1、第1讲平面向量的概念及其线性运算1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量记作0，其方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任意向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求两个向量差的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运
2、算|a|a|，当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使ba.1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即An1An.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量2.在ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为ABC的重心，则有如下结论：(1)0；(2)()；(3)()()3.(，为实数)，若点A，B，C共线，点O不在直线BC上，则1.1(多选)(2022山东日照月考)下列命题
3、中错误的有()A平行向量就是共线向量B相反向量就是方向相反的向量Ca与b同向，且|a|b|，则abD两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件答案BC解析A显然正确；由相反向量的定义知B错误；任何两个向量都不能比较大小，C错误；两个向量平行不能推出这两个向量相等，而两个向量相等可以推出这两个向量平行，故D正确故选BC.2设平行四边形ABCD的对角线交于点P，则下列命题中正确的个数是()；()；.A1 B2 C3 D4答案C解析由向量加法的平行四边形法则，知，()是正确的；由向量减法的三角形法则，知是正确的；因为，的长度相等，方向相反，所以是错误的故选C.3如图所示，向量a，b，c，A，B，C
4、三点在一条直线上，且3，则()AcabBcabCca2bDca2b答案A解析3，()，即cab.故选A.4(2022广东湛江月考)若，(1)，则_.答案解析如图，由，可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点，则，结合题意可得1，所以.5(2022江苏南通期末)已知向量a，b，若|a|2，|b|4，则|ab|的取值范围为_.答案2,6解析当a与b方向相同时，|ab|2，当a与b方向相反时，|ab|6，当a与b不共线时，2|ab|6，所以|ab|的取值范围为2,66在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若22，则四边形ABCD的形状为_.答案梯形解析22，2()，即2，且|，四边形ABCD是
5、梯形考向一平面向量的概念例1(1)(多选)(2021临沂调研)下列命题中的真命题是()A若|a|b|，则abB若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件C若ab，bc，则acDab的充要条件是|a|b|且ab答案BC解析两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，A不正确，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|，且，方向相同，因此，B正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac，C正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能
6、得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件，D不正确故选BC.(2)(多选)(2022山东烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题为()A向量的长度与向量的长度相等B向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反C|a|b|ab|a与b方向相反D若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则ab与a，b之一的方向相同答案BCD解析A正确，与是相反向量，长度相等；B错误，当a，b其中之一为0时，不成立；C错误，当a，b其中之一为0时，不成立；D错误，当ab0时，不成立故选BCD.平面向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平
7、行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量1.设a0为单位向量，有下列命题：若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.其中假命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.故选D.2(2022湖南常德月考)给出
8、下列命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上；a与b是非零向量，若a与b同向，则a与b反向；已知，为实数，若ab，则a与b共线其中真命题的序号是_.答案解析错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点错误，若b0，则a与c不一定共线正确，与共线且有公共点B，故有A，B，C三点在同一条直线上正确，b与b反向，a与b同向，故a与b反向错误，当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线多角度探究突破考向二平面向量的线性运算角度平面向量线性运算的几何意
9、义例2(2021长沙一中高三月考)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足，则点P一定为ABC的()ABC边中线的中点BBC边中线的三等分点(非重心)C重心DBC边的中点答案B解析设BC的中点为M，则，(2)，即32，也就是2，P，M，A三点共线，且P是AM上靠近A点的一个三等分点角度平面向量线性运算例3(1)(2021安徽芜湖质量检测)如图所示，下列结论正确的是()ab；ab；ab；ab.A B C D答案C解析由ab，知ab，正确；由ab，知ab，错误；b，故ab，正确；2bab，错误故选C.(2)在平行四边形ABCD中，3，若AE交BD于点M，则()A. BC.
10、D答案B解析3，E为线段DC上靠近点C的四等分点显然ABMEDM，即，().故选B.角度利用线性运算求参数例4(1)(2021江西省名校联考)在ABC中，2，则()A B C D答案A解析因为，2，所以，所以，所以，因为，所以，所以.故选A.(2)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若(，为实数)，则22()A. B C1 D答案A解析()，所以，则22.故选A.向量线性运算的解题策略(1)向量加减的常用法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与
