1、第7讲余弦定理、正弦定理应用举例1仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)2方位角从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角如B点方位角为(如图)3方向角相对于某一正方向的水平角，即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向，方向角小于90)如北偏东，南偏西.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45角称为西南方向、东北方向等(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)；(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似4坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(如图，
2、角为坡角)(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比1仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的2“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围是.1两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东10 D南偏西10答案B解析由题可知ABC50，A，B，C位置如图故选B.2如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于()A10 m B5 mC5(
3、1) m D5(1) m答案D解析在直角三角形中，根据三角函数的定义得10，解得AB5(1)(m)故选D.3(2021安徽安庆期末质量监测)某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店C都相距a km，而门店A位于门店C的北偏东50方向上，门店B位于门店C的北偏西70方向上，则门店A，B间的距离为()Aa km Ba kmC.a km D2a km答案C解析如图所示，依题意知CACBa km，ACB5070120，AB30，由正弦定理，得，则ABa(km)，即门店A，B间的距离为a km.故选C.4一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱
4、喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是_m.答案50解析设水柱的高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh m，AB100 m，BCh m，根据余弦定理得(h)2h210022h100cos60，即h250h50000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.5一艘轮船从A点沿北偏东70的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10的方向行驶10海里至海岛C，若此船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿_方向行驶_海里至海岛C.答案北偏东4
5、010解析如图，因为B在A点北偏东70，C在B北偏东10，故ABC1807010120，又ABBC，故CABACB30，故C在A北偏东703040方向在ABC中，根据余弦定理可得AC10.故此轮船沿着北偏东40方向行驶10海里至海岛C.考向一测量距离问题例1(2022湖北宜昌月考)几千年的沧桑沉淀，凝练了黄山清幽秀丽的自然风光和文化底蕴厚重的旅游环境自明清以来，文人雅士，群贤毕至，旅人游子，纷至沓来，使黄山成为名噪江南的旅游热点如图，游客从黄山风景区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A乘景区观光车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲
6、沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘观光车到B，在B处停留20分钟后，再从B匀速步行到C.假设观光车匀速直线运行的速度为250米/分钟，山路AC长为2340米，经测量cosA，cosC.(1)求观光车路线AB的长；(2)乙出发多少分钟后，乙在观光车上与甲的距离最短？解(1)在ABC中，因为cosA，cosC，所以sinA，sinC，从而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC，由正弦定理，得ABsinC2000 m，所以观光车路线AB的长为2000 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时甲行走了(10050t) m，乙距离
7、A处250t m，由余弦定理得d2(10050t)2(250t)22(10050t)250t1000(41t238t10)1000，因为t，即t0,8，故当t时，甲、乙游客的距离最短距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解注意：基线的选取要恰当准确；选取的三角形及正、余弦定理要恰当1(2021上海高三模拟)如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离已知山高AB1 km，CD3 km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30，山顶C的仰角为60，BED120
8、，则两山顶A，C之间的距离为()A2 km B kmC. km D3 km答案C解析由题意知，AB1 km，CD3 km，AEB30，CED60，BED120.所以BE(km)，DE(km)在BED中，由余弦定理得，BD2BE2DE22BEDEcosBED3329，所以AC(km)，即两山顶A，C之间的距离为 km.故选C.2.(2021福建宁德第二次质量检查)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD80米，ADB135，BDCDCA15，A
9、CB120，则A，B两点间的距离为_米答案80解析在ACD中，DCA15，ADC150，DAC15.由正弦定理，得AC40()(米)，在BCD中，BDC15，BCD135，CBD30，由正弦定理，得，BC160sin1540()(米)，在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACB1600(84)160021600()()16001616004160020，解得AB80(米)，则A，B两点间的距离为80米考向二测量高度问题例2(2021临汾模拟)说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成尤其宝塔山
10、，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位如图，宝塔山的坡度比为3(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比)，在山坡A处测得CAD15，从A处沿山坡往上前进66 m到达B处，在山坡B处测得CBD30，则宝塔CD的高为()A42 m B44 mC46 m D48 m答案B解析由题可知CAD15，CBD30，则ACB15，BCAB66，设坡角为，则由题可得tan，则可求得cos，在BCD中，BDC90，由正弦定理可得，即，解得CD44，故宝塔CD的高为44 m故选B.处理高度问题的注意事项(1)在处理有关高度问题时，正确理解仰角、俯角是一个关键(
11、2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题3.(2021北京市朝阳区二模)圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即ABC)为26.
