含的基本事件个数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件个数n(AB)，得P(B|A).即时训练1.(2019重庆二诊)某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为()A.B. C.D.答案A解析设事件A为“学生甲不
7、是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B为“学生丙第一个出场”，则P(A)，P(AB)，则P(B|A).2某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.4 B0.6 C0.75 D0.8答案D解析设 “某一天的空气质量为优良”为事件A，“随后一天的空气质量为优良”为事件B，则P(A)0.75，P(AB)0.6，P(B|A)0.8.故选D.考向二相互独立事件的概率例2(2019全国卷)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成1010平后，每球交换发球权，先多得2分的
8、一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立在某局双方1010平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束(1)求P(X2)；(2)求事件“X4且甲获胜”的概率解(1)X2就是某局双方1010平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此P(X2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5.(2)X4且甲获胜，就是某局双方1010平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5(10.4)(10.5)0.40
9、.50.40.1.求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积；(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算即时训练3.(2019广州模拟)随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人必考的证件之一若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考
10、费某驾校对以往2000名学员首次参加科目二考试的情况进行了统计，得到下表：考试情况男学员女学员首次考科目二人数1200800首次通过科目二人数960600首次未通过科目二人数240200若以上表得到的男、女学员首次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产
11、生的补考费用之和为X元，求X的分布列与数学期望解事件Ai表示男学员在第i次考科目二通过，事件Bi表示女学员在第i次考科目二通过(其中i1,2,3,4,5)此驾校男学员每次通过科目二考试的概率为，女学员每次通过科目二考试的概率为.(1)事件M表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费，则P(M)P(A1B1A11B21A2B11A21B2)P(A1B1)P(A11B2)P(1A2B1)P(1A21B2).(2)X的可能取值为400,600,800,1000,1200.P(X400)P(A3B3)，P(X600)P(A33B43A4B3)，P(X800)P(3A43B4A33434B3)，P(X1000
12、)P(3A434343B4)，P(X1200)P(3434).则X的分布列如下X40060080010001200P故E(X)40060080010001200510.5(元)考向三独立重复试验与二项分布例3(2020浙江绍兴摸底)某单位举办2020年杭州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”或“五环”图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“五环”卡即可获奖，否则，均为不获奖卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行(1)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“五环”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“会徽”卡的
13、概率是，求抽奖者获奖的概率；(2)现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用表示获奖的人数，求的分布列解(1)设“会徽”卡有n张，因为从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是，所以有，n5，所以“五环”卡的张数为4，故抽奖者获奖的概率为.(2)由题意可知本题中的离散型随机变量服从二项分布，即B，的可能取值为0,1,2,3,4.P(0)C04，P(1)C13，P(2)C22，P(3)C31，P(4)C40，的分布列如下01234P求解独立重复试验的概率时应注意的问题(1)概率模型是否满足公式Pn(k)Cpk(1p)nk的三个条件：在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；n次试验不仅是在完全相同的情况下进
14、行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率(2)独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的题用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”等字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样即时训练4.(2019天津新华中学模拟)甲、乙两人各进行3次投篮，甲每次投中目标的概率为，乙每次投中目标的概率为，假设两人投篮是否投中相互之间没有影响，每次投篮是否投中相互之间也没有影响。(1)求甲至少有一次未投中目标的概率；(2)记甲投中目标的次数为X，求X的概率分布；(3)求甲恰好比
15、乙多投中目标2次的概率解(1)记“甲连续投篮3次，至少1次未投中目标”为事件A，则其对立事件为“3次全都投中”由题意，知投篮是否投中目标相互之间没有影响，投篮3次，相当于3次独立重复试验，故P(A)1P()13，故甲至少有1次未投中目标的概率为.(2)由题意，知X的可能取值是0,1,2,3，P(X0)C3，P(X1)C12，P(X2)C21，P(X3)C3，X的概率分布如下X0123P(3)设甲恰比乙多投中目标2次为事件B，甲恰投中目标2次且乙恰投中目标0次为事件B1，甲恰投中目标3次且乙恰投中目标1次为事件B2，则BB1B2，B1，B2为互斥事件P(B)P(B1)P(B2)，所以甲恰好比乙多投中目标2次的概率为.