1、上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编9：圆锥曲线姓名_班级_学号_分数_一、选择题（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）直线与双曲线的渐近线交于两点,设为双曲线上的任意一点,若(为坐标原点),则下列不等式恒成立的是（）AB CD （上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）过点作直线与双曲线交于（）AB两点,使点P为AB中点,则这样的直线（）A存在一条,且方程为B存在无数条 C存在两条,方程为D不存在二、填空题 （上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）已知椭圆内有两点为椭圆上一点,则的最大值为_. （上海市普陀区2013届高三
2、第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）若双曲线:的焦距为,点在的渐近线上,则的方程为_. （上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点是,则双曲线的标准方程是_. （上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）设双曲线的左右顶点分别为、 ,为双曲线右支上一点,且位于第一象限,直线、的斜率分别为、,则的值为_. （上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高三4月高考模拟数学(文)试题）已知双曲线的方程为,则此双曲线的焦点到渐近线的距离为_. （上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）已知点是双曲线上一点,双曲线两个焦
3、点间的距离等于4,则该双曲线方程是_. （上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）设、是椭圆的两个焦点,点在椭圆上,且满足,则的面积等于_.（上海市虹口区2013届高三（二模）数学（文）试卷）已知双曲线与椭圆有相同的焦点,且渐近线方程为,则此双曲线方程为_.（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）已知椭圆:,左右焦点分别为,过的直线交椭圆于 两点,则的最大值为_三、解答题（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(文)试卷）本题满分18分,第1小题满分8分,第2小题满分10分在平面直角坐标系中,已知曲线为到定点的距离与到定直线的距离相等的动点的轨迹,曲线是由曲线绕坐标
4、原点按顺时针方向旋转形成的.(1)求曲线与坐标轴的交点坐标,以及曲线的方程;(2)过定点的直线交曲线于、两点,点是点关于原点的对称点.若,证明:.（上海市徐汇、松江、金山2013届高三4月学习能力诊断数学（文）试题）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知双曲线的中心在原点,是它的一个顶点,是它的一条渐近线的一个方向向量.(1)求双曲线的方程;(2)若过点()任意作一条直线与双曲线交于两点 (都不同于点),求的值;(3)对于双曲线G:,为它的右顶点,为双曲线G上的两点(都不同于点),且,求证:直线与轴的交点是一个定点. （上海市普陀区2013届高三第二学期（
5、二模）质量调研数学（文）试题）本大题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分 ,第3小题满分6分.在平面直角坐标系中,方向向量为的直线经过椭圆的右焦点,与椭圆相交于、两点(1)若点在轴的上方,且,求直线的方程;(2)若,求的面积;(3)当(且)变化时,试求一点,使得直线和的斜率之和为.第22题（上海市浦东区2013年高考二模数学（文）试题 ）本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.(1)设椭圆:与双曲线:有相同的焦点,是椭圆与双曲线的公共点,且的周长为,求椭圆的方程; 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.(
6、2)如图,已知“盾圆”的方程为.设“盾圆”上的任意一点到的距离为,到直线的距离为,求证:为定值; (3)由抛物线弧:()与第(1)小题椭圆弧:()所合成的封闭曲线为“盾圆”.设“盾圆”上的两点关于轴对称,为坐标原点,试求面积的最大值. xyo3浦东新区2013年高考预（上海市闵行区2013届高三4月质量调研考试数学(文)试题）本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分8分.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过两点.(1)求椭圆的方程;(2)若平行于的直线在轴上的截距为,直线交椭圆于两个不同点,直线与的斜率分别为,求证:.解:（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区2013届高
7、三4月高考模拟数学(文)试题）本题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知椭圆.(1)直线过椭圆的中心交椭圆于两点,是它的右顶点,当直线的斜率为时,求的面积;(2)设直线与椭圆交于两点,且线段的垂直平分线过椭圆与轴负半轴的交点,求实数的值.（上海市黄浦区2013年4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.设抛物线的焦点为,经过点的动直线交抛物线于两点,且.(1)求抛物线的方程; (2)若直线平分线段,求直线的倾斜角.(3)若点是抛物线的准线上的一点,直线的斜率分别为.求证:当时,为定值.（上海市虹口区2013届高
8、三（二模）数学（文）试卷）已知抛物线:,直线交此抛物线于不同的两个点、.(1)当直线过点时,证明为定值;(2)当时,直线是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由;(3)记,如果直线过点,设线段的中点为,线段的中点为.问是否存在一条直线和一个定点,使得点到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定点;若不存在,请说明理由.（上海市奉贤区2013届高考二模数学（文）试题 ）动圆过定点,且与直线相切. 设圆心的轨迹方程为(1)求;(2)曲线上一定点,方向向量的直线(不过P点)与曲线交与A、B两点,设直线PA、PB斜率分别为,计算;(3)曲线上的一个定点,过点作倾斜角互补的两条直线
9、分别与曲线交于两点,求证直线的斜率为定值;（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（文）试题）(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分)如图,已知点,直线:,为平面上的动点,过点作的垂线,垂足为点,且.(1)求动点的轨迹的方程;(2)(文)过轨迹的准线与轴的交点作方向向量为的直线与轨迹交于不同两点、,问是否存在实数使得?若存在,求出的范围;若不存在,请说明理由;(3)(文)在问题(2)中,设线段的垂直平分线与轴的交点为,求的取值范围.上海市16区2013届高三二模数学（文）试题分类汇编9：圆锥曲线参考答案一、选择题 B D 二、填空题 ; ; ; ; ; 1;
10、; (每空2分) 三、解答题解(1)设,由题意,可知曲线为抛物线,并且有 , 化简,得抛物线的方程为:. 令,得或, 令,得或, 所以,曲线与坐标轴的交点坐标为、和. 点到的距离为, 所以是以为焦点,以为准线的抛物线,其方程为:. (2)设,由题意知直线的斜率存在且不为零,设直线的方程为,代入得 ,. 由得 , . 故. 本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分, 第(3)小题满分6分. 解:(1)设双曲线C的方程为,则, 又 ,得,所以,双曲线C的方程为 (2)当直线垂直于轴时,其方程为,的坐标为(,)、(,), ,所以=0 当直线不与轴垂直时,设此直线方程为, 由得.