12、5，夏至正午太阳高度角(即ADC)为73.5，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为()A. BC. D答案D解析由题可知，BAD73.526.547，在BAD中，由正弦定理可知，即，则AD，又在ACD中，sinADCsin73.5，所以AC，故选D.考向三测量角度问题例3如图，在海岸A处，发现北偏东45方向距A为(1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：2.449)解设缉
13、私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD10t(海里)，BD10t(海里)在ABC中，AB(1)海里，AC2海里，BAC4575120，根据余弦定理，可得BC (海里)根据正弦定理，可得sinABC.ABC45，易知CB方向与正北方向垂直，从而CBD9030120.在BCD中，根据正弦定理，可得sinBCD，BCD30，BDC30，BDBC(海里)，则有10t，t0.245小时14.7分钟故缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船，大约需要14.7分钟解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图
14、，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用4(2021商丘模拟)如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15(BAC15)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60的方向，此时测得山顶P的仰角为60，已知山高为2千米(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏东多少度的方向？解(1)在BCP中，由tanPBC，得BC2，在ABC中，由正弦定理，得，即，所以AB2(1)，故船的航行速度是每小时6(1)千米(2)在BCD中，BD1，BC2，CB
15、D60，则由余弦定理，得CD，在BCD中，由正弦定理，得，即，所以sinCDB，所以山顶位于D处南偏东45的方向一、单项选择题1已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 km B10 kmC10 km D10 km答案D解析如图所示，由余弦定理可得AC210040021020cos120700，AC10(km)2(2021马鞍山模拟)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为()A. 海里/小时 B34 海里/小时C. 海
16、里/小时 D34 海里/小时答案C解析如图所示，在PMN中，PM68海里，PNM45，MPN120，由正弦定理可得，所以MN34海里，所以该船航行的速度为海里/小时3.如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB60米，BC60米，CD40米，ABC60，BCD120，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(参考数据：1.414，1.732，2.236，2.646)()A39米
17、B43米C49米 D53米答案D解析在ACB中，AB60米，BC60米，ABC60，所以AC60米，在CDA中，AD2AC2CD22ACCDcos60602402260402800，所以AD2053(米)故选D.4(2021合肥模拟)“湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长某同学为了测量澜飞湖两侧C，D两点间的距离，除了观测点C，D外，他又选了两个观测点P1，P2，且P1P2a，已经测得两个角P1P2D，P2P1D，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组就可以求出C，D间距离的有()DP1C和DCP1；P1P2C和P1C
18、P2；P1DC和DCP1.A0组 B1组 C2组 D3组答案D解析在P1P2D中，已知P1P2a，P1P2D，P2P1D，可得P1DP2，由正弦定理可得P1D，P2D.中，给出DP1C和DCP1，由，可得CD，故由可求得CD；中，给出P1P2C和P1CP2，由，得P1C，由P1P2C和P1CP2，可得P2P1C，减去可得DP1C，在DP1C中，由余弦定理可得CD，故由可求得CD；中条件P1DC，利用三角形内角和定理，可化为与等价问题，也可求得CD.所以可求出C，D间距离的有3组故选D.5.(2022山东济南期末)济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征李明同学想
19、测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，又测得泉标顶部仰角为80.则李明同学求出泉标的高度约为(sin200.3420，sin800.9848，结果精确到1 m)()A38 m B50 m C66 m D72 m答案A解析如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端依题意，BAD60，CBD80，AB15.2 m，故ADB20.在ABD中，根据正弦定理，得，BD38.5(m)在RtBCD中，CDBDsin8038.5sin8038(m)，即泉城广场上泉标的高度约为38 m.6.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客
20、船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/h B6 km/hC2 km/h D10 km/h答案B解析设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin，从而cos，所以由余弦定理得2212221，解得v6(km/h)7某人在C点测得塔底O在南偏西80，塔顶A的仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10米到达D处，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为()A15米 B5米C10米 D12米答案C解析如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，则OC
21、OAh.在RtAOD中，ADO30，则ODh.在OCD中，OCD120，CD10，OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos120，所以h25h500，解得h10或h5(舍去)故选C.8.某观察站B在A城的南偏西20方向，由A出发的一条公路的走向是南偏东25.现在B处测得此公路上距B处30 km的C处有一人正沿此公路骑车以40 km/h的速度向A城驶去，行驶了15 min后到达D处，此时测得B与D之间的距离为8 km，则此人到达A城还需要()A40 min B42 minC48 min D60 min答案C解析由题意可知，CD4010(km)cosBDC，co
22、sADBcos(BDC)，sinADB，sinABDsin(ADBBAD).在ABD中，由正弦定理得，AD32(km)，所需时间t0.8(h)，此人还需要0.8 h即48 min才能到达A城二、多项选择题9(2022重庆质检)某人向正东走了x km后向右转了150，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好 km，那么x的值是()A. B2 C3 D6答案AB解析如图，ABx，BC3，AC，ABC30.由余弦定理得3x292x3cos30.解得x2或x，故选AB.10.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，某同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了以下四种测量方案(ABC的角A，B，