11、已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解(3)利用向量的线性运算求参数的步骤：先通过向量的线性运算用两个不共线的向量表示有关向量，然后对比向量等式求出参数或建立方程(组)求解3.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且22，则()A点P在线段AB上B点P在线段AB的反向延长线上C点P在线段AB的延长线上D点P不在直线AB上答案B解析因为22，所以2，所以点P在线段AB的反向延长线上4.(2021湖南师范大学附中模拟)如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则()A.B.C.D.答案D解析根据题意，得()，又因为，所以.故选D.5(2021洛阳尖子生第二
12、次联考)在ABC中，点D在线段BC上，且2，点O在线段CD上(与点C，D不重合)若x(1x)，则x的取值范围是_.答案解析解法一：x(1x)x()，即x()，所以x，所以x.因为2，所以3，则0x0，y0，则x8y的最小值为()A21 B25 C27 D34答案B解析根据题意，A，B，C三点共线，点O在直线AB外，.设(0，1)，则()(1)，消去得1，x8y(x8y)116172 25.故选B.(2)(2021通州区一模)设向量e1，e2是两个不共线的向量，已知2e1e2，e13e2，2e1ke2，且B，C，D三点共线，则_(用e1，e2表示)；实数k_.答案e14e28解析因为向量e1，e
13、2是两个不共线的向量，且2e1e2，e13e2，所以e14e2，又2e1ke2，且B，C，D三点共线，所以1(k)420，解得k8. (1)三点共线问题可转化为向量共线问题来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线根据A，B，C三点共线求参数问题，只需将问题转化为，再利用对应系数相等列出方程组，进而解出系数(2)三点共线的一个常用结论：A，B，C三点共线存在实数，对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足(1)6.已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d共线反向，则实数的值为()A1 B C D2答案B解析由于c与d共线反向，则存
14、在实数k使ckd(k0)，于是abka(21)b，整理得abka(2kk)b.由于a，b不共线，所以有整理得2210，解得1或.又因为k0，所以0时，a与a的方向相同，当0时，a与a的方向相反，故A不正确，B正确；对于C，|a|a|，由于|的大小不确定，故|a|与|a|的大小关系不确定，故C不正确；对于D，|a是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小，故D不正确3(2021西北师大附中模拟)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|答案C解析由于a，b都是非零向量，若成立，则a与b需要满足共线同向4(2022山东威海月考)设P是AB
15、C所在平面内的一点，且2，则PAB与PBC的面积之比是()A. B C D答案B解析2，P为边AC靠近A点的三等分点，PAB与PBC的面积之比为12.5(2021新乡二模)在ABC中，()，D为BC边的中点，则()A37 B73C23 D32答案C解析因为D为BC边的中点，所以2，因为()，所以，则23.6.(2021河北省衡水中学模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，DCAB，BCCDDA，DEAC于点E，则()A. BC. D答案A解析因为DCAB，BCCDDA，DEAC，所以E是AC的中点，可得().故选A.7(2021山东济宁月考)如图，在ABC中，点D在BC边上，且CD2DB，点E在AD
16、边上，且AD3AE，则用向量，表示为()A. BC. D答案B解析由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得.8(2021河北衡水调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若2，3，(，R)，则()A B1 C D3答案A解析()()2()3，因为E，M，F三点共线，所以2()(3)1，即251，所以.故选A.二、多项选择题9(2022辽宁丹东月考)下列各式中结果为零向量的是()A.B.C.D.答案BD解析，A不正确；0，B正确；，C不正确；()()0，D正确10设a，b是不共线的两个平面向量，已知asinb，其中(0,2)，2ab.若P，Q
17、，R三点共线，则角的值可以为()A. B C D答案CD解析因为a，b是不共线的两个平面向量，所以2ab0，即0.因为P，Q，R三点共线，所以与共线，所以存在实数，使，所以asinb2ab，所以解得sin.又(0,2)，故可为或.11(2021普宁市校级二模)已知点P为ABC所在平面内一点，且230，若E为AC的中点，F为BC的中点，则下列结论正确的是()A向量与可能平行B向量与可能垂直C点P在线段EF上DPEPF12答案BC解析230，2()0，E为AC的中点，F为BC的中点，2220，2，P为FE的三等分点(靠近点F)，即PEPF21，故C正确，D错误向量与不可能平行，故A错误；()()|
18、2|2，则当|2|时，向量与垂直，B正确12(2021福建福清高三模拟)设点M是ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A若，则点M是边BC的中点B若2，则点M在边BC的延长线上C若，则点M是ABC的重心D若xy，且xy，则MBC的面积是ABC的面积的答案ACD解析A中，即，则点M是边BC的中点，所以A正确；B中，2，所以，则点M在边CB的延长线上，所以B错误；C中，设BC的中点为D，则2，由重心性质可知C正确；D中，xy，且xy22x2y，2x2y1.设2，所以2x2y，2x2y1，可知B，C，D三点共线，所以MBC的面积是ABC的面积的，所以D正确故选ACD.三、填空题13向量a，b，
19、c在正方形网格中的位置如图所示若向量ab与c共线，则实数_.答案2解析由题中所给图象可得，2abc，又c(ab)，所以2.14若点O是ABC所在平面内的一点，且满足|2|，则ABC的形状为_.答案直角三角形解析因为2，所以|，即0，故，所以ABC为直角三角形15在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，点E在线段CD上(点E不与点C，D重合)，若，则的取值范围是_.答案0解析由题意可求得AD1，CD，2.点E在线段CD上(点E不与点C，D重合)，(01)，又2 ，1，即.01，0.16(2021浙江高三模拟)在矩形ABCD中，AB3，AD4，P为矩形ABCD所在平面上一点，满足PB
20、PD，则|的最大值是_，|的值是_.答案55解析因为PBPD，所以点P的轨迹为以BD为直径的圆(不含点B，D)，如图，设BD的中点为O，由题意得BD5，所以圆O的半径r，由圆的性质可得|max2r5.由矩形的性质可得O也为AC的中点，所以|2|2r5.四、解答题17.如图，在ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设a，b.(1)试用a，b表示，；(2)证明：B，E，F三点共线解(1)在ABC中，因为a，b，所以ba，a(ba)ab，ab.(2)证明：因为ab，aab，所以，所以与共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线18经过OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，n均为正实数(1)证明：为定值；(2)求mn的最小值解(1)证明：设a，b.由题意知()(ab)，nbma，ab，由P，G，Q三点共线得，存在实数，使得，即nbmaab，从而消去，得3，为定值(2)由(1)知，3，于是mn(mn)(22).当且仅当mn时，mn取得最小值，为.