11、设,则, , 故 +=0 .综上,=0 (3) 设直线的方程为:, 由,得, 设,则, , 由,得, 即, , 化简得, 或 (舍), 所以,直线过定点(,0) 【解】 (1)由题意,得,所以 且点在轴的上方,得 , 直线:,即直线的方程为 (2)设、,当时,直线: 将直线与椭圆方程联立, 消去得,解得, ,所以 (3)假设存在这样的点,使得直线和的斜率之和为0,由题意得, 直线:() ,消去得, 恒成立, , 所以 解得,所以存在一点,使得直线和的斜率之和为0 解:(1)由的周长为得, 椭圆与双曲线:有相同的焦点,所以, 即,椭圆的方程; (2)证明:设“盾圆”上的任意一点的坐标为, 当时,
12、 即; 当时, 即; 所以为定值; (3)因为“盾圆”关于轴对称,设于是, 所以面积, 按点位置分2种情况: 当在抛物线弧()上时, 设所在的直线方程(), 联立,得,同理, 面积,所以; 当在椭圆弧上时, 于是联立,得; 即,由, 当且仅当等号成立,所以, 综上等腰面积的最大值为. 解(1)设椭圆的方程为 将代入椭圆的方程,得 理2分,文3分 解得,所以椭圆的方程为 理2分,文3分 设点的坐标为,则. 又是上的动点,所以,得,代入上式得 , 故时,.的最大值为. 理2分 (2)因为直线平行于,且在轴上的截距为,又,所以直线的方程为.由 得 文理2分 设、,则. 又 故.文理2分 又, 所以上
13、式分子 文理2分 故.文2分 所以直线与直线的倾斜角互补.理2分 本题共有2小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 . 解:(1)依题意, 由,得, 设,; (2)如图,由得, 依题意,设,线段的中点, 则, 由,得, 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分. 解:(1)设直线的方程为,代入,可得 (*) 由是直线与抛物线的两交点, 故是方程(*)的两个实根, ,又,所以,又,可得 所以抛物线的方程为 【另法提示:考虑直线l垂直于x轴这一特殊情形,或设直线l方程为点斜式】 (2)由(1)可知, 设点是线段的中点,则有 , 由题意知点在直线上, ,解得或, 设直
14、线的倾斜角为,则或,又, 故直线的倾斜角为或 【另法提示:设直线l方程为点斜式】 (3),可得, 由(2)知又, , 所以为定值 【另法提示:分直线l斜率存在与不存在两种情形讨论,斜率存在时设直线l方程为点斜式】 解:(1)过点与抛物线有两个交点,可知其斜率一定存在,设,其中(若时不合题意),由得, 注:本题可设,以下同. (2)当直线的斜率存在时,设,其中(若时不合题意). 由得. ,从而 假设直线过定点,则,从而,得,即,即过定点 当直线的斜率不存在,设,代入得,从而,即,也过. 综上所述,当时,直线过定点 (3)依题意直线的斜率存在且不为零,由(1)得点的纵坐标为,代入得,即 设,则消得
15、 由抛物线的定义知存在直线,点,点到它们的距离相等 (文) (1)过点作直线的垂线,垂足为,由题意知:, 即动点到定点与定直线的距离相等, 由抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线 其中为焦点,为准线,所以轨迹方程为; (2)证明:设 A()、B() 由题得直线的斜率 过不过点P的直线方程为 由得 则. = =0 (3)设, = (*) 设的直线方程为 由 , 则 15分 同理,得 代入(*)计算得: (本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题满分6分) (文)(1)设,由题意, , 由,得, 化简得.所以,动点的轨迹的方程为 (2)轨迹为抛物线,准线方程为,即直线,所以, 当时,直线的方程为,与曲线只有一个公共点,故 所以直线的方程为,由 得, 由,得 设,则, 所以, 若,则,即, , 解得.所以 (3)由(2),得线段的中点为,线段的垂直平分线的一个法向量为,所以线段的垂直平分线的方程为, 令, 因为,所以. 所以的取值范围是