23、C所对的边分别记为a，b，c)其中一定能确定A，B间距离的所有方案为()A测量A，C，b B测量a，b，CC测量A，B，a D测量a，b，B答案ABC解析对于A，在ABC中，B(AC)，所以sinBsin(AC)由正弦定理得，所以c；对于B，由余弦定理可得c2a2b22abcosC，所以c；对于C，在ABC中，C(AB)，所以sinCsin(AB)，由正弦定理得，所以c；对于D，由余弦定理cosB，解得的c可能有两个值故一定能确定A，B间距离的所有方案为A，B，C.11.(2021江苏徐州二模)如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点
24、C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得CDs.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有ACB，ACD，BCD，ADB，ADC，BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是()As，ACB，BCD，BDCBs，ACB，BCD，ACDCs，ACB，ACD，ADCDs，ACB，BCD，ADC答案ACD解析对于A，已知s，ACB，BCD，BDC，在BCD中，利用三角形内角和为180可求得CBD180BDCBCD，利用正弦定理，可求得BC，在ABC中，ABBC，由tanACB，即可求得AB；对于B，在BCD中，已知一边CD，一角BCD，无法求解三角形，在ABC中，已知两角ABC90，ACB，无
25、法求解三角形，在ACD中，已知一边CD，一角ACD，无法求解三角形；对于C，在ACD中，已知一边CD，两角ACD，ADC，由三角形内角和可求得CAD，由正弦定理可求得AC，在ABC中，已知两角ACB，ABC90，一边AC，利用sinACB，可求得AB；对于D，在ABC中，已知两角ABC90，ACB，由tanACB，可用AB表示BC，由sinACB，可用AB表示AC，在ACD中，已知ADC，边CD，AB表示AC，利用余弦定理可用AB表示AD，在RtABD中，利用勾股定理可用AB表示BD，在BCD中，已知BCD，CD，AB表示BD，AB表示BC，利用余弦定理可建立关于AB的方程，即可求解AB.故选
26、ACD.12一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30，距离为12海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60方向下面结论正确的有()AAD24BCD12CCDA60或CDA120DCDA60答案ABD解析如图，在ABD中，B45，由24，AD24，A正确；在ACD中，由余弦定理得CD2AC2AD22ACADcos30(12)224221224144，CD12，B正确；由正弦定理得，sinCDA，故CDA60或CDA120，因为ADAC，故CDA为锐角，所以CDA60，D正确，C错误三、填空题13.如图，某工程中要将一长为100
27、m，倾斜角为75的斜坡改造成倾斜角为30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长_ m.答案100解析设坡底需加长x m，由正弦定理得，解得x100(m)14甲船在A处观察到乙船在它北偏东60的方向，两船相距a海里，乙船正在向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应取北偏东方向前进，才能尽快追上乙船，此时_.答案30解析如图所示，CAB60，B120，设甲船追上乙船时乙船行驶的距离为x，则BCx，ACx.在ABC中，根据正弦定理，即，得sin(60)，又60为锐角，所以6030，得30.15.(2021长郡中学高三月考)易经中记载着一种几何图形八卦图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，
28、图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边形的边长为8 m，代表阴阳太极图的圆的半径为2 m，则每块八卦田的面积为_ m2.答案1616解析由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为45，设等腰三角形的腰长为a，由正弦定理可得，解得a8sin，所以三角形的面积S2sin453216(1)(m2)，则每块八卦田面积为16(1)221616(m2)16.(2021聊城模拟)如图是某商业小区的平面设计图，初步设计该小区为半径是200米，圆心角是120的扇形AOB.O为南门位置，C为东门位置，小区里有一条平行于AO的小路CD，若OD米，则
29、圆弧的长为_米答案50解析连接OC，因为CDOA，所以DCOCOA，CDO180DOA18012060，在OCD中，由正弦定理可得，所以，解得sinDCO，因为DCOCOA，且0COA120，所以DCOCOA45，故圆弧的长为220050(米)四、解答题17.(2022山西晋城监测)如图，点A，B，C在同一水平面上，AC4，CB6.现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端(1)原计划CD为铅垂线方向，45，求CD的长；(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得30，53，求CD2(结果精确到1)(参考数据：sin971，cos530.6)解(1)CD为铅垂线方向，点D在顶端，CDA
30、B.又45，CDAC4.(2)在ABD中，533083，ABACCB4610，ADB1808397，由得AD5.在ACD中，CD2AD2AC22ADACcos5242254cos5317.18(2021十堰模拟)为了测出图中草坪边缘A，B两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C与D(A，B，C，D四点共面)，测得AC1.6 m，CD2 m，BD1.8 m，已知cosBDC，tanACD3.(1)求ACD的面积；(2)求A，B两点间的距离解(1)因为tanACD3，所以sinACD.所以SACDACCDsinACD (m2)(2)因为tanACD3，所以cosACD，所以AD21.622221.
31、625.76，则AD2.4 m.因为cosADC，所以sinADC，又cosBDC，所以ADB，所以AB 3(m)19在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需要的时间和角的正弦值解如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x n mile，BC10x n mile，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos
32、120，解得x2.故AC28 n mile，BC20 n mile.根据正弦定理，得，解得sin.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.20(2021江西南昌模拟)为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，BAC60，在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30.(已知声音的传播速度为340米/秒)(1)求A，C两地的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.解(1)设BCx米，由条件可知ACx340x40(米)，在ABC中，BC2AB2AC22ABACcosBAC，即x21002(x40)22100(x40)，解得x380，所以AC38040420(米)，故A，C两地的距离为420米(2)在RtACH中，AC420米，HAC30，HCACtanHAC420140(米)，故这种仪器的垂直弹射高度为140米